| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Бета-функция в голографических моделях КХД И. Я. Арефьева, А. Хаджилу, П. С. Слепов, М. К. Усова Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924120080 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРежим сильной связи калибровочных теорий может быть исследован с помощью голографической дуальности, определяющей соответствие между классом сильновзаимодействующих квантовых теорий поля и слабовзаимодействующих гравитационных теорий [1]–[3]. Благодаря этой дуальности возможно описание потока ренормгруппы (РГ) в квантовой теории поля (КТП) с помощью гравитации с дилатонным полем, т. е. в виде голографического РГ-потока [4]–[7]. Геометрическое описание РГ-потока в данном подходе дуально гравитационному решению с особыми асимптотиками, при этом голографическая координата $z$ соответствует энергетическому масштабу КТП. Следовательно, бета-функция имеет голографический аналог, описывающий зависимость бегущей константы связи от энергетического масштаба КТП [8]–[11]. Исследование структуры фазовой диаграммы КХД в плоскости (химический потенциал, температура) является одной из важных задач высокоэнергетических экспериментов на ускорителях LHC, RHIC, NICA и FAIR. Поскольку стандартные вычисления в рамках теории возмущений не работают для КХД в режиме сильной связи, для описания физики сильновзаимодействующей кварк-глюонной плазмы (КГП), образующейся при столкновениях тяжелых ионов, требуется непертурбативный подход [2], [3]. Из вычислений на решетке [12], [13] и некоторых эффективных феноменологических моделей [14] следует, что структуры фазовых диаграмм КХД различаются для тяжелых и легких кварков в силу их значительной зависимости от масс кварков. С учетом такой зависимости модели голографической КХД, воспроизводящей известные особенности вычислений на решетке, должны быть разными для тяжелых и легких кварков [15]–[22]. Голографическая КХД, вообще говоря, дает различное поведение бета-функций в разных фазах, а именно в фазе конфайнмента кварков и фазе КГП, а также вблизи критических линий для тяжелых и легких кварков. В контексте приложений в КХД голографический РГ-поток изучался в работах [6], [7], [23], [24]. РГ-потоки для анизотропной КГП с ненулевыми химическим потенциалом и температурой исследованы в работах [17], [25], [26]. Точные голографические РГ-потоки были введены в случаях пространств более высоких размерностей [27] и более низких размерностей [28], [29]. Бета-функция выражает зависимость бегущей константы связи $\alpha$ от энергетического масштаба физической системы и задается формулой
$$
\begin{equation}
\beta_\mathrm{QFT}(\alpha)=\frac {\partial \alpha(\Lambda)}{\partial \ln\Lambda},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\alpha=\alpha(\Lambda)$ – бегущая константа связи, а величина $\Lambda$ обозначает энергетический масштаб в КТП и связана с голографической координатой $z$ как $z\sim 1/\Lambda$ [2], [30]. В настоящей работе мы исследуем поведение голографической бета-функции как функции бегущей константы связи. Бета-функция в голографии определена как [23], [25], [27], [31], [32]
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha)= \frac{\partial \alpha} {\partial \ln B},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\alpha(z)=e^{\varphi(z)}$, $\varphi$ – поле дилатона, а $B(z)=e^{A(z)}/z$ играет роль энергетического масштаба КТП и задает фактор деформации в голографической метрике (см. подробнее ниже, в частности (2.4)). Основной целью настоящей работы является изучение зависимости бета-функции от бегущей константы связи для голографических моделей легких и тяжелых кварков. В предыдущей статье [33] мы исследовали поведение бета-функции в зависимости от голографической координаты $z$ для различных температур и химических потенциалов. В этом исследовании мы сосредоточимся на зависимости $\beta(\alpha)$ и сравним наши результаты с пертурбативными расчетами. Статья организована следующим образом. В разделе 2 вводятся пятимерные голографические модели тяжелых и легких кварков, описываются их термодинамические свойства. В разделе 3 исследуется бета-функция $\beta(\alpha)$ для этих моделей. В разделе 4 приводится обзор основных результатов работы. 2. Голографическое определение моделей легких и тяжелых кварков2.1. МоделиМы рассматриваем систему с действием Эйнштейна–Максвелла для скалярного поля [15], [16]
$$
\begin{equation}
S=\frac{1}{16\pi G_5}\int d^5x\,\sqrt{-\mathfrak{g}} \biggl[R-\frac{\mathfrak{f}_0(\varphi)}{4}F^2-\frac{1}{2}\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi-\mathcal{V}(\varphi)\biggr],
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
включающим в себя пятимерную константу Ньютона $G_5$, скаляр Риччи $R$, электромагнитный тензор $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ калибровочного поля Максвелла $A_{\mu}$, скалярное поле (дилатон) $\varphi$, калибровочную кинетическую функцию взаимодействия $\mathfrak{f}_0(\varphi)$, описывающую константу связи между полем Максвелла и дилатоном, и дилатонный потенциал $\mathcal{V}(\varphi)$. Соответствующие действию (2.1) уравнения движения могут быть получены в общей форме:
$$
\begin{equation}
\nabla^2\varphi=\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial \varphi}+ \frac{F^2}{4}\frac{\partial \mathfrak{f}_0}{\partial \varphi},\qquad \qquad \partial_{\mu}[\sqrt{-\mathfrak{g}}\,\mathfrak{f}_0(\varphi)F^{\mu\nu}]=0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{\mathfrak{f}_0(\varphi)}{2}\biggl(F_{\mu\rho}F^{\rho}_{\nu}-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F^2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{2}\biggl[\partial_{\mu}\varphi\partial_{\nu}\varphi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\varphi)^2-g_{\mu\nu}\mathcal{V}(\varphi)\biggr].
\end{equation}
\notag
$$
Для решения этой системы уравнений мы рассматриваем анзац для метрики, скалярное поле и поле Максвелла вида [15], [16]
$$
\begin{equation}
ds^2= B^2(z)\biggl[-g(z)dt^2+d\vec{x}^2+\frac{dz^2}{g(z)}\biggr],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi =\varphi(z),\qquad A_{\mu}=(A_t(z),\vec{0},0), \quad B(z)=\frac{e^{A(z)}}{z},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $B(z)$ – фактор деформации, $g(z)$ – функция почернения, $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$, а $A(z)$ – масштабный фактор, функционально различный для легких и тяжелых кварков. Полные уравнения движения в явном виде представлены в [15]–[20], [34]–[36]. Все функции зависят от голографической координаты $z$. После решения уравнений движения поля́ можно выразить как функции $\varphi$, т. е. $V(z)=\mathcal{V}(\varphi(z))$, $V_\varphi(z)=\mathcal{V}_\varphi(\varphi(z))$ и $f_0(z)=\mathfrak{f}_0(\varphi(z))$. Для решения уравнений движения (2.2), (2.3) используются стандартные граничные условия: Мы выделяем три вида граничных условий, налагаемых на дилатонное поле, задавая $z_0$ в разном виде: где $\mathfrak{z} (z_h)$ – гладкая функция $z_h$. Дилатонное поле с нулевым граничным условием (2.9) обозначается как $\varphi_0(z)$, т. е. $\varphi(z,0)=\varphi_0(z)$, для первого граничного условия (2.10) имеем $\varphi_{z_h}(z)$, второе граничное условие (2.11) определяет $\varphi_\mathfrak{z}(z)$, причем для модели легких кварков
$$
\begin{equation}
z_0=\mathfrak{z}_\mathrm{LQ}(z_h)=10 \, e^{-z_h/4}+0.1.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для легких кварков калибровочная кинетическая функция взаимодействия и масштабный фактор $A(z)$ могут быть выбраны в виде [15] где параметры $a = 4.046$, $b = 0.01613$ ГэВ$^2$ и $c=0.227$ ГэВ$^2$ воспроизводят траектории Редже из экспериментов [15]. Для тяжелых кварков калибровочная кинетическая функция и масштабный фактор $A(z)$ заданы как [16], [37]
$$
\begin{equation}
f_0(z)=e^{-\mathrm{s} z^2-A(z)},\qquad A(z)=-\frac{\mathrm{s}}{3}z^2- p z^4,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где параметры $\mathrm{s}= 1.16$ ГэВ$^2$ и $p = 0.273$ ГэВ$^4$ подобраны в соответствии с экспериментальными данными [16]. Второе граничное условие для модели тяжелых кварков предлагается брать в следующем виде [33]:
$$
\begin{equation}
z_0= \mathfrak{z}_\mathrm{HQ}(z_h) =e^{-z_h/4} + 0.1.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
При граничных условиях (2.6), (2.7) аналитические решения системы уравнений движения (2.2), (2.3) для легких и тяжелых кварков имеют вид
$$
\begin{equation}
\varphi(z)={} \int_{z_0}^{z} dz\, \sqrt{-6\biggl(A''(z)-A'(z)^2+\frac{2}{z}A'(z) \biggr)},
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
A_t(z)={} \mu\frac{e^{cz^2}-e^{cz^2_h}}{1-e^{cz^2_h}},
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
g(z)={} 1-\biggl[\int_0^{z_h}y^3e^{-3A}\,dy\biggr]^{-1}\Biggl[\int_0^zy^3 e^{-3A}\,dy-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{2c\mu^2}{(1-e^{cz_h^2})^2}\begin{vmatrix} \int_0^{z_h}y^3e^{-3A}\,dy & \int_0^{z_h}y^3e^{-3A}e^{cy^2}\,dy \\ \int_{z_h}^z y^3e^{-3A}\,dy & \int_{z_h}^{z}y^3e^{-3A}e^{cy^2}\,dy \end{vmatrix}\Biggr],
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
V(z)={} -3z^2g e^{-2A}\biggl[A''+3A'^2+\biggl(\frac{3g'}{2g}-\frac{6}{z}\biggr)A'-\frac{1}{z}\biggl(\frac{3g'}{2g}-\frac{4}{z}\biggr)+\frac{g''}{6g}\biggr],
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где штрихом обозначена производная по $z$. Отметим, что для тяжелых кварков параметр $c$ должен быть заменен на $\mathrm{s}$. 2.2. ТермодинамикаПри рассмотрении метрики (2.4) температура и энтропия выражаются как
$$
\begin{equation}
T = \frac{|g'|}{4 \pi} \bigg|_{z=z_h},\qquad s = \frac{B^3 (z_h)}{4}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Энтропия монотонно уменьшается с увеличением горизонта. Для получения линии фазового перехода “черная дыра–черная дыра” (или переход типа Хокинга–Пейджа) необходимо посчитать свободную энергию как функцию температуры: Рассмотрение неотрицательных значений температуры предполагает, что $z\leqslant z_{h_2}$. Фазовая диаграмма КХД в плоскости $(\mu,T)$ описывает фазовую структуру квантовой материи в терминах термодинамических параметров и для голографических моделей может быть представлена также в плоскости $(\mu,z_h)$ (см. рис. 1 для легких и тяжелых кварков [33]). Различные фазы, а именно адронная, кваркионная и КГП, обозначены на рис. 1 как $\bigcirc\kern-7pt{\scriptstyle1}\kern4pt$, $\bigcirc\kern-7pt{\scriptstyle2\kern4pt}$ и $\bigcirc\kern-7pt{\scriptstyle3\kern4pt}$, им соответствуют квадрат, круг и треугольник. Сплошные серые линии отвечают постоянным температурам, значения которых для каждой линии представлены в соответствующих рамках. Черными звездочками обозначены пересечения линий фазового перехода первого рода и перехода конфайнмент–деконфайнмент. Полупрозрачный ромб отмечает конечную критическую точку. Рис. 1 описывает физические области голографической модели, рассматриваемые при исследовании свойств бета-функции как функции бегущей константы связи. 3. Бета-функцияЗависимость бегущей константы связи $\alpha$ от энергетического масштаба физической системы описывается бета-функцией $\beta(\alpha)$. Голографическая бета-функция и бегущая константа связи заданы как [23], [24], [31], [32]
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha)=3\alpha X, \qquad \alpha(z)=e^{\varphi(z)},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $X$ – новая динамическая переменная, опеределенная как [25]–[27] Здесь $B$ и $\varphi$ заданы выражениями (2.5) и (2.16) соответственно. Отметим, что функция $X(z)$ не зависит от выбора граничных условий, в то время как голографическая бета-функция и константа связи зависят. Мы обозначаем поле дилатона с нулевым граничным условием при нулевой голографической координате как $\varphi=\varphi_0(z)$, т. е. При граничном условии $z=z_0$ поле дилатона может быть выражено как [33] Для бегущей константы связи имеем
$$
\begin{equation}
\alpha_{0}(z) \to\alpha_{z_0}(z)=\alpha_0(z)\mathfrak{G} (z_0),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_0(z) =e^{\varphi_0(z)}, \quad\mathfrak{G} (z_0)=e^{-\varphi_{0}(z_0)},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
и тогда бета-функция может быть записана как
$$
\begin{equation}
\beta_0(z)\to \beta_{z_0}(z)= \beta_0(z)\mathfrak{G} (z_0), \qquad \beta_0(z)=3\alpha_0(z)X(z).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
В то время как $\varphi_{0}(z)$ в нашей модели напрямую не зависит от таких термодинамических величин как $T$ и $\mu$, представляется возможным учесть эту зависимость для бегущей константы связи, определив $z_0$ в терминах $z_h$, т. е. $z_0=\mathfrak{z}(z_h)$, тогда получаем
$$
\begin{equation}
\alpha_{\mathfrak{z}}(z;T,\mu)=\alpha_0(z)\mathfrak{G} (T,\mu),\qquad \mathfrak{G} (T,\mu)= e^{-\varphi_{0}(\mathfrak{z}(z_h))},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где одним из способов задания зависимости является функция вида $\mathfrak{z}(z_h)=z_h$, а другие заданы экспоненциальными выражениями (2.12) и (2.15) для легких и тяжелых кварков соответственно. 3.1. Бета-функция при разных граничных условияхБета-функция $\beta(\alpha)$ для модели легких кварков при $T=0.08$, $\mu=0.43$ и для модели тяжелых кварков при $T=0.532$, $\mu=0.64$ для трех различных типов граничных условий, т. е. (2.9), (2.10) и (2.11), представлена на рис. 2. Поведение $\beta(\alpha)$ существенно не зависит от граничных условий в обеих моделях. По этой причине в настоящей работе мы выбрали первое граничное условие (2.11) для исследования свойств бета-функции $\beta(\alpha)$. 3.2. Бета-функция как функция бегущей константы связиТрехмерные графики бета-функции $\beta(\alpha;\mu,T)$ для легких кварков при фиксированных значениях $\mu=0.02$ и $\mu=0.3$ и график в увеличенном масштабе при $\mu=0.3$ вблизи температуры фазового перехода первого рода $T=0.113$ представлены на рис. 3. Адронная, кваркионная и КГП фазы обозначены серым, светло-серым и черным цветами соответственно. Плоскость постоянной температуры $T=0.113$ выделена бледно-серым цветом. На рис. 3а показана область “кроссовера”, в которой не возникает фазового перехода первого рода, в то время как происходит фазовый переход конфайнмент–деконфайнмент, при этом функция $\beta(\alpha;\mu,T)$ не имеет скачка из адронной фазы в фазу КГП. Несмотря на то что на рис. 3б непрерывный фазовый переход между кваркионной фазой и фазой КГП происходит без каких-либо скачков, скачок функции $\beta(\alpha;\mu,T)$ имеется при переходе из адронной фазы в кваркионную. Эти скачки бета-функции при фазовом переходе первого рода на различных масштабах (параметризованных голографической координатой $z$) представлены на рис. 3в. На рис. 3 показано, что зависимость бета-функции от $\alpha$ практически линейная, причем наклон функции зависит от параметров $T$ и $\mu$. Для пояснения такого поведения бета-функция как функция $\alpha$ для легких кварков при различных значениях $\mu$ изображена на рис. 5а (см. ниже). Для исследования в модели тяжелых кварков скачков бета-функции при фазовом переходе первого рода на разных масштабах, параметризованных голографической координатой $z$, мы приводим бета-функцию $\beta(\alpha;\mu,T)$ при фиксированном значении $\mu=0.3$, а также область этого графика вблизи температуры фазового перехода первого рода $T=0.585$ на рис. 4. Адронная, кваркионная и КГП фазы обозначены серым, светло-серым и черным цветами соответственно. Плоскость при $T=0.585$ представлена бледно-серым цветом. На рис. 4а присутствует фазовый переход конфайнмент–деконфайнмент без скачков между кваркионной фазой и фазой КГП, однако наблюдается скачок между адронной и кваркионной фазами при фазовом переходе первого рода. Более детально этот скачок представлен на рис. 4б, бледно-серая плоскость постоянной температуры $T=0.585$ отвечает фазовому переходу первого рода. Зависимость бета-функции от $\alpha$ на рис. 4 практически линейная с наклоном, зависящим от параметров $T$ и $\mu$. Для ясности мы представили бета-функцию как функцию $\alpha$ при разных значениях $\mu$ на рис. 5б. Важно отметить, что наши результаты для легких и тяжелых кварков демонстрируют, что при фазовом переходе первого рода бета-функция имеет скачки, величина которых зависит от параметров теории, т. е. $T$ и $\mu$. Фактически бета-функция чувствительна к фазовому переходу первого рода. На рис. 5 представлен двумерный график бета-функции $\beta= \beta(\alpha)$ легких кварков при $T=0.11$ и тяжелых кварков при $T=0.574$ для разных значений $\mu$. Бета-функция легких кварков $\beta(\alpha)$ на рис. 5а соответствует адронной, кваркионной и КГП фазам при $\mu=0.1,0.3$, $\mu=0.557,1$ и $\mu=2,2.2$ соответственно. В адронной фазе на рис. 5 функция $\beta(\alpha)$ при фиксированном $T$ не зависит от значений $\mu$. Этот результат согласуется с результатами, полученными в [33]. На рис. 5б представлена функция $\beta(\alpha)$ тяжелых кварков при $\mu=0.01,0.1,0.35$, $\mu=0.493,0.55$ и $\mu=1,1.3$ для адронной, кваркионной и КГП фаз соответственно. В адронной фазе для тяжелых кварков функция $\beta(\alpha)$ при фиксированном $T$ зависит от величины $\mu$, что также согласуется с результатами работы [33]. Для всех случаев на рис. 5 бета-функция отрицательна и убывает с ростом $\alpha$. Как для модели легких кварков, так и для модели тяжелых кварков значения бета-функции возрастают при переходе от адронной фазы к кваркионной и затем к фазе КГП. Бета-функция линейно зависит от $\alpha$ во всех случаях, хотя в кваркионной фазе и фазе КГП легких и тяжелых кварков при малых значениях голографической координаты $z$ наблюдаются отклонения от линейного поведения. Для исследования влияния граничных условий на поведение $\beta(\alpha)$ на рис. 6 представлен двумерный график бета-функции $\beta=\beta(\alpha)$ при использовании второго граничного условия для легких кварков при $T=0.11$ и для тяжелых кварков при $T=0.574$ для одного и того же значения $\mu$ (как на рис. 5). На рис. 6 бета-функция отрицательна, имеет линейное поведение при разных значениях $\mu$ и монотонно убывает с ростом $\alpha$, то же верно и для рис. 5. Главное отличие заключается в том, что на рис. 6 как для модели легких, так и для модели тяжелых кварков бета-функция убывает при переходе из адронной фазы в кваркионную, а затем в фазу КГП. Для получения физически корректного результата для бета-функции как функции различных параметров теории в моделях легких и тяжелых кварков необходимо учитывать физические области фаз, представленные на рис. 1. 3.3. Сравнение голографической бета-функции и результатов теории возмущенийБета-функция в КХД в двухпетлевом приближении имеет следующий вид [32], [39]: где
$$
\begin{equation*}
b_0=\frac{1}{2\pi}\biggl(\frac{11}{3}N_c - \frac{2}{3} N_f \biggr),\qquad b_1=\frac{1}{8\pi^2}\biggl( \frac{34}{3}N_c^2-\biggl(\frac{13}{3}N_c-\frac{1}{N_f}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$N_c$ и $N_f$ – число цветов и кварков соответственно. Серыми линиями на рис. 7 представлена бета-функция $\beta(\alpha;\mu,T)$ в двухпетлевой КХД для $T=0$, $\mu=0$ при разных значениях $N_c$ и $N_f$. Голографическая бета-функция для легких кварков (LQ Model) при $\mu=0$, $T=0.003$ отвечает тонкой черной линии, для тяжелых кварков (HQ Model) при $\mu=10^{-5}$, $T=0$ – жирной черной линии. Бета-функция, воспроизводимая с помощью голографии, отрицательна и монотонно убывает с ростом бегущей константы связи $\alpha$, что согласуется с бета-функцией в КХД, полученной в рамках пертурбативных вычислений.
4. ЗаключениеВ этой статье мы рассмотрели бета-функцию в изотропных голографических моделях с дилатонным действием Эйнштейна–Максвелла для легких и тяжелых кварков. Мы исследовали зависимость бета-функции от бегущей константы связи для различных значений химического потенциала и температуры. При фазовых переходах первого рода бета-функция претерпевает скачок, величина которого зависит от температуры и химического потенциала. Чтобы представить бета-функцию как функцию $\alpha$, мы использовали граничное условие для дилатонного поля. В работе [33] было введено три различных граничных условия, но поскольку в зависимости от выбора граничного условия существенного различия в поведении функции $\beta(\alpha)$ нет, в большинстве случаев было применено только одно из них. Как для легких, так и для тяжелых кварков мы можем сделать следующие выводы:
Кроме того, функция $\beta(\alpha)$ в адронной фазе демонстрирует различие между случаями легких и тяжелых кварков: она может принимать одинаковые значения при разных значениях $\mu$ в модели легких кварков, в то время как всегда различна для разных значений $\mu$ в модели тяжелых кварков. Это наблюдение находится в согласии с результатами для бегущей константы связи, представленными в работе [33]. Более того, выбор фактора деформации $B(z)$ может оказывать существенное влияние на качественное поведение функции $\beta(\alpha)$. Модифицируя голографическую модель, можно добиться более точного согласования голографической бета-функции с предсказаниями теории возмущений. Мы планируем это сделать в будущей работе. Кроме того, известно, что пространственная анизотропия влияет на температуру фазового перехода в КХД [17], [40]–[42]. Другой тип анизотропии возникает за счет магнитных полей, их влияние на фазовую диаграмму КХД также подтверждено [35], [36], [43]–[48]. Анизотропия такого типа также оказывает эффект на бета-функцию, мы намерены исследовать его в отдельной статье. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AreHajSle24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|