| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Рациональные решения неавтономных четырехточечных уравнений, полученные путем билинеаризации систем преобразований Беклунда Дань-Да Чжанa, Ли-Я Чжуa, Ин-Ин Суньb a School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo, China b Department of Mathematics, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai, China
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2025, Volume 223, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577925040051 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеВ развитии теории дискретных интегрируемых систем [1] изучение интегрируемых четырехточечных уравнений сыграло прорывную роль, поскольку согласованность на кубе [2]–[5], которая с самого начала допускает симметричное автопреобразование Беклунда, содержащее свободный параметр, и напрямую применяется для построения солитонных решений [6]–[9], используется как своего рода дискретная интегрируемость при классификации аффинно-линейных четырехточечных уравнений, известных как список Адлера–Бобенко–Суриса (АБС), состоящий из девяти уравнений [5]. Впоследствии были проведены классификации широких классов уравнений, заданных на квадрате, для асимметричных форм [10] и для многокомпонентных случаев [11]. Кроме того, также были введены четырехточечные уравнения на нескольких квадратах, обладающие свойством согласованности на кубе. Эти уравнения вводятся на основе гипотезы о том, что дискриминанты определяющего полинома факторизуются подобно случаю уравнений АБС, и поэтому называются уравнениями АБС* [12]. Для неавтономных четырехточечных уравнений [13], [14], коэффициенты которых ассоциированы с независимыми переменными, можно связать уравнения АБС с дискретным уравнением Пенлеве посредством определенных редукций [15]. Рациональные решения, представляющие собой отношение полиномов и теоретически рассматриваемые [16], [17] как специальные пределы солитонных решений, позволяют обоснованно интерпретировать различные явления, связанные с волнами-убийцами [18]. Методы построения рациональных решений для полностью дискретных интегрируемых систем изучались разными авторами. Рациональные решения классического уравнения Хироты–Мивы обсуждались в работах [19], [20]. Впоследствии с использованием билинейного метода были получены рациональные решения уравнений H3, Q1 из списка АБС, и с использованием специальной $\delta$-техники было найдено решение решеточного уравнения Буссинеска [21], [22]. Недавняя работа [23] продемонстрировала, что преобразования Беклунда (ПБ) являются эффективным методом получения рациональных решений. В работе [24] было показано, что рациональные решения всех уравнений из списка АБС, за исключением уравнения Q4, вырожденны. В настоящей статье рассматриваются следующие неавтономные четырехточечные уравнения из списков АБС и АБС*:
$$
\begin{equation}
\mathrm{H1}: \;\; ( \widetilde u- \widehat u\,)(u- \widehat { \widetilde u}\,)+a^{-2}-b^{-2}=0,
\end{equation}
\tag{1a}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H2}: \;\; ( \widetilde v- \widehat v\,)(v- \widehat { \widetilde v}\,)+(a^{-2}-b^{-2})(v+ \widetilde v+ \widehat v+ \widehat { \widetilde v}\,)-a^{-4}+b^{-4}=0,
\end{equation}
\tag{1b}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{lpmKdV}: \;\; a(V \widetilde V- \widehat V \widehat { \widetilde V})-b(V \widehat V- \widetilde V \widehat { \widetilde V})=0,
\end{equation}
\tag{1c}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H3}(\delta): \;\; a(Z \widetilde Z+ \widehat Z \widehat { \widetilde Z})-b(Z \widehat Z+ \widetilde Z \widehat { \widetilde Z})+2\delta(a^2-b^2)=0,
\end{equation}
\tag{1d}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q1(0)}: \;\; a^2(v- \widehat v\,)( \widetilde v- \widehat { \widetilde v}\,)-b^2(v- \widetilde v\,)( \widehat v- \widehat { \widetilde v}\,)=0,
\end{equation}
\tag{1e}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q1(\delta)}: \;\; a^2(u- \widehat u\,)( \widetilde u- \widehat { \widetilde u}\,)-b^2(u- \widetilde u\,)( \widehat u- \widehat { \widetilde u}\,)+\delta^2 a^2b^2(a^2-b^2)=0,
\end{equation}
\tag{1f}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{A1(\delta)}: \;\; a^2(z+ \widehat z\,)( \widetilde z+ \widehat { \widetilde z}\,)-b^2(z+ \widetilde z\,)( \widehat z+ \widehat { \widetilde z}\,)-\delta^2a^2b^2(a^2-b^2)=0,
\end{equation}
\tag{1g}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q2}: \;\; a^2(w- \widehat w\,)( \widetilde w- \widehat { \widetilde w}\,)-b^2(w- \widetilde w\,)( \widehat w- \widehat { \widetilde w}\,)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;+a^2b^2(a^2-b^2)(w+ \widetilde w+ \widehat w+ \widehat { \widetilde w}\,)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H2}^*: \;\; (a^{-2}-b^{-2})[a^{-2}(v- \widetilde v+ \widehat v- \widehat { \widetilde v}\,)^2-b^{-2}(v- \widehat v+ \widetilde v- \widehat { \widetilde v}\,)^2]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;+(v- \widehat { \widetilde v}\,)( \widetilde v- \widehat v\,)[(v- \widehat { \widetilde v}\,)( \widetilde v- \widehat v\,)-2(a^{-2}-b^{-2})(v+ \widetilde v+ \widehat v+ \widehat { \widetilde v}\,)]=0,
\end{equation}
\tag{1i}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H3}^*(\delta): \;\; (a^{-2}-b^{-2})[a^{-2}(U \widehat U- \widetilde U \widehat { \widetilde U})^2-b^{-2}(U \widetilde U- \widehat U \widehat { \widetilde U})^2]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;+(U- \widehat { \widetilde U})( \widetilde U- \widehat U\kern1pt)[(U- \widehat { \widetilde U})( \widetilde U- \widehat U\kern1pt)a^{-2}b^{-2}-4\delta^2(a^{-2}-b^{-2})]=0,
\end{equation}
\tag{1j}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{A1^*}: \;\; (a^{-2}-b^{-2})[a^{-2}(w- \widetilde w+ \widehat w- \widehat { \widetilde w}\,)^2-b^{-2}(w- \widehat w+ \widetilde w- \widehat { \widetilde w}\,)^2]-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;-(w- \widehat { \widetilde w}\,)( \widetilde w- \widehat w\,)[a^{-2}(w+ \widehat w\,)( \widetilde w+ \widehat { \widetilde w}\,)-b^{-2}(w+ \widetilde w\,)( \widehat w+ \widehat { \widetilde w}\,)]=0,
\end{equation}
\tag{1k}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q2}^*: \;\; (a^2-b^2)[a^2(w \widetilde w- \widehat w \widehat { \widetilde w}\,)(w+ \widetilde w- \widehat w- \widehat { \widetilde w}\,)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern92pt-b^2(w \widehat w- \widetilde w \widehat { \widetilde w}\,)(w- \widetilde w+ \widehat w- \widehat { \widetilde w}\,)]-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;\;-(w- \widehat { \widetilde w}\,)( \widetilde w- \widehat w\,)[a^2(w- \widehat w\,)( \widetilde w- \widehat { \widetilde w}\,)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern92pt-b^2(w- \widetilde w\,)( \widehat w- \widehat { \widetilde w}\,)-a^2b^2(a^2-b^2)]=0.
\end{equation}
\tag{1l}
$$
Здесь мы используем общепринятые обозначения для сдвигов
$$
\begin{equation*}
\widetilde u=E_n=u(n+1,m),\quad\; \widehat u=E_m=u(n,m+1),\quad\; \widehat { \widetilde u}=E_nE_mu=u(n+1,m+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Параметры $a$, $b$ во всех уравнениях зависят от $n$ и $m$ соответственно, $a\doteq a_n$, $b\doteq b_m$. $N$-солитонные решения неавтономных билинейных систем были найдены в работах [25], [26]. Также была предложена билинеаризация неавтономных уравнений H-серии и уравнения Q1 из списка АБС; соответствующие солитонные решения были выведены в работе [27]. Недавно в работе [28] с целью получения рациональных решений изучались неавтономные решеточные потенциальные уравнение Кортевега–де Фриза и модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза. Сравнивая результаты работ [23] и [8], мы замечаем, что прямая билинеаризация уравнений намного сложнее, чем билинеаризация систем ПБ. Фактически система ПБ и два соответствующих четырехточечных уравнения составляют согласованную тройку, т. е. условие совместности системы ПБ с исключениями приводит к двум однокомпонентным уравнениям из этой тройки. Далее решения двух четырехточечных уравнений получаются одновременно путем решения системы ПБ методом билинеаризации. В настоящей статье мы применяем этот подход для других четырехточечных уравнений из списков АБС и АБС* и обобщаем его на неавтономный случай путем использования переменных $x_i$, которые удовлетворяют линейным неавтономным разностным уравнениям. Кроме того, мы представляем рациональные решения через казоратианы с одной $\tau$-функцией, вводя вспомогательную переменную $x$. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы формулируем основные положения и представляем основной результат. В разделе 3 мы приводим свойства производной $\tau$-функции и перечисляем несколько разностных и дифференциально-разностных билинейных уравнений, которым удовлетворяет эта функция. В разделе 4 мы билинеаризуем ряд систем ПБ и находим соответствующие решения, перечисленные в табл. 1 и 2. В разделе 5 посредством редукций выводится соответствие между полученными решениями и рациональными решениями дискретного уравнения Пенлеве. Раздел 6 посвящен выводам. 2. Предварительные сведения и основной результатСначала введем функцию
$$
\begin{equation}
\psi(n,m,l)=\exp\biggl[\,\sum^{\infty}_{j=1}(-1)^{j+1}\overset{\scriptscriptstyle\circ}{x}_j s^j\biggr],\qquad \overset{\scriptscriptstyle\circ}{x}_j=x_j+\frac{l}{j},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $x_j\doteq x_j(n,m)$ управляются уравнениями
$$
\begin{equation}
\widetilde x_j-x_j=\frac{a^j}{j},\qquad \widehat x_j-x_j=\frac{b^j}{j},
\end{equation}
\tag{3}
$$
которые имеют формальные решения
$$
\begin{equation*}
x_j=\sum^{n-1}_{i=-\infty}\frac{a^j_i}{j}+\sum^{m-1}_{k=-\infty}\frac{b^j_k}{j}+c_j
\end{equation*}
\notag
$$
с произвольной постоянной $c_j$. Далее зададим
$$
\begin{equation}
\alpha_i(n,m,l)=\frac{1}{(2i+1)!}\,\partial^{2i+1}_s\psi^{\pm}\big|_{s=0}= \sum_{\|\mu\|=2i+1}(-1)^{|\mu|+1}\frac{\overset{\scriptscriptstyle\circ}{\mathbf x}^\mu}{\mu!},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu =(\mu_1,\mu_2,\ldots),\quad \mu_j\in\{0,1,2,\ldots\},\quad\; \|\mu\|=\sum_{j=1}^{\infty}j\mu_j,\quad |\mu|=\sum^{\infty}_{j=1}\mu_j,\quad \mu!=\mu_1!\,\mu_2!\,\ldots \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\overset{\scriptscriptstyle\circ}{\mathbf x}{}^\mu=\overset{\scriptscriptstyle\circ}{x}{}_1^{\mu_1}\overset{\scriptscriptstyle\circ}{x}{}_2^{\mu_2}\ldots{}\,$. Введем для вектора-столбца
$$
\begin{equation}
\alpha(n,m,l)=(\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{N-1})^{\mathrm T}
\end{equation}
\tag{5}
$$
оператор $E_\nu$ сдвига вверх как
$$
\begin{equation*}
E^s_n\alpha\equiv\alpha(n+s,m,l),\qquad E^s_m\alpha\equiv\alpha(n,m+s,l),\qquad E^s_{l}\alpha\equiv\alpha(n,m,l+s).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы используем $\alpha(n,m,l)$, чтобы обычным образом ввести казоратиан $N$-го порядка:
$$
\begin{equation}
f=| \widehat {N-1}|=|\alpha(n,m,0),\alpha(n,m,1),\ldots,\alpha(n,m,N-1)|.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Очевидно, что с помощью уравнений (3) вектор $\alpha$ и его сдвиги можно записать через переменные $x_i$, тогда казоратианы низших порядков записываются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f|_{N=1}&=x_1,\qquad f|_{N=2}=\frac{1}{3}x_1^3-x_3^{}, \\ f|_{N=3}&=\frac{1}{45}x_1^6-\frac{1}{3}x_1^3x_3^{}+x_1^{}x_5^{}-x_3^2, \\ f|_{N=4}&=\frac{1}{4725}x_1^{10}-\frac{1}{105}x_1^7x_3^{}+\frac{1}{15}x_1^5x_5^{}-x_1^{}x_3^3-x_5^2+x_1^2x_3^{}x_5^{}-\frac{1}{3}x_1^3x_7^{}+x_3^{}x_7^{}, \\ f|_{N=5}&=\frac{1}{4465125}x_1^{15}-\frac{1}{42525}x_1^{12}x_3^{}+\frac{4}{14175}x_1^{10}x_5^{}+ \frac{1}{2835}x_1^9x_3^2-\frac{1}{315}x_1^8x_7^{}+{} \\ &\quad+\frac{1}{315}x_1^7x_5^{}x_3^{}+\biggl(-\frac{1}{135}x_3^3+\frac{1}{45}x_9^{}\biggr)x_1^6+\biggl(-\frac{1}{15}x_7^{}x_3^{}-\frac{1}{15}x_5^2\biggr)x_1^5+{} \\ &\quad+\frac{1}{3}x_1^4x_3^2x_5^{}+\biggl(-\frac{1}{3}x_3^{}x_9^{}+\frac{1}{3}x_7^{}x_5^{}-\frac{2}{9}x_3^4\biggr)x_1^3+{} \\ &\quad+(x_7^{}x_3^2-x_5^2x_3^{})x_1^2+\biggl(x_5^{}x_9^{}-\frac{1}{3}x_3^3x_5^{}-x_7^2\biggr)x_1^{}+2x_7^{}x_5^{}x_3^{}-x_5^3+\frac{1}{3}x_3^5-x_3^2x_9^{}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда замечаем, что казоратиан (6) имеет ряд интересных свойств (см. работу [23]), такие как свойство однородности (его степень $\mathcal D[f_N]=N(N+1)/2$), тот факт, что он зависит только от $\{x_1,x_3,\ldots,x_{2N-1}\}$, и свойство сдвига
$$
\begin{equation*}
\widetilde f=f\biggl(x_1+a, x_3+\frac{a^3}{3},\ldots,x_{2N-1}+\frac{a^{2N-1}}{2N-1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получающееся из соотношений (3). Замечание 1. Существует альтернативный способ получить казоратианы (6), просто заменяя базисный вектор-столбец $\alpha$ в (5) на Если мы обозначим $x_1$ как $x$, то казоратиан $f$ становится полиномом от $x$ и, следовательно, его производная $f_x$ легко выражается через переменные $x_i$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_x|_{N=1}&=1,\qquad f_x|_{N=2}=x_1^2,\qquad f_x|_{N=3}=\frac{2}{15}x_1^5-\frac{1}{3}x_1^2x_3^{}+x_5^{}, \\ f_x|_{N=4}&=\frac{2}{945}x_1^9-\frac{1}{15}x_1^6x_3^{}+\frac{1}{3}x_1^4x_5^{}-x_3^3+2x_1^{}x_3^{}x_5^{}-x_1^2x_7^{}, \\ f_x|_{N=5}&=\frac{1}{297675}x_1^{14}-\frac{4}{14175}x_1^{11}x_3^{}+\frac{8}{2835}x_1^9x_5^{}+\frac{1}{315}x_1^8x_3^2-\frac{8}{315}x_1^7x_7^{}+{} \\ &\quad+\frac{1}{45}x_1^6x_5^{}x_3^{}+\biggl(-\frac{2}{45}x_3^3+\frac{2}{15}x_9^{}\biggr)x_1^5+\biggl(-\frac{1}{3}x_7^{}x_3^{}-\frac{1}{3}x_5^2\biggr)x_1^4+{} \\ &\quad+\frac{4}{3}x_1^3x_3^2x_5^{}+\biggl(-x_3^{}x_9^{}+x_7^{}x_5^{}-\frac{2}{3}x_3^4\biggr)x_1^2+{} \\ &\quad+2(x_7^{}x_3^2-x_5^2x_3^{})x_1^{}+x_5^{}x_9^{}-\frac{1}{3}x_3^3x_5^{}-x_7^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Основной результатМы нашли рациональные решения неавтономных уравнений H1, H2, H3($\delta$), Q1(0), lpmKdV, Q1($\delta$), A1($\delta$), Q2, H2*, H3*($\delta$), A1*, Q2*, выражающиеся через казоратианы $f$ (6) и связанные с ними функции $g$, $\theta$, задающиеся уравнениями (34), (38) (см. ниже). Перечислим эти решения:
$$
\begin{equation}
\mathrm{H2}: \quad v=u^2-u_x,\quad\text{где}\quad u=-x_{-1}-(\ln f)_x,
\end{equation}
\tag{9b}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H3}(\delta): \quad Z =(-1)^{\frac{n+m}{2}+\frac{1}{4}}\frac{ \overline f+(-1)^{n+m}\delta \underline f}{f}\quad\text{или} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
Z=\begin{cases} (-1)^{[\frac{n+m}{2}]}\dfrac{\sqrt{2\delta} \underline f}{f}, & n+m\quad\text{нечетное},\\ (-1)^{[\frac{n+m}{2}]}\dfrac{\sqrt{2\delta}\, \overline f}{f}, & n+m\quad\text{четное},\vphantom{\bigg|^|} \end{cases}
\end{equation}
\tag{9c}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q1}(0): \quad v=\frac{ \overline { \overline f}}{f},
\end{equation}
\tag{9d}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q1}(\delta): \quad u=\frac{ \overline { \overline f}+\delta^2 \underline { \underline f}}{f}\quad\text{или}\quad u=\frac{\delta g}{f},
\end{equation}
\tag{9f}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q2}: \quad w=\frac{g^2}{f^2}+\frac{\theta \underline f}{ \overline f f^2},
\end{equation}
\tag{9g}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{H3}^*(\delta): \quad U=\frac{ \overline f^2-\delta^2 \underline f^2}{f^2}\quad\text{или}\quad U=\frac{2\delta \overline f \underline f}{f^2},
\end{equation}
\tag{9i}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{A1}^*: \quad w=\pm\biggl(\ln\frac{ \overline f}{f}\,\biggr)_{\!x},
\end{equation}
\tag{9j}
$$
$$
\begin{equation}
\mathrm{Q2}^*: \quad w=\frac{ \overline { \overline f} \underline f}{f \overline f}.
\end{equation}
\tag{9k}
$$
Здесь мы использовали обозначения
$$
\begin{equation*}
\overline f=E_N^{}f=f_{N+1}^{},\quad \overline { \overline f}=E_N^2f=f_{N+2}^{},\quad \underline f=E_N^{-1}f=f_{N-1}^{},\quad \underline { \underline f}=E_N^{-2}f=f_{N-2}^{}
\end{equation*}
\notag
$$
и продолжение $x_{-1}$, которое удовлетворяет уравнению (3) с $j=-1$.
3. Билинейные уравненияСначала изучим свойства производной $f_x$. Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Производная $f_x$ удовлетворяет следующим дифференциальным соотношениям: Доказательство. Разложим сдвиг по формуле Тейлора как Из определений (4) и (7) для $\alpha_i$ и $\beta_i$ очевидно, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\alpha_i}{\partial x}=\beta_i,\qquad \frac{\partial\beta_i}{\partial x}=\alpha_{i-1}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Вместе с определением (2) для функции $\psi$ имеем
$$
\begin{equation}
\alpha_i(n,m,l+1)-\alpha_i(n,m,l)=\beta_i(n,m,l)\quad (i\geqslant 0).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Тогда с учетом (11) и (12) немедленно получаем
$$
\begin{equation}
| \widehat {N-2},\beta(n,m,N)|=| \widehat {N-2},\beta(n,m,N-1)|
\end{equation}
\tag{13}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigg|\, \widehat {i-1},\frac{\partial\alpha(n,m,i)}{\partial x},\alpha(n,m,i+1),\ldots,\alpha(n,m,N-1)\bigg|= \\ &\qquad =|\kern1pt \widehat {i-1},{\alpha(n,m,i+1)}-{\alpha(n,m,i)},\alpha(n,m,i+1),\ldots,\alpha(n,m,N-1)|=-f, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует Тогда непосредственные вычисления дают
$$
\begin{equation*}
| \widehat {N-2},N|=| \widehat {N-2},\alpha(n,m,N-1)+\beta(n,m,N-1)|=Nf+f_x,
\end{equation*}
\notag
$$
и мы получаем соотношение (10b). Возьмем вторую производную
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{xx}&=(1-N)f_x+{} \notag\\ &+|\beta(n,m,0),\alpha(n,m,1),\ldots,\alpha(n,m,N-3),\alpha(n,m,N-2),\beta(n,m,N-1)|+{} \notag\\ &+\cdots+|\alpha(n,m,0),\alpha(n,m,1),\ldots,\alpha(n,m,N-3),\beta(n,m,N-2),\beta(n,m,N-1)|= \notag\\ &=(1-N)f_x-(N-2)| \widehat {N-2},\beta(n,m,N-1)|+{} \notag\\ &\quad+| \widehat {N-3},\beta(n,m,N-2),\beta(n,m,N-1)|= \notag\\ &=(3-2N)f_x-(N^2-3N+2)f+{} \notag\\ &\quad+| \widehat {N-3},\alpha(n,m,N-1)-\alpha(n,m,N-2),\beta(n,m,N-1)|= \notag\\ &=(2-2N)f_x-(N^2-2N+1)f+| \widehat {N-3},N-1,\beta(n,m,N-1)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Повторно используя соотношения (11)–(15), получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &| \widehat {N-2},N+1|+| \widehat {N-3},N-1,N|= \\ &\qquad=| \widehat {N-2},\alpha(n,m,N-1)+\beta(n,m,N-1)+\beta(n,m,N)|+{} \\ &\qquad\quad+| \widehat {N-3},N-1,\alpha(n,m,N-1)+\beta(n,m,N-1)|= \\ &\qquad=(2N-1)f+2f_x+| \widehat {N-3},N-1,\beta(n,m,N-1)|=f_{xx}+N^2f+2Nf_x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые приводят к (10c). Теперь мы можем получить рациональные решения уравнений (16a), (16b) с помощью следующей теоремы. Теорема 1. Казоратианы (6), построенные по вектору-столбцу $\alpha$ (5), являются решениями билинейных уравнений Доказательство теоремы приведено в приложениях A–C. В частности, когда $a$, $b$ имеют автономный вид, решая линейные уравнения (3) по теореме 1, мы получаем, что в базисном векторе $\alpha$ переменные $x_j=(a^jn+b^jm+c_j)/j$, и это соответствует результату работы [23]. 4. Билинеаризация систем ПБИнтересно, что многие системы ПБ для четырехточечных уравнений определенными подстановками напрямую сводятся к приведенным выше билинейным уравнениям (16a)–(18b). В этом разделе мы рассмотрим все ПБ из [29], [30], известные для неавтономных случаев, и попытаемся билинеаризировать их. Мы приводим простые примеры таких операций и перечисляем результаты в табл. 1 и 2. Вследствие симметрии $n$ и $m$ результаты представлены только для одного направления. Для решения неавтономных уравнений H1 (1a) и H2 (1b) начнем с их ПБ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{1a}&=v+ \widetilde v-a^{-2}-2u \widetilde u=0, \\ \mathcal Q_{1b}&=v+ \widehat v-b^{-2}-2u \widehat u=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Решения этой системы одновременно являются решениями уравнений (1a) и (1b). К счастью, если выбрать система (20) немедленно сводится к
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{1a}=\frac{\mathcal A_4}{f \widetilde f}\,,\qquad \mathcal Q_{1b}=\frac{\mathcal B_4}{f \widehat f}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal A_4$, $\mathcal B_4$ – билинейные уравнения (18a), (18b). Следовательно, функции (21) дают решение уравнений (1a) и (1b). Если мы проведем замену $v\to u^2-v$, то (20) сводится к системе
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{2a}&=v+ \widetilde v+a^{-2}-(u- \widetilde u\,)^2=0, \\ \mathcal Q_{2b}&=v+ \widehat v+b^{-2}-(u- \widehat u\,)^2=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
которую можно рассматривать как ПБ уравнений H1 (1a) и H2* (1i). Отсюда получаем решение уравнения H2* Классическое уравнение lpmKdV (1c) имеет разнообразные свойства благодаря своему компактному виду и многим свойствам симметрии. Очевидно, что если использовать подстановку
$$
\begin{equation*}
v=\frac{ \overline { \overline f}}{f},\qquad V=\frac{ \overline f}{f},
\end{equation*}
\notag
$$
то билинейная система (16a), (16b) принимает вид ПБ для уравнения lpmKdV (1c) и уравнения Q1(0) (1e):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{3a}&= \widetilde v-v-a V \widetilde V=0, \\ \mathcal Q_{3b}&= \widehat v-v-b V \widehat V=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Отсюда получаем решения уравнений (1c) и (1e). В случае автоПБ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{4a}&=v \widetilde V-V \widetilde v+a=0, \\ \mathcal Q_{4b}&=v \widehat V-V \widehat v+b=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
мы можем получить билинеаризованные уравнения
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{4a}=\frac{- \underline {\mathcal A_1}}{f \widetilde f}\,,\qquad \mathcal Q_{4b}=-\frac{ \underline {\mathcal B_1}}{f \widehat f}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
взяв $v= \overline f/f$, $V= \underline f\,/f$. Интересно, что функция
$$
\begin{equation*}
w=-(\ln V)_x,\quad\text{где}\quad V=\frac{ \overline f}{f},
\end{equation*}
\notag
$$
является решением более сложной системы ПБ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{5a}&=V^2- \widetilde V^2-aV \widetilde V(w+ \widetilde w\,)=0, \\ \mathcal Q_{5b}&=V^2 - \widehat V^2-bV \widehat V(w+ \widehat w\,)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
для уравнения lpmKdV (1c) и уравнения A1* (1k). Для этого ПБ
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{5a}=\frac{f \widetilde { \overline f}\mathcal A_2- \widetilde f\, \overline f\mathcal A_3}{f^2{ \widetilde f}^2},\qquad \mathcal Q_{5b}=\frac{f \widehat { \overline f}\mathcal B_2- \widehat f\, \overline f\mathcal B_3}{f^2{ \widehat f}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим связь между уравнением lpmKdV (1c) и H3$^*(1)$ (1j):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{6a}&= \widetilde V^2 U-V^2 \widetilde U-2aV \widetilde V=0, \\ \mathcal Q_{6b}&= \widehat V^2 U-V^2 \widehat U-2bV \widehat V=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Подстановка $V= \overline f/f$, $U=2 \overline f \underline f\,/f^2$ приводит к узкой билинеаризации
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{6a}=\frac{- \overline f\, \widetilde { \overline f}\mathcal A_1}{f^2{ \widetilde f}^2},\qquad \mathcal Q_{6b}=\frac{- \overline f\, \widehat { \overline f}\mathcal B_1}{f^2{ \widehat f}^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для уравнения Q1(0) (1e) используем подстановку
$$
\begin{equation*}
u=\frac{ \overline { \overline f}+\delta^2 \underline { \underline f}}{f},\qquad v=\frac{ \overline f}{ \underline f},\qquad w=\frac{ \overline { \overline f} \underline f}{f \overline f},
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы связать его по отдельности с уравнением Q1($\delta$) (1f) и уравнением Q2* (1l):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{7a}&=( \widetilde u-u)( \widetilde v-v)-a^2(v \widetilde v-\delta^2)=0, \\ \mathcal Q_{7b}&=( \widehat u-u)( \widehat v-v)-b^2(v \widehat v-\delta^2)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{8a}&=( \widetilde v \widetilde w-vw)( \widetilde v-v)-a^2v \widetilde v=0, \\ \mathcal Q_{8b}&=( \widehat v \widehat w-vw)( \widehat v-v)-b^2v \widehat v=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
В результате имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{7a}=\mathcal Q_{8a}= \frac{\mathcal A_1 \underline {\mathcal A_1}+a \widetilde { \overline f}\, \overline f \underline {\mathcal A_1}+a \widetilde f f\mathcal A_1}{f \widetilde f \underline f\, \widetilde { \underline f}},\qquad \mathcal Q_{7b}=\mathcal Q_{8b}= \frac{\mathcal B_1 \underline {\mathcal B_1}+b \widehat { \overline f}\, \overline f \underline {\mathcal B_1}+b \widehat f f\mathcal B_1}{f \widehat f \underline f\, \widehat { \underline f}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, функции
$$
\begin{equation*}
u=\frac{ \overline { \overline f}+\delta^2 \underline { \underline f}}{f},\qquad U=\frac{ \overline f^2 -\delta^2 \underline f^2}{f^2}
\end{equation*}
\notag
$$
являются решениями уравнений Q1($\delta$) (1f) и H3*($\delta$) (1j), т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{9a}&=( \widetilde u-u)^2-\delta^2a^4-a^2U \widetilde U=0, \\ \mathcal Q_{9b}&=( \widehat u-u)^2-\delta^2b^4-b^2U \widehat U=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
которые получается с помощью билинеаризации
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{9a}&= \frac{( \widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f\,)\mathcal A_1+\delta^2 a^2( \widetilde { \overline f}- \overline f \widetilde f\,){ \underline {\mathcal A_1}}+ \delta^4( \widetilde f \underline { \underline f}-f \widetilde { \underline { \underline f}}\,) \underline { \underline {\mathcal A_1}}}{f^2{ \widetilde f}^2}, \\ \mathcal Q_{9b}&= \frac{( \widehat { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widehat f\,)\mathcal B_1+ \delta^2b^2( \widehat { \overline f}- \overline f \widehat f\,){ \underline {\mathcal B_1}}+ \delta^4( \widehat f \underline { \underline f}-f \widehat { \underline { \underline f}}\,) \underline { \underline {\mathcal B_1}}}{f^2{ \widehat f}^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом выводим решения уравнений H3($\delta$) (1d) и A1 (1g)
$$
\begin{equation}
z=(-1)^{n+m}\frac{ \overline { \overline f}+\delta^2 \underline { \underline f}}{f},\qquad Z=(-1)^{\frac{n+m}{2}+\frac{1}{4}}\frac{ \overline f+(-1)^{n+m}\delta \underline f}{f},
\end{equation}
\tag{30}
$$
решая систему ПБ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{10a}&={ \widetilde z+z}-\delta a^2- aZ \widetilde Z=0, \\ \mathcal Q_{10b}&={ \widehat z+z}-\delta b^2- bZ \widehat Z=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
которая удачно сводится к (16a), (16b), а именно к
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{10a}&=\frac{(-1)^{n+m+1}\mathcal A_1+(-1)^{n+m}\delta^2 \underline { \underline {\mathcal A_1}}+\delta a \underline {\mathcal A_1}}{f{ \widetilde f}}, \\ \mathcal Q_{10b}&=\frac{(-1)^{n+m+1}\mathcal B_1+(-1)^{n+m}\delta^2 \underline { \underline {\mathcal B_1}}+\delta b \underline {\mathcal B_1}}{f{ \widehat f}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для уравнения H3($\delta$) (1d) система автоПБ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{11a}&=z \widetilde z+Z \widetilde Z-2\delta a=0, \\ \mathcal Q_{11b}&=z \widehat z+Z \widehat Z-2\delta b=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
напрямую сводится к
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{11a}=\frac{-2\delta\mathcal A_1}{f \widetilde f},\qquad \mathcal Q_{11b}=\frac{-2\delta\mathcal B_1}{f \widehat f},
\end{equation*}
\notag
$$
если использовать подстановку
$$
\begin{equation*}
z=(-1)^{\frac{n+m}{2}+\frac{1}{4}}\frac{ \overline f+(-1)^{n+m}\delta \underline f}{f},\qquad Z=(-1)^{\frac{n+m}{2}-\frac{1}{4}}\frac{ \overline f+(-1)^{n+m-1}\delta \underline f}{f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интересно, что можно найти еще одно ПБ между уравнениями Q1(0) и Q1($\delta$), помимо упомянутых выше:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{12a}&=( \widetilde u-u)( \widetilde v-v)-\delta a^2(v+ \widetilde v\,)=0, \\ \mathcal Q_{12b}&=( \widehat u-u)( \widehat v-v)-\delta b^2(v+ \widehat v\,)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
u=\frac{\delta g}{f},\qquad v=\frac{ \overline f}{ \underline f},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда система (33) сводится к
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_{12a}=\frac{( \widetilde u-u) \underline {\mathcal A}_1-\delta a\mathcal A_5}{ \underline f\, \widetilde { \underline f}},\qquad \mathcal Q_{12b}=\frac{( \widehat u-u) \underline {\mathcal B}_1-\delta b\mathcal B_5}{ \underline f\, \widehat { \underline f}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом мы имеем разностную систему первого порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A_5&=a( \widetilde { \overline f} \underline f+ \overline f\, \widetilde { \underline f}\,)+g \widetilde f- \widetilde g f=0, \\ \mathcal B_5&=b( \widehat { \overline f} \underline f+ \overline f\, \widehat { \underline f}\,)+g \widehat f- \widehat g f=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
которую можно переписать как систему
$$
\begin{equation}
\Delta_n\biggl(\frac{g}{f}\biggr)=a\biggl(a+\frac{2 \overline f \widetilde { \underline f}}{f \widetilde f}\biggr),\qquad \Delta_m\biggl(\frac{g}{f}\biggr)=b\biggl(b+\frac{2 \overline f \widehat { \underline f}}{f \widehat f}\biggr)
\end{equation}
\tag{35}
$$
с разностными операторами $\Delta_n=E_n-\mathrm{Id}$, $\Delta_m=E_m-\mathrm{Id}$. Однако мы не смогли найти общее выражение для $g$ при произвольном $N$; приведем несколько первых членов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g|_{N=-1}&=-x_1^2,\qquad g|_{N=0}=x_1^2,\qquad g|_{N=1}=\frac{1}{3}x_1^3+2x_3^{}, \\ g|_{N=2}&=\frac{1}{15}x_1^5+x_1^2x_3-2x_5, \\ g|_{N=3}&=\frac{1}{315}x_1^{8}+\frac{1}{15}x_1^5x_3-\frac{1}{3}x_1^3x_5 -2x_3x_5+2x_1x_7-x_1^2x_3^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где член для отрицательного $N$ определяется по формуле Рассматривая степень полиномов $f$, $g$
$$
\begin{equation*}
\mathcal D[f_N]=\frac{N(N+1)}{2},\qquad \mathcal D[g_N]=\frac{N(N+1)}{2}+2,
\end{equation*}
\notag
$$
мы видим, что $\mathcal D[u_N]$ фиксирована и равна двум. Следовательно, $g$ и $f$ представляют собой новые решения уравнения Q1($\delta$). Как известно, разные способы билинеаризации могут соответствовать одной и той же системе. Если вспомнить ПБ (29) для уравнений Q1 и H3*, то мы находим, что функции
$$
\begin{equation*}
u=\frac{\delta g}{f},\qquad U=\frac{2\delta \overline f \underline f}{f^2}
\end{equation*}
\notag
$$
допускают билинеаризацию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{13a}&= ( \widetilde u-u)^2-\delta^2a^4-a^2U \widetilde U= \\ &=\frac{\delta^2}{f^2 \widetilde f^2} [a^2( \widetilde { \overline f} \underline f- \overline f \widetilde { \underline f}+a f \widetilde f\,) \underline {\mathcal A}_1- (a( \widetilde { \overline f} \underline f+ \overline f \widetilde { \underline f}\,)-g \widetilde f+ \widetilde g f)\mathcal A_5], \\ \mathcal Q_{13b}&= ( \widehat u-u)^2-\delta^2b^4-b^2U \widehat U= \\ &=\frac{\delta^2}{f^2 \widehat f^2} [b^2( \widehat { \overline f} \underline f- \overline f\, \widehat { \underline f}+bf \widehat f\,) \underline {\mathcal B}_1- (b( \widehat { \overline f} \underline f+ \overline f\, \widehat { \underline f}\,)-g \widehat f+ \widehat g f)\mathcal B_5]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, при работе с ПБ (31) для уравнения H3($\delta$) и уравнения A1 функции
$$
\begin{equation*}
z=\frac{(-1)^{n+m+1}\delta g}{f},\qquad Z=\begin{cases} (-1)^{[\frac{n+m}{2}]}\dfrac{\sqrt{2\delta} \underline f}{f}, & n+m\quad \text{нечетное}, \\ (-1)^{[\frac{n+m}{2}]}\dfrac{\sqrt{2\delta}\, \overline f}{f}, & n+m\quad \text{четное}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
являются решениями системы ПБ c
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{14a}&= \widetilde z+z-\delta a^2- aZ \widetilde Z= \frac{\delta(a \underline {\mathcal A}_1-(-1)^{n+m}\mathcal A_5)}{f \widetilde f}=0, \\ \mathcal Q_{14b}&= \widehat z+z-\delta b^2- bZ \widehat Z=\frac{\delta(b \underline {\mathcal B}_1-(-1)^{n+m}\mathcal B_5)}{f \widehat f}=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, дают скачкообразное решение уравнения H3($\delta$). Уравнение Q2 значительно сложнее, поскольку до настоящего момента его билинеаризация неизвестна. Рассмотрим отвечающие ему соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{15a}&=\delta(u- \widetilde u\,)(w- \widetilde w\,)-a^2(2u \widetilde u-\delta^2w-\delta^2 \widetilde w\,)-\delta a^4(u+ \widetilde u+\delta a^2), \\ \mathcal Q_{15b}&=\delta(u- \widehat u\,)(w- \widehat w\,)-b^2(2u \widehat u-\delta^2w-\delta^2 \widehat w\,)-\delta b^4(u+ \widehat u+\delta b^2) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
вместе с уравнением Q1($\delta$). Находим решение
$$
\begin{equation*}
u=\frac{\delta g}{f},\qquad w=\frac{g^2}{f^2}+\frac{\theta \underline f}{ \overline f f^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta$ задается линейными уравнениями первого порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A_6&= \widetilde \theta f^2-\theta \widetilde f^2+2a \overline f\, \widetilde { \overline f}(a^2f \widetilde f+g \widetilde f+ \widetilde g f)=0, \\ \mathcal B_6&= \widehat \theta f^2-\theta \widehat f^2+2b \overline f\, \widehat { \overline f}(b^2f \widehat f+g \widehat f+ \widehat g f)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
При этом система (37) сводится к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_{15a}&=\frac{2\delta^2a \underline f\, \widetilde { \underline f}\mathcal A_6}{f^3{ \widetilde f}^3}+ \frac{\delta^2}{f \widetilde f}\biggl[ \underline {\mathcal A}_1 \biggl(\frac{\theta \underline f}{ \overline f f^2}+\frac{ \widetilde \theta\, \widetilde { \underline f}}{ \widetilde { \overline f} \widetilde f^2}\biggr)+ \mathcal A_5\biggl(\frac{\theta \underline f}{ \overline f f^2}-\frac{ \widetilde \theta\, \widetilde { \underline f}}{ \widetilde { \overline f} \widetilde f^2}\biggr)\biggr]+{} \notag\\ &\;\;+\frac{\delta^2}{f \widetilde f}\biggl(a^2+\frac{g}{f}+\frac{ \widetilde g}{ \widetilde f}\biggr) [a \underline {\mathcal A}_1( \widetilde { \overline f} \underline f- \overline f\, \widetilde { \underline f}+af \widetilde f\,)+\mathcal A_5(-a \widetilde { \overline f} \underline f-a \overline f\, \widetilde { \underline f}+g \widetilde f- \widetilde g f)] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
и аналогичному уравнению для $\mathcal Q_{15b}$, которое мы опускаем. Теперь у нас есть несколько новых решений для уравнения Q2:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \theta|_{N=-1}&=\frac{4}{3}x_1^3-4x_3,&\quad w|_{N=-1}&=-\frac{1}{3}x_1^4+4x_1x_3, \\ \theta|_{N=0}&=-\frac{4}{5}x_1^5+4x_5,&\quad w|_{N=0}&=\frac{1}{5}x_1^4+\frac{4x_5}{x_1}, \\ \theta|_{N=1}&=-\frac{4}{189}x_1^9-4x_1^2x_7+4x_1^3x_3^2+4x_3^3,&\quad w|_{N=1}&=\frac{\frac{1}{21}x_1^7+x_1^4x_3-12x_7+12x_1x_3^2}{x_1^3-3x_3}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal D[\theta_N]=N^2+3N+5$ и $\mathcal D[w_N]=4$. Однако мы пока мы не смогли найти их явный вид. Таким образом, представляет большой интерес доказательство того, что функции $g$, $\theta$ в (34) и (38) являются полиномами, а затем найти для них выражения через $f$.
5. Связь с $q$-уравнением Пенлеве IIIПусть $a=a_0q^n$, $b=a_0a_1q^m$, тогда, решая уравнение (3), получаем В этом случае мы имеем несколько интересных результатов, связанных с $q$-уравнением Пенлеве III
$$
\begin{equation}
\widetilde w_1=\frac{k^2(1+aw_0)}{w_0w_1(a+w_0)},\qquad \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{w}}}_0=\frac{k^2(b+aw_1)}{w_0w_1(a+bw_1)}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Углубляя связь между $q$-уравнением Пенлеве III и уравнением lpmKdV, исследованную в работе [15], введем условие $ \overline { \widehat { \widetilde V}}=kV$, при котором система
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a(V \widetilde V- \widehat V \widehat { \widetilde V})-b(V \widehat V- \widetilde V \widehat { \widetilde V})=0, \\ &a(V \widetilde V- \overline V \widetilde { \overline V})-c(V \overline V- \widetilde V \widetilde { \overline V})=0, \\ &b( \widetilde V \widehat { \widetilde V}- \widetilde { \overline V} \overline { \widehat { \widetilde V}})-c( \widetilde V \widetilde { \overline V}- \widehat { \widetilde V} \overline { \widehat { \widetilde V}})=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
становится согласованной на трехмерном кубе. Опираясь на то, что
$$
\begin{equation}
\widehat V=\frac{ \widetilde V(aV+b \widehat { \widetilde V})}{bV+a \widehat { \widetilde V}},\qquad \widehat { \widetilde { \widetilde V}}=\frac{kV(kqa \widetilde V+c \widehat { \widetilde V})}{qa \widehat { \widetilde V}+kc \widetilde V},\qquad \widetilde { \overline V}=\frac{ \widehat { \widetilde V}(b \widetilde V+kcV)}{c \widetilde V+kbV},
\end{equation}
\tag{43}
$$
выводим $q$-уравнение Пенлеве III (41) с помощью подстановки
$$
\begin{equation*}
w_0=\frac{ \overline { \widehat { \widetilde { \widetilde V}}}}{ \widehat { \widetilde V}}=\frac{k \widetilde V}{ \widehat { \widetilde V}},\qquad w_1=\frac{ \widehat { \widetilde V}}{V},\qquad c=q.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=1$ оно сводится к периодическому случаю [15]. Замечание 2. Для казоратианов (6) с базисным вектором-столбцом $\alpha$ (5), в котором $x_j$ имеет вид (40), при $c_j=q^j$ функции 6. ЗаключениеВ представленной статье основное внимание было уделено тесной связи между билинейными уравнениями и ПБ четырехточечных уравнений из списков АБС и АБС*. Неавтономные уравнения (3) определяют переменные $x_i$. Через эти переменные можно задать казоратианы, для которых справедливы неавтономные билинейные уравнения. Полученные рациональные решения в неавтономном случае допускают редукцию к $q$-уравнению Пенлеве III и обобщают результат работы [28], в то время как в автономном случае мы получаем значительно больше решений, чем в работе [23]. Решения, которые в [28] и [23] выражаются через различные $\tau$-функции, мы записали в виде чистых казоратианов с помощью билинеаризаций систем ПБ и вспомогательной непрерывной переменной $x$. Сначала выводятся рациональные решения для уравнений на многих квадратах, и они подсказывают нам связь с уравнениями из списка АБС. Для уравнения Q1($\delta$) решение в виде $\frac{\delta g}{f}$ уже было получено ранее; оно порождает ряд новых результатов, однако оно не может применяться в рамках метода из работы [23], поскольку $\delta=0$ приводит к тривиальному решению для уравнения Q1($0$). Хотя с помощью конкретной формулы для базисных функций $\alpha_i$ (4) в векторах-столбцах можно легко записать искомые казоратианы $f$, явный вид функций $g$ и $\theta$, которые контролируются линейными уравнениями, пока неизвестен и является предметом дальнейших исследований. По сравнению с прямыми билинеаризациями четырехточечных уравнений в [8], при билинеаризации систем ПБ коэффициенты билинейных уравнений, представленные в табл. 1 и 2, намного проще. Это дает повод провести билинеаризацию большего количества систем ПБ, которые содержат две переменные в симметричных направлениях. Отмечая, что связь между симметричной дискретной системой Кадомцева–Петвиашвили типа A и некоторыми билинейными уравнениями АБС, имеющими солитонные решения, была установлена в [32]; в дальнейшем мы намерены найти связь между полученными билинейными уравнениями и системами большой размерности посредством редукций и связей между переменными $x_j$ и высшими потоками непрерывной иерархии. Таблица 1.Билинеаризации систем ПБ с одним казоратианом $f$.
Таблица 2.Билинеаризации систем ПБ с $g$ или $\theta$.
Приложение A. Доказательство соотношений (17a)–(17d). в теореме 1Далее мы многократно используем лемму [33], с помощью которой билинейное уравнение сводится к разложению Лапласа нулевого определителя порядка $2N\times 2N$. Лемма 2. Пусть $\mathbf B$ – матрица размера $N\times(N-2)$ и $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$, $\mathbf d$ – векторы-столбцы размера $N$, тогда Сначала рассмотрим уравнение (17a). Заметим, что для функции $\psi$, определенной в (2), имеют место сдвиговые соотношения
$$
\begin{equation}
\widetilde \psi=(1+as)\psi,\qquad\psi(l+1)=(1+s)\psi(l),
\end{equation}
\tag{45}
$$
которые дополняются равенством
$$
\begin{equation}
\psi(l)- \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}} \psi(l)- \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\psi}}}(l+1)=(1- \psi(l)- \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,) \psi(l)- \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\psi}}}(l).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Таким образом, $\psi$ подчиняется следующему соотношению, где $\alpha_j$ определены в (5): Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\alpha_j(l)-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}_j(l+1)=(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}_j(l).
\end{equation}
\tag{48}
$$
Поскольку сдвиговое соотношение (48) аналогично приведенному в [23], казоратиан $f$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-1}\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}&=| \widehat {N-2},\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|, \\ -\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-1} \overline {\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}}&=| \widehat {N-1},\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|, \\ -\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-1} \overline {\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}_x}&=| \widehat {N-2},N,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|+(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-1}(1+\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}} N) \overline {\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Наконец, используя лемму 2, получаем уравнение (17a), сдвинутое на один шаг вниз по переменной $n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, | \widehat N|\,| \widehat {N-2},\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|&{}-| \widehat {N-1},\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|\,| \widehat {N-2},N|+{} \notag\\ &+| \widehat {N-1}|\,| \widehat {N-2},N,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{\alpha}}}(N-1)|=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Далее, чтобы вывести (17b), введем функцию
$$
\begin{equation}
\phi(n,m,l)=(1+s)^l\exp\biggl[\,\sum^{\infty}_{j=1}\frac{1}{j}x_js^j\biggr],
\end{equation}
\tag{51}
$$
которая удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\widetilde \phi=(1-as)^{-1}\phi,\qquad\psi(l+1)=(1+s)\psi(l)
\end{equation}
\tag{52}
$$
и
$$
\begin{equation}
\phi(l)+a \widetilde \phi(l+1)=(1+a) \widetilde \phi(l).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Введем вектор
$$
\begin{equation}
\omega(l)=(\omega_1(l),\omega_2(l),\ldots,\omega_N(l))^{\mathrm T},\qquad \omega_j=\frac{1}{(2j+1)!}\,\partial^{2j+1}_s\phi\big|_{s=0},
\end{equation}
\tag{54}
$$
который удовлетворяет сдвиговым соотношениям, аналогичным (53),
$$
\begin{equation}
\omega_i(l)+a \widetilde \omega_i(l+1)=(1+a) \widetilde \omega_i(l).
\end{equation}
\tag{55}
$$
Это приводит к уравнениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1+a)^{N-1} \widetilde f(\omega(l))& =| \widehat {N-2}, \widetilde \omega(N-1)|, \\ a(1+a)^{N-1} \widetilde { \overline f}(\omega(l))&=| \widehat {N-1}, \widetilde \omega(N-1)|, \\ a(1+a)^{N-1} \widetilde { \overline f}_x(\omega(l))&=| \widehat {N-2},N, \widetilde \omega(N-1)|-(1+a)^{N-1}(aN-1) \widetilde { \overline f}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая вид функций $\phi$ и $\psi$, приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\phi=\exp\biggl[\,\sum^{\infty}_{j=1}\frac{1}{j}x_{2j} s^{2j}\biggr]\psi,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что $\omega=A\alpha$, где $A=(a_{ij})_{N\times N}$ – нижнетреугольная тёплицева матрица, элементы которой задаются как
$$
\begin{equation*}
a_{ij}=\begin{cases} 0, & i<j,\\ \displaystyle\frac{\partial^{2(i-j)}_s}{[2(i-j)]!}\exp\biggl[\,\sum^{\infty}_{j=1}\frac{1}{j}x_{2j} s^{2j}\biggr]_{s=0}, & i\geqslant j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\omega=A\alpha$ и $|A|=1$, отсюда имеем Тогда левая часть (17b) дает детерминант
$$
\begin{equation*}
| \widehat N|\,| \widehat {N-2}, \widetilde {\alpha}(N-1)|-| \widehat {N-1}, \widetilde {\alpha}(N-1)|\,| \widehat {N-2},N|+| \widehat {N-1}|\,| \widehat {N-2},N, \widetilde {\alpha}(N-1)|,
\end{equation*}
\notag
$$
который равен нулю в силу (50). Аналогично можно доказать соотношения (17c) и (17d).
Приложение B. Доказательство соотношений (18a), (18b)Введем вспомогательные казоратианы
$$
\begin{equation*}
t_1=| \widehat {N-2},N+1|,\qquad t_2=| \widehat {N-3},N-1,N|
\end{equation*}
\notag
$$
и используем соотношение (48), тогда для казоратианов (6) мы имеем следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-2}[\,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{t}}}_1+(\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}^{-1}-1)(\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}_x+N\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}\,)]&=-| \widehat {N-3},N,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|, \\ \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-2}[\,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}_x+(\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}^{-1}+N-1)\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}\,]&=-| \widehat {N-3},N-1,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|, \\ \smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-2}\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}&=-| \widehat {N-3}, N-2,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}(1-\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}\,)^{N-2} \{f[\,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{t}}}_1+(\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}^{-1}-1)(\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}_x+N\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}\,)]-(f_x+Nf)[\,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}_x+(N+\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{a}}}^{-1}-1)\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}\,]+\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}t_2\}= \notag\\ &\quad=-| \widehat {N-1}|\,| \widehat {N-3},N,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|+| \widehat {N-2},N|\,| \widehat {N-3},N-1,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|-{} \notag\\ &\kern23pt{-\,| \widehat {N-3},N-2,\smash{\underset{\displaystyle\widetilde{{\,\,\,}}}{\,{f}}}(N-2)|\,| \widehat {N-3},N-1,N|}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
f(\omega(l))=f(\alpha(l)),\qquad t_1(\omega(l))=t_1(\alpha(l)),\qquad t_2(\omega(l))=t_2(\alpha(l)),
\end{equation*}
\notag
$$
и с помощью уравнения (55) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(1+a)^{N-2}[ \widetilde {t}_1(\omega)-(a^{-1}+1)( \widetilde f_x(\omega)+N \widetilde f(\omega))]&=| \widehat {N-3},N, \widetilde \omega(N-2)|, \\ a(1+a)^{N-2}[ \widetilde f_x(\omega)-(a^{-1}-N+1) \widetilde f(\omega)]&=| \widehat {N-3},N-1, \widetilde \omega(N-2)|, \\ a(1+a)^{N-2} \widetilde f(\omega)&=| \widehat {N-2}, \widetilde \omega(N-2)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a(1+a)^{N-2}\{f[ \widetilde {t}_1-(a^{-1}+1)( \widetilde f_x+N \widetilde f\,)]-(f_x+Nf)[ \widetilde f_x-(a^{-1}-N+1) \widetilde f\,]+ \widetilde ft_2\}= \notag\\ &\quad=| \widehat {N-1}|\,| \widehat {N-3},N, \widetilde \omega(N-2)|-| \widehat {N-2},N|\,| \widehat {N-3},N-1, \widetilde \omega(N-2)|+{} \notag\\ &\qquad+| \widehat {N-2}, \widetilde \omega(N-2)|\,| \widehat {N-3},N-1,N|=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
Это равенство вместе со сдвинутым на один шаг вперед по переменной $n$ уравнением (57) дает (18a). Аналогично можно доказать (18b).
Приложение C. Доказательство соотношений (16a), (16b)Условие совместности уравнений (17a) и (17b) представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{ \widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f}{a \widetilde { \overline f}\, \overline f}= E_n\biggl(\frac{ \widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f}{a \widetilde { \overline f}\, \overline f}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично
$$
\begin{equation*}
\frac{ \widehat { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widehat f}{b \widehat { \overline f}\, \overline f}= E_m\biggl(\frac{ \widehat { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widehat f}{b \widehat { \overline f}\, \overline f}\,\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает билинейные соотношения
$$
\begin{equation}
\widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f=a\lambda_1(m,N) \widetilde { \overline f}\, \overline f,\qquad \widehat { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widehat f=b\lambda_2(n,N) \widehat { \overline f}\, \overline f.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Чтобы найти $\lambda_1$, $\lambda_2$, подставим их в условие совместности уравнений (17a)–(17d)
$$
\begin{equation*}
\frac{f_x}{f}-\frac{ \overline { \overline f}_x}{ \overline { \overline f}}= \frac{ \overline f \widetilde f}{a \widetilde { \overline f}f}-\frac{ \overline f\, \widetilde { \overline { \overline f}}}{a \widetilde { \overline f}\, \overline { \overline f}}= \frac{ \overline f \widehat f}{b \widehat { \overline f}f}-\frac{ \overline f\, \widehat { \overline { \overline f}}}{b \widehat { \overline f}\, \overline { \overline f}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем соотношения
$$
\begin{equation}
\lambda_1(n,N)=\lambda_2(m,N)=\gamma(N),\qquad\frac{ \overline { \overline f}_x}{ \overline { \overline f}}-\frac{f_x}{f}=\lambda(N)\frac{ \overline f^2}{f \overline { \overline f}},
\end{equation}
\tag{60}
$$
которые означают, что $\lambda_1$ и $\lambda_2$ не должны зависеть от $(n,m)$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\gamma(N)=\frac{ \widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f}{a \widetilde { \overline f}\, \overline f}=\frac{ \widehat { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widehat f}{b \widehat { \overline f}\, \overline f}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Чтобы найти величину $\gamma(N)$, исследуем свойства казоратиана $f$ в окрестности точки $(n,m)=(0,0)$, в которой $\alpha_i$ и $f$ не зависят от $(a,b)$. Тогда из (60) следует, что $\gamma(N)$ также не должна зависеть от $(a,b)$. Используя соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_N(\alpha(1,0,l)=f_N(a\beta(0,0,l)+\alpha(0,0,l))&=a^N f_N(\beta(0,0,l))+ O(a^{N-1})= \\ &=a^N f_{N-1}(\alpha(0,0,l))+O(a^{N-1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вычисляем не зависящую от $(a,b)$ константу $\gamma(N)$:
$$
\begin{equation*}
\gamma(N)=\lim_{a\to\infty}\frac{ \widetilde { \overline { \overline f}}f- \overline { \overline f} \widetilde f}{a \widetilde { \overline f}\, \overline f}\Biggr|_{{}{\scriptstyle n=m=0}}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, казоратианы (6) суть решения билинейных уравнений (16a), (16b). Кроме того, можно напрямую проверить, что казоратианы (36) отрицательного порядка также являются решениями уравнений (16a), (16b). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhaZhuSun25} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|