Теоретическая и математическая физика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2024, том 221, номер 3, страницы 702–715
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10745 (Mi tmf10745) 		 
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(3+1)$-мерной тепло-электрической модели

М. В. Артемьеваab, М. О. Корпусовab

a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
b Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
PDF полного текста (400 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2) Английская версия
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10745
Аннотация: Рассматривается тепло-электрическая $(3+1)$-мерная модель нагрева полупроводника в электрическом поле. Для соответствующей задачи Коши доказано существование непродолжаемого во времени классического решения и получена глобальная во времени априорная оценка.
Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 23-11-00056
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-11-00056).
Поступило в редакцию: 26.04.2024
После доработки: 27.08.2024
Дата публикации: 16.12.2024
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 3, Pages 2207–2218
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924120146
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

1. Введение

Современные радиоинформационные системы, решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются большим числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры, непрерывным функционированием в течение длительного времени, а также высокими требованиями к надежности. При работе структурно сложной радиоинформационной системы в теплонапряженных режимах резко возрастает тепловыделение в радиоэлектронной аппаратуре за счет высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечет за собой перегрев аппаратуры и, как следствие, снижение надежности изделия [1], а также увеличение вероятности отказов аппаратуры. Данные обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов в полупроводнике, а также построения и изучения тепло-электрической модели полупроводника.

Настоящая работа является продолжением исследований, которые были начаты в работах [2]–[8]. Причем в работе [7] была предложена тепло-электрическая модель разогрева полупроводника, которая сводилась к рассмотрению следующего неклассического уравнения третьего порядка:

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\phi_{xx}+\frac{\gamma}{2}|\phi_x|^2\biggr)+\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_{xx}=0. \end{equation} \tag{1} $$
Для задачи на отрезке $x\in[0,L]$ с граничными условиями
$$ \begin{equation} \phi(0,t)=\mu_0(t),\qquad \phi_x(0,t)=\mu_1(t),\qquad \phi(x,0)=\phi_0(x) \end{equation} \tag{2} $$
мы получили результат о существовании непродолжаемого во времени классического решения, а также получили достаточные условия разрушения решений за конечное время, что с физической точки зрения означает возникновение электрического “пробоя”.

В настоящей работе мы рассмотрели следующую задачу Коши для модельного $(3+1)$-мерного уравнения (1):

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}(\Delta_x u(x,t)+|D_x u(x,t)|^q)+\Delta_xu(x,t)=0,\qquad u(x,0)=u_0(x),\\ \Delta_x:=\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}. \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{3} $$
При $q>3/2$ в настоящей работе мы доказали существование непродолжаемого решения, причем для малых начальных данных мы доказали существование глобального во времени решения задачи Коши и получили оценку убывания по времени.

2. Задача Коши. Случай $q\geqslant 2$

Рассмотрим задачу Коши

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}(\Delta_x u+|D_xu|^q)+\Delta_x u=0,\qquad q>1,\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T], \\ u(x,0)=u_0(x),\qquad x\in\mathbb{R}^3. \end{gathered} \end{equation} \tag{4} $$
Рассмотрим класс радиально-симметричных решений задачи Коши (4) и введем новую функцию
$$ \begin{equation} w(r,t):=r^2\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}. \end{equation} \tag{5} $$
Тогда задача Коши (4) принимает следующий вид:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\frac{\partial w(r,t)}{\partial r}+\frac{1}{r^{2(q-1)}}|w(r,t)|^q\biggr)+\frac{\partial w(r,t)}{\partial r}=0, \\ w(r,0)=r^2\frac{\partial u_0(r)}{\partial r}. \end{gathered} \end{equation} \tag{6} $$
Итак, мы пришли к следующей начально-краевой задаче:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\frac{\partial w(r,t)}{\partial r}+\frac{|w|^q(r,t)}{r^{2(q-1)}}\biggr)+\frac{\partial w(r,t)}{\partial r}=0,\qquad q>1,\quad (r,t)\in[0,+\infty)\times[0,T], \\ w(0,t)=0,\qquad w(r,0)=w_0(r),\qquad (r,t)\in[0,+\infty)\times[0,T]. \end{gathered} \end{equation} \tag{7} $$

Рассмотрим следующий оператор:

$$ \begin{equation} Q_2(w)h(r):=\frac{\partial h(r)}{\partial r}+q\frac{|w(r)|^{q-2}w(r)}{r^{2(q-1)}}h(r). \end{equation} \tag{8} $$
Введем необходимые для дальнейшего банаховы пространства. Дадим определения.

Определение 1. Будем говорить, что $h\in C_b(r^{-\alpha},1+r^{\gamma};[0,+\infty))$ при $\alpha\geqslant 0$ и $\gamma\geqslant 0$, если $h\in C_b[0,+\infty)$, причем конечна норма

$$ \begin{equation} \|h\|_{\alpha,\gamma}:=\sup_{r\in[0,+\infty)}\max\{1+r^{\gamma},r^{-\alpha}\}|h(r)|. \end{equation} \tag{9} $$

Замечание 1. Если $\gamma=0$, то вместо $C_b(r^{-\alpha},1+r^{\gamma};[0,+\infty))$ будем писать просто $C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$, а также вместо $\|\cdot\|_{\alpha,\gamma}$ будем писать $\|\cdot\|_{\alpha}$.

Определение 2. Будем говорить, что $h\in C^{(1)}_b(r^{-\alpha},\,r^{-\beta},\,1+r^{\gamma}\,;\,[0,+\infty))$ при $\alpha\geqslant 0$, $\beta\geqslant 0$ и $\gamma\geqslant 0$, если $h(r)\in C^{(1)}_b[0,+\infty)$, причем конечна норма

$$ \begin{equation} \|h\|_{\alpha,\beta,\gamma}:= \sup_{r\in[0,+\infty)}\max\{1,r^{-\alpha}\}|h(r)|+ \sup_{r\in[0,+\infty)}\max\{1+r^{\gamma},r^{-\beta}\}\biggl|\frac{d h(r)}{d r}\biggr|. \end{equation} \tag{10} $$

Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Линейные пространства

$$ \begin{equation*} C_b(r^{-\alpha},1+r^{\gamma};[0,+\infty)),\qquad C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)) \end{equation*} \notag $$
являются банаховыми относительно норм (9) и (10) соответственно.

Лемма 2. Для любой функции $w(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$ при выполнении неравенств

$$ \begin{equation} \alpha\geqslant 2,\qquad q>3/2 \end{equation} \tag{11} $$
оператор $Q_2(w)$ действует следующим образом:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, Q_2(w)\!: C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))\rightarrow C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)), \\ \beta=\alpha+(\alpha-2)(q-1),\qquad\gamma=2(q-1), \end{gathered} \end{equation} \tag{12} $$
причем справедливо
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, Q_2^{-1}(w)\!: C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))\rightarrow C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)), \\ h(r):=Q_2^{-1}(w)f(r)=\int_0^r\exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y)|^{q-2}w(y)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)f(\rho)\,d\rho. \end{gathered} \end{equation} \tag{13} $$

Доказательство. При $q>3/2$ и $\alpha\geqslant 2$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \biggl|\frac{|w(r)|^{q-2}w(r)}{r^{2(q-1)}}\biggr|\leqslant\|w\|^{q-1}_{\alpha}r^{(\alpha-2)(q-1)}\leqslant\|w\|^{q-1}_{\alpha}\qquad\text{для всех}\quad r\in[0,1], \\ \biggl|\frac{|w(r)|^{q-2}w(r)}{r^{2(q-1)}}\biggr|\leqslant\|w\|^{q-1}_{\alpha}\qquad\text{для всех}\quad r\in[1,+\infty]. \end{gathered} \end{equation} \tag{14} $$

Заметим, что справедлива оценка

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \biggl|\int_{\rho}^r{}& \frac{|w(y)|^{q-2}w(y)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr|\leqslant \int_0^{+\infty}\frac{|w(y)|^{q-1}}{y^{2(q-1)}}\,dy={} \notag \\ &=\int_0^{1}\frac{|w(y)|^{q-1}}{y^{2(q-1)}}\,dy+ \int_1^{+\infty}\frac{|w(y)|^{q-1}}{y^{2(q-1)}}\,dy\leqslant{} \notag \\ &\leqslant \|w\|^{q-1}_{\alpha}\int_0^1y^{(\alpha-2)(q-1)}\,dy+ \|w\|^{q-1}_{\alpha}\int_1^{+\infty}\frac{1}{y^{2(q-1)}}\,dy\leqslant M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha}. \end{aligned} \end{equation} \tag{15} $$
С одной стороны, заметим, что из явного вида (22) функции $h(r)$ имеем $h(r)\in C^{(1)}[0,+\infty)$. С другой стороны, при $r\in(0,1]$ имеем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{1}{r^{\beta+1}}|h(r)|&\leqslant\exp(qM_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha})\frac{\|f\|_{\beta,\gamma}}{r^{\beta+1}}\int_0^r\rho^{\beta}\,d\rho={} \notag \\ &= \exp(qM_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha})\frac{\|f\|_{\beta,\gamma}}{1+\beta},\qquad\beta+1>\alpha. \end{aligned} \end{equation} \tag{16} $$
При $r>1$ имеем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |h(r)|\leqslant{}&\exp(M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha})\|f\|_{\beta,\gamma}\int_0^1\rho^{\beta}\,d\rho+ \exp(M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha})\|f\|_{\beta,\gamma}\times {} \notag \\ &\times \int_1^{r}\frac{d\rho}{1+\rho^{\gamma}}\leqslant M_2(q,\alpha)\exp(M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha})\|f\|_{\beta,\gamma}, \end{aligned} \end{equation} \tag{17} $$
поскольку $\gamma=2(q-1)>1$ при $q>3/2$. Таким образом, из (16) и (17) получаем, что $h(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$. Несложно доказать равенство
$$ \begin{equation} \frac{d h(r)}{d r}=f(r)-q\frac{|w(r)|^{q-2}w(r)}{r^{2(q-1)}}h(r)\in C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)). \end{equation} \tag{18} $$
Лемма доказана.

Лемма 3. Для любой функции $w(r,t)\in C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))$ при выполнении неравенств

$$ \begin{equation} \alpha\geqslant 2,\qquad q\geqslant 2 \end{equation} \tag{19} $$
оператор $Q_2(w)$ действует следующим образом:
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, Q_2(w)\colon {} C([0,T];{}&C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)))\rightarrow{} \\ &\rightarrow C([0,T];C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))), \end{aligned} \\ \beta=\alpha+(\alpha-2)(q-1),\qquad\gamma=2(q-1), \end{gathered} \end{equation} \tag{20} $$
причем справедливо
$$ \begin{equation} Q_2^{-1}(w)\!: C([0,T];C_b(r^{-\beta},1+{} r^{\gamma};[0,+\infty)))\rightarrow{} \nonumber \end{equation} \tag{21} $$
$$ \begin{equation} \rightarrow C([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))), \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} h(r,t):=Q_2^{-1}(w)f(r,t)\int_0^r \exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t)|^{q-2}w(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)f(\rho,t)\,d\rho. \end{equation} \tag{22} $$

Доказательство. Свойство (20) очевидно. Докажем свойства (21) и (22). Справедливы следующие равенства:

$$ \begin{equation} h(r,t_1)-{} h(r,t_2)= \int_0^r\biggl[\exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t_1)|^{q-2}w(y,t_1)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)-{} \nonumber \end{equation} \tag{23} $$
$$ \begin{equation} - \exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t_2)|^{q-2}w(y,t_2)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\biggr]f(\rho,t_1)\,d\rho+{} \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} +\int_0^r\exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t_2)|^{q-2}w(y,t_2)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\times{} \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times [f(\rho,t_1)-f(\rho,t_2)]\,d\rho:= h_1(r)+h_2(r), \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \exp\biggl(-{} q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t_1)|^{q-2}w(y,t_1)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)- \exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t_2)|^{q-2}w(y,t_2)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)={} \nonumber \end{equation} \tag{24} $$
$$ \begin{equation} ={} \int_0^1\frac{d}{d s}\exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y)|^{q-2}w_s(y)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\,ds, \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\qquad\qquad w_s(y):=sw(y,t_1)+(1-s)w(y,t_2), \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \frac{d}{d s}\exp\biggl(- {}q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y)|^{q-2}w_s(y)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)= -q(q-1)\exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y)|^{q-2}w_s(y)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\times{} \nonumber \end{equation} \tag{25} $$
$$ \begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\!\!\times \int_{\rho}^r\frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}[w(y,t_1)-w(y,t_2)]\,dy. \end{equation} \notag $$
Прежде всего заметим, что справедливо неравенство
$$ \begin{equation*} |w_s(y)|\leqslant s|w(y,t_1)|+(1-s)|w(y,t_2)|\leqslant\max\{|w(y,t_1)|,|w(y,t_2)|\},\qquad s\in[0,1]. \end{equation*} \notag $$
Справедливы следующие оценки:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\rho}^r \frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}[w(y,t_1)-w(y,t_2)]\,dy\biggr|\leqslant \int_0^1\frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w(y,t_1)-w(y,t_2)|\,dy+{} \notag \\ &\qquad+ \int_1^{+\infty}\frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w(y,t_1)-w(y,t_2)|\,dy\leqslant \max\{\|w(t_1)\|^{q-2}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-2}_{\alpha}\}\times{} {} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times \biggl[\,\int_0^1y^{(\alpha-2)(q-1)}\,dy+\int_1^{+\infty}\frac{dy}{y^{2(q-1)}}\biggr] \|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant M_3(\alpha,q)\max\{\|w(t_1)\|^{q-2}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-2}_{\alpha}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}. \end{aligned} \end{equation} \tag{26} $$
Таким образом, из (23) с учетом (26) получим оценку
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \|h_1\|_{\alpha}\leqslant{}& M_4(\alpha,q) \exp(M_1(\alpha,q)\max\{\|w(t_1)\|^{q-1}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-1}_{\alpha}\})\times{} \notag \\ &\times \max\{\|w(t_1)\|^{q-2}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-2}_{\alpha}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}\|f(t_1)\|_{\beta,\gamma}. \end{aligned} \end{equation} \tag{27} $$
Аналогичным образом получаем оценку
$$ \begin{equation} \|h_2\|_{\alpha}\leqslant M_4(\alpha,q)\exp(M_1(\alpha,q)\|w(t_2)\|^{q-1}_{\alpha})\|f(t_1)-f(t_2)\|_{\beta,\gamma}. \end{equation} \tag{28} $$
Итак, из (27) и (28) получаем оценку
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\|h(t_1)-h(t_2)\|_{\alpha}\leqslant M_4(\alpha,q)[\exp(M_1(\alpha,q)\max\{\|w(t_1)\|^{q-1}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-1}_{\alpha}\})\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\times \max\{\|w(t_1)\|^{q-2}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-2}_{\alpha}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}\|f(t_1)\|_{\beta,\gamma}+{} \notag \\ &\qquad\qquad+\exp(M_1(\alpha,q)\|w(t_2)\|^{q-1}_{\alpha})\|f(t_1)-f(t_2)\|_{\beta,\gamma}], \end{aligned} \end{equation} \tag{29} $$
из которой получаем, что
$$ \begin{equation} \|h(t_1)-h(t_2)\|_{\alpha}\rightarrow+0\qquad\text{при}\quad |t_1-t_2|\rightarrow+0. \end{equation} \tag{30} $$
Теперь заметим, что справедливо равенство
$$ \begin{equation} \frac{d h(r,t)}{d r}=f(r,t)-q\frac{|w(r,t)|^{q-2}w(r,t)}{r^{2(q-1)}}h(r,t), \end{equation} \tag{31} $$
из которого аналогично (30) получаем оценку
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \biggl\|\frac{d h(r,t_1)}{d r}-{}&\frac{d h(r,t_2)}{d r}\biggr\|_{\beta,\gamma}\leqslant\left\|f(r,t_1)-f(r,t_2)\right\|_{\beta,\gamma}+ q\|w(t_1)\|^{q-1}_{\alpha}\|h(t_1)-h(t_2)\|_{\alpha}+{} \notag \\ &+q(q-1)\max\{\|w(t_1)\|^{q-2}_{\alpha},\|w(t_2)\|^{q-2}_{\alpha}\}\|h(t_2)\|_{\alpha}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}, \end{aligned} \end{equation} \tag{32} $$
из которой получаем
$$ \begin{equation} \biggl\|\frac{d h(r,t_1)}{d r}-\frac{d h(r,t_2)}{d r}\biggr\|_{\beta,\gamma}\rightarrow+0\qquad\text{при}\quad |t_1-t_2|\rightarrow+0. \end{equation} \tag{33} $$
Таким образом, из (30) и (33) получаем
$$ \begin{equation} \|h(t_1)-h(t_2)\|_{\alpha,\beta,\gamma}\rightarrow+0\qquad\text{при}\quad |t_1-t_2|\rightarrow+0. \end{equation} \tag{34} $$
Значит, $h(r,t)\in C([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)))$. Лемма доказана.

Теперь дадим определение классического решения начально-краевой задачи (7).

Определение 3. Функция $w(r,t)\in C^{(1)}([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)))$ при

$$ \begin{equation*} \alpha\geqslant 2,\quad q>1,\quad\beta=\alpha+(\alpha-2)(q-1),\quad\gamma=2(q-1) \end{equation*} \notag $$
называется классическим решением задачи (7), если функция удовлетворяет указанным равенствам поточечно для всех $(r,t)\in[0,+\infty)\times[0,T]$, причем в граничных точках производные понимаются в смысле односторонних пределов.

Пусть $w(r,t)$ – классическое решение задачи (7) в смысле определения 1, причем $q\geqslant 2$. Тогда справедливы следующие эквивалентные равенства для всех $(r,t)\in[0,+\infty)\times[0,T]$:

$$ \begin{equation} Q_2(w)\frac{\partial w}{\partial t}+Q_2(w)w=f(r,t),\qquad w(r,0)=w_0(r),\qquad f(r,t):=q\frac{|w(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}, \end{equation} \tag{35} $$
$$ \begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t}+w=Q^{-1}_2(w)f(r,t),\qquad w(r,0)=w_0(r), \end{equation} \tag{36} $$
$$ \begin{equation} w(t)=w_0e^{-t}+\int_0^te^{-(t-\tau)}Q_2^{-1}(w(\tau))f(\tau)\,d\tau,\qquad f(r,t):=q\frac{|w(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}. \end{equation} \tag{37} $$
Последнее интегральное уравнение можно переписать в следующем виде:
$$ \begin{equation} w(t)=Q(w)(t), \end{equation} \tag{38} $$
$$ \begin{equation} Q(w)(t):=w_0e^{-t}+\int_0^te^{-(t-\tau)}Q_2^{-1}(w(\tau))f(\tau)\,d\tau,\qquad f(r,t):=q\frac{|w(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}. \end{equation} \tag{39} $$
Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Оператор $Q$, определенный равенством (39), для любой функции $w_0(r)\in C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))$ при $q\geqslant 2$ действует следующим образом:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, Q\!: C([0,T]; {}& C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))\rightarrow{} \notag \\ &\rightarrow C^{(1)}([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))). \end{aligned} \end{equation} \tag{40} $$

Доказательство. С одной стороны, заметим, что

$$ \begin{equation} f(r,t)\in C([0,T];C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)) \end{equation} \tag{41} $$
для любой функции
$$ \begin{equation} w(r,t)\in C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))). \end{equation} \tag{42} $$
С другой стороны, заметим, что оператор
$$ \begin{equation} S\phi(t):=\int_{0}^te^{-(t-\tau)}\phi(\tau)\,d\tau \end{equation} \tag{43} $$
действует следующим образом:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, S\!: C([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+{}&r^{\gamma};[0,+\infty)))\rightarrow{} \notag \\ &\rightarrow C^{(1)}([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))). \end{aligned} \end{equation} \tag{44} $$
Осталось заметить, что
$$ \begin{equation} Q(w)=w_0(r)e^{-t}+S(Q_2^{-1}(w)f(r,t)),\qquad f(r,t):=q\frac{|w(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}. \end{equation} \tag{45} $$

Замечание 2. В частности, имеем

$$ \begin{equation} Q\!: C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))\rightarrow C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))). \end{equation} \tag{46} $$

Рассмотрим следующее замкнутое, выпуклое и ограниченное множество:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, B_R:=\{w(t)\in C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))\colon \|w\|\leqslant R\}, \\ \|w\|:=\sup_{t\in[0,T]}\|w(t)\|_{\alpha}. \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{47} $$

Справедлива следующая лемма.

Лемма 5. Для любой функции $w_0(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$ при $q>1$ найдутся такое достаточно большое $R>0$ и такое достаточно малое $T>0$, что

$$ \begin{equation} Q\!: B_R\rightarrow B_R. \end{equation} \tag{48} $$

Доказательство. Пусть $R>0$ настолько велико, что

$$ \begin{equation} \|w_0\|=\|w_0\|_{\alpha}\leqslant\frac{R}{2}. \end{equation} \tag{49} $$
Зафиксируем такое $R>0$. Справедлива оценка
$$ \begin{equation} \|Q_2^{-1}(w(\tau))f(\tau)\|_{\alpha}\leqslant M_4(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}}\|w\|^q. \end{equation} \tag{50} $$
Из (39) с учетом (49), (50) следует, что справедлива оценка
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \|Q(w)\|&\leqslant\|w_0\|+TM_4(\alpha,q) e^{(M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}}\|w\|^q\leqslant{} \notag \\ &\leqslant \frac{R}{2}+TM_4(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}R^q\leqslant R, \end{aligned} \end{equation} \tag{51} $$
если $T>0$ настолько мало, что
$$ \begin{equation} TM_4(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}R^{q-1}\leqslant\frac{1}{2}. \end{equation} \tag{52} $$
С учетом леммы 4 приходим к утверждению. Лемма доказана.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 6. Для достаточно малого $T>0$ при $q\geqslant 2$ оператор $Q$ является сжимающим на $B_R$:

$$ \begin{equation} \|Q(w_1)-Q(w_2)\|\leqslant\frac{1}{2}\|w_1-w_2\| \end{equation} \tag{53} $$
для любых $w_1,w_2\in B_R.$

Доказательство. Пусть $w_1(t),w_2(t)\in B_R$. Введем функции при $k=1,2$:

$$ \begin{equation} g_k(r,t):=(Q^{-1}_2(w_k(r,t))f_k(r,t))(r,t),\qquad f_k(r,t):=q\frac{|w_k(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}. \end{equation} \tag{54} $$
Как и при получении оценки (29), приходим к неравенству
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \|g_1(r,t)-g_2(r,t)\|\leqslant{}& M_4(\alpha,q)[e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}} R^{q-2}\|w_1-w_2\|\sup_{t\in[0,T]}\|f_1\|_{\beta,\gamma}+{} \notag \\ &+e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}\sup_{t\in[0,T]}\|f_1-f_2\|_{\beta,\gamma}], \end{aligned} \end{equation} \tag{55} $$
причем справедлива оценка
$$ \begin{equation} \sup_{t\in[0,T]}\|f_1(t)-f_2(t)\|_{\beta,\gamma}\leqslant M_5(\alpha,q)R^{q-1}\|w_1-w_2\|. \end{equation} \tag{56} $$
Из оценок (55) и (56) получаем
$$ \begin{equation} \|g_1(r,t)-g_2(r,t)\|\leqslant M_6(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}R^{q-1} [R^q+1]\|w_1-w_2\|. \end{equation} \tag{57} $$
Из (39) с учетом (56), (57) получаем оценку
$$ \begin{equation} \|Q(w_1)-Q(w_2)\|\leqslant TM_6(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}R^{q-1} [R^q+1]\|w_1-w_2\|\leqslant\frac{1}{2}\|w_1-w_2\|, \end{equation} \tag{58} $$
если $T>0$ настолько мало, что
$$ \begin{equation*} TM_6(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)R^{q-1}}R^{q-1} [R^q+1]\leqslant\frac{1}{2}. \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

С учетом лемм 5, 6 и принципа сжимающих отображений получаем, что для любой функции $w_0(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$ при выполнении неравенств (19) при достаточно малом $T>0$ существует единственное решение интегрального уравнения (38) в классе $C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))$. Используя стандартный алгоритм продолжения решения интегрального уравнения (38) во времени (см. [9]), получим следующий результат.

Теорема 1. Если $q\geqslant 2$, то для любой функции $w_0(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))$ при выполнении неравенства $\alpha>2$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(w_0)> 0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение $w(r,t)$ класса $C([0,T]; C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))$ интегрального уравнения (38), причем либо $T_0= +\infty$, либо $T_0< +\infty$, и в этом последнем случае имеем

$$ \begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}\|w(t)\|_{\alpha}=+\infty. \end{equation} \tag{59} $$

С учетом леммы 4 и с использованием уравнения (38) приходим к основной теореме настоящей работы.

Теорема 2. Если $q\geqslant 2$, то для любой функции $w_0(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty))\cap C^{(1)}[0,+\infty)$ при выполнении неравенства $\alpha>2$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(w_0)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное классическое решение задачи (7) в смысле определения 3, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае имеет место предельное свойство (59).

Теперь рассмотрим следующее интегральное неравенство при $t\in[0,T]$:

$$ \begin{equation} z(t)\leqslant z(0)e^{-t}+\int_0^te^{-(t-\tau)}a_1 e^{a_2z^{q-1}(\tau)}z^q(\tau)\,d\tau,\qquad q>1,\quad z(t)\geqslant 0. \end{equation} \tag{60} $$
Пусть число $d>0$ таково, что выполнены неравенства
$$ \begin{equation} z(0)<d,\qquad a_1 e^{a_2d^{q-1}}d^{q-1}\leqslant 1. \end{equation} \tag{61} $$
Пусть найдется такое $t=t_0>0$, что
$$ \begin{equation} z(t)<d,\qquad z(t_0)=d\qquad\text{для всех}\quad t\in[0,t_0). \end{equation} \tag{62} $$
Тогда имеем
$$ \begin{equation} a_1 e^{a_2z^{q-1}(t)}z^q(t)\leqslant a_1 e^{a_2d^{q-1}}d^{q-1}d\leqslant d\qquad\text{при}\quad t\in[0,t_0]. \end{equation} \tag{63} $$
Следовательно, из (60) с учетом (61) и (63) приходим к неравенству
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, z(t_0)&\leqslant z(0)e^{-t_0}+\int_0^{t_0}e^{-(t_0-\tau)}a_1 e^{a_2z^{q-1}(\tau)}z^q(\tau)\,d\tau<{} \notag \\ &< de^{-t_0}+d(1-e^{-t_0})=d\quad \Rightarrow \quad z(t_0)<d. \end{aligned} \end{equation} \tag{64} $$
Пришли к противоречию с предположением (62). Итак, при выполнении неравенств (61) получаем, что
$$ \begin{equation} z(t)<d\quad\text{для всех}\quad t\in[0,T]. \end{equation} \tag{65} $$
Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если в дополнение к условиям теоремы 2 выполнены условия

$$ \begin{equation} \|w_0\|_{\alpha}<d\quad\textit{при}\quad M_4(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)d^{q-1}}d^{q-1}\leqslant 1, \end{equation} \tag{66} $$
где постоянные $M_1$ и $M_4$ появились при доказательстве леммы 2, то классическое решение задачи Коши (7) в смысле определения 3 существует глобально во времени, причем $\|w(t)\|_{\alpha}<d$ для всех $t\in[0,+\infty)$. Если
$$ \begin{equation} w_0(r)\geqslant 0,\qquad M_4(\alpha,q)\|w_0\|^{q-1}_{\alpha}<1, \end{equation} \tag{67} $$
решение задачи Коши существует глобально во времени и справедливо неравенство
$$ \begin{equation} \|w\|_{\alpha}(t)\leqslant\frac{\|w_0\|_{\alpha}e^{-t}} {[1-M_4(\alpha,q)\|w_0\|^{q-1}_{\alpha}(1-e^{-(q-1)t})]^{1/(q-1)}}. \end{equation} \tag{68} $$

Доказательство. Точно так же, как при доказательстве леммы 2, приходим к следующему неравенству:

$$ \begin{equation} \|w\|_{\alpha}(t)\leqslant \|w_0\|_{\alpha}e^{-t}+ \int_0^te^{-(t-\tau)}M_4(\alpha,q) e^{M_1(\alpha,q)\|w\|^{q-1}_{\alpha}(\tau)}\|w\|^q_{\alpha}(\tau)\,d\tau. \end{equation} \tag{69} $$
Осталось воспользоваться рассуждениями (60)–(65).

Если помимо всех прочих условий $w_0(r)\geqslant 0$, то из интегрального уравнения (37) получим неравенство $w(r,t)\geqslant 0$ для всех $(r,t)\in [0,+\infty)\times[0,T_0)$. Теперь с учетом этого неравенства находим из интегрального уравнения (38) следующую оценку:

$$ \begin{equation} \|w\|_{\alpha}(t)\leqslant\|w_0\|_{\alpha}e^{-t}+ M_4(\alpha,q)\int_0^te^{-(t-\tau)}\|w\|^q_{\alpha}(\tau)\,d\tau. \end{equation} \tag{70} $$
Введем функцию
$$ \begin{equation} z(t):=\|w\|_{\alpha}(t)e^t. \end{equation} \tag{71} $$
Тогда из (70) получим неравенство
$$ \begin{equation} z(t)\leqslant z(0)+M_4e^{-t}\int_0^te^{-(q-1)\tau}z^q(\tau)\,d\tau\leqslant z(0)+M_4\int_0^te^{-(q-1)\tau}z^q(\tau)\,d\tau, \end{equation} \tag{72} $$
из которого, воспользовавшись неравенством Бихари (см. [10]), получим неравенство
$$ \begin{equation} z(t)\leqslant\frac{z(0)}{[1-M_4(z(0))^{q-1}(1- e^{-(q-1)t})]^{1/(q-1)}}, \end{equation} \tag{73} $$
из которого при условии $M_4z^{q-1}(0)<1$ и получаем оставшиеся утверждения теоремы. Теорема доказана.

3. Задача Коши. Случай $3/2<q<2$

В случае $3/2<q<2$ лемма 2 остается справедливой. Лемма 3 примет иной вид.

Лемма 7. Для любой функции $w(r,t)\in C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))$ при выполнении неравенств $\alpha\geqslant 2$, $3/2<q<2$, а также неравенств

$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} w(r,t)&\geqslant w_0(r)e^{-t},&\qquad &w_0(r)\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)),\\ w_0(r)&\geqslant a_0\min\{1,r^{\alpha}\},&\qquad &a_0>0, \end{alignedat} \end{equation} \tag{74} $$
оператор $Q_2(w)$ действует следующим образом:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, Q_2(w)\!: {}& C([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)))\rightarrow{} \notag \\ &\qquad\qquad\rightarrow C([0,T];C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))), \\ \beta&=\alpha+(\alpha-2)(q-1),\qquad\gamma=2(q-1), \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{75} $$
причем справедливо
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, Q_2^{-1}(w)\!: {}& C([0,T];C_b(r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty)))\rightarrow{} \notag \\ &\qquad\qquad\rightarrow C([0,T];C^{(1)}_b(r^{-\alpha},r^{-\beta},1+r^{\gamma};[0,+\infty))), \\ h(r,t):={}&Q_2^{-1}(w)f(r,t)=\int_0^r\exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w(y,t)|^{q-2}w(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)f(\rho,t)\,d\rho. \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{76} $$

Доказательство. Доказательство данной леммы в целом повторяет доказательство леммы 2. Отдельно нужно провести рассмотрение оценки (26), в которой существенно использовалось условие $q\geqslant 2$. В случае $3/2<q<2$ оценка примет следующий вид:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, w_s(y)={}& sw(y,t_1)+(1-s)w(y,t_2)\geqslant sw_0(y)e^{-t_1}+(1-s)w_0(y)e^{-t_2}={} \\ ={}& w_0(y)\min\{e^{-t_1},e^{-t_2}\}\geqslant a_0\min\{1,y^{\alpha}\}\min\{e^{-t_1},e^{-t_2}\}\geqslant 0,\quad s\in[0,1],\; y\geqslant 0, \\ |w_s(y)|^{q-2}{}&|w(y,t_1)-w(y,t_2)|\leqslant{} \\ &\leqslant a_0^{q-2} y^{\alpha(q-1)}\max\{e^{(2-q)t_1},e^{(2-q)t_2}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha},\qquad y\in[0,1], \\ |w_s(y)|^{q-2}{}& |w(y,t_1)-w(y,t_2)|\leqslant{} \\ &\leqslant a_0^{q-2}\max\{e^{(2-q)t_1},e^{(2-q)t_2}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha},\qquad y\geqslant 1, \\ \biggl| \int_{\rho}^r {}& \frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}[w(y,t_1)-w(y,t_2)]\,dy\biggr|\leqslant \int_0^1\frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w(y,t_1)-w(y,t_2)|\,dy+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+ \int_1^{+\infty}\frac{|w_s(y)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w(y,t_1)-w(y,t_2)|\,dy\leqslant{} \\ &\leqslant a_0^{q-2}\max\{e^{(2-q)t_1},e^{(2-q)t_2}\} \biggl[\int_0^1y^{(\alpha-2)(q-1)}\,dy+\int_1^{+\infty}\frac{dy}{y^{2(q-1)}}\biggr]\times{} \\ &\quad\times \|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}\leqslant M_3(\alpha,q,a_0)\max\{e^{(2-q)t_1},e^{(2-q)t_2}\}\|w(t_1)-w(t_2)\|_{\alpha}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Аналогичным образом нужно изменить оценку (32). Таким образом, лемма доказана.

Рассмотрим следующее полное метрическое пространство относительно метрики, порожденной нормой:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, D_R:=\{w(t)\in C([0,T];C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)))\!: \|w\|\leqslant R,\, w(t)\geqslant w_0e^{-t}\}, \\ \|w\|:=\sup_{t\in[0,T]}\|w(t)\|_{\alpha},\qquad w_0\in C_b(r^{-\alpha};[0,+\infty)). \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{77} $$
Леммы 4 и 5 с заменой $B_R$ на $D_R$ остаются без изменений. Справедлива следующая лемма.

Лемма 8. При выполнении условий (74) для достаточно малого $T>0$ при $q\in(3/2,2)$ оператор $Q$ является сжимающим на $D_R$:

$$ \begin{equation} \|Q(w_1)-Q(w_2)\|\leqslant\frac{1}{2}\|w_1-w_2\| \end{equation} \tag{78} $$
для любых $w_1,w_2\in D_R$.

Доказательство. Пусть $w_1(t),w_2(t)\in D_R$. Введем следующие функции при $k=1,2$:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, g_k(r,t):={}&\bigl(Q^{-1}_2(w_k(r,t))f_k(r,t)\bigr)(r,t),\qquad f_k(r,t):=q\frac{|w_k(r,t)|^q}{r^{2(q-1)}}, \\ g_1(r,t)-g_2(r,t)={}&\int_0^r\biggl[\exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_1(y,t)|^{q-2}w_1(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)-{} \\ &- \exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_2(y,t)|^{q-2}w_2(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\biggr]f_1(\rho,t)\,d\rho+{} \\ &+ \int_0^r\exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_2(y,t)|^{q-2}w_2(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times [f_1(\rho,t)-f_2(\rho,t)]\,d\rho:=h_1(r,t)+h_2(r,t), \\ \exp \biggl(-q{}&\int_{\rho}^r\frac{|w_1(y,t)|^{q-2}w_1(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)-{} \\ &- \exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_2(y,t)|^{q-2}w_2(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)={} \\ ={}& \int_0^1\frac{d}{d s}\exp\biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}w_s(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\,ds, \\ w_s(y,t):={}&sw_1(y,t)+(1-s)w_2(y,t), \\ \frac{d}{d s}\exp \biggl({}&-q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}w_s(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)={} \\ ={}& -q(q-1)\exp \biggl(-q\int_{\rho}^r\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}w_s(y,t)}{y^{2(q-1)}}\,dy\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times \int_{\rho}^r\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}[w_1(y,t)-w_2(y,t)]\,dy. \end{aligned} \end{equation} \tag{79} $$
Теперь осталось воспользоваться оценками
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, w_s(y,t)={}&sw_1(y,t)+(1-s)w_2(y,t)\geqslant sw_0(y)e^{-t}+(1-s)w_0(y)e^{-t}={} \\ ={}&w_0(y)e^{-t}\geqslant a_0\min\{1,y^{\alpha}\}e^{-t}\geqslant 0,\qquad s\in[0,1],\quad y\geqslant 0, \\ |w_s(y,t)|^{q-2}{}&|w_1(y,t)-w_2(y,t)|\leqslant a_0^{q-2} y^{\alpha(q-1)}e^{(2-q)t}\|w_1(t)-w_2(t)\|_{\alpha},\quad y\in[0,1], \\ |w_s(y,t)|^{q-2}{}&|w(y,t)-w(y,t)|\leqslant a_0^{q-2}e^{(2-q)t}\|w_1(t)-w_2(t)\|_{\alpha},\quad y\geqslant 1, \\ \biggl|\int_{\rho}^r{}&\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}[w_1(y,t)-w_2(y,t)]\,dy\biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant \int_0^1\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w_1(y,t)-w_2(y,t)|\,dy+{} \\ &\qquad+ \int_1^{+\infty}\frac{|w_s(y,t)|^{q-2}}{y^{2(q-1)}}|w_1(y,t)-w_2(y,t)|\,dy\leqslant{} \\ &\leqslant a_0^{q-2}e^{(2-q)t}\biggl[\,\int_0^1y^{(\alpha-2)(q-1)}\,dy+\int_1^{+\infty}\frac{dy}{y^{2(q-1)}}\biggr]\times{} \\ &\qquad\qquad\times \|w_1(t)-w_2(t)\|_{\alpha}\leqslant M_3(\alpha,q,a_0)e^{(2-q)t}\|w_1(t)-w_2(t)\|_{\alpha}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Дальнейшие рассуждения такие же, как и при доказательстве леммы 6. Лемма доказана.

Далее точно так же, как и в предыдущем разделе, приходим к выводу о справедливости теорем 1 и 2 при условии $q\in(3/2,2)$ и условиях (74). Наконец, при этих же условиях остается справедливой теорема 3.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы
1. А. В. Тимошенко, Д. В. Калеев, А. Ю. Перлов, В. М. Антошина, Д. В. Рябченко, “Сравнительный анализ аналитических и эмпирических методик оценки текущих параметров надежности радиолокационных комплексов мониторинга”, Изв. вузов. Электроника, 25:3 (2020), 244–254  crossref
2. М. О. Корпусов, “О разрушении решения уравнения, родственного уравнению Гамильтона–Якоби”, Матем. заметки, 93:1 (2013), 81–95  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
3. М. О. Корпусов, “О разрушении решения нелокального уравнения с градиентной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. матем. моделирование и программирование, 11 (2012), 45–53  mathnet
4. М. О. Корпусов, А. А. Панин, А. Е. Шишков, “О критическом показателе ‘мгновенное разрушение’ versus ‘локальная разрешимость’ в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 118–153  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
5. М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 759–772  mathnet  crossref  crossref  mathscinet
6. М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью”, ТМФ, 217:2 (2023), 378–390  mathnet  crossref  crossref  mathscinet
7. М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О разрушении решения одной $(1+1)$-мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 219:2 (2024), 249–262  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
8. М. О. Корпусов, “Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 103–162  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
9. А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903  mathnet  crossref  crossref  mathscinet
10. Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, М., 1967  mathscinet
Образец цитирования: М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(3+1)$-мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 221:3 (2024), 702–715; Theoret. and Math. Phys., 221:3 (2024), 2207–2218
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ArtKor24}
\by М.~В.~Артемьева, М.~О.~Корпусов
\paper О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(3+1)$-мерной тепло-электрической модели
\jour ТМФ
\yr 2024
\vol 221
\issue 3
\pages 702--715
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10745}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10745}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4843351}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...221.2207A}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2024
\vol 221
\issue 3
\pages 2207--2218
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924120146}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85212973811}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf10745
  • https://doi.org/10.4213/tmf10745
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v221/i3/p702
    • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Теоретическая и математическая физика Theoretical and Mathematical Physics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:211
    PDF полного текста:28
    HTML русской версии:28
    Список литературы:43
    Первая страница:21
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2026