| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Преобразования Дарбу для дискретных версий иерархии КП и строгой иерархии КП Г. Ф. Хельминкa, В. А. Побережныйb, С. В. Поленковаc a Korteweg–de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam, Amsterdam, The Netherlands b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия c University of Twente, Enschede, The Netherlands
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 221, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924120031 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ этой статье мы рассматриваем две деформации алгебры $\mathbb{C}[\Lambda]$, связанные с деформациями псевдоразностных операторов из алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $. Здесь $\Lambda$ – ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$)-матрица оператора сдвига. Уравнения эволюции для деформированных генераторов алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ являются совместными уравнениями Лакса и называются дискретной иерархией КП (сокращенно иерархией дКП) и дискретной строгой иерархией КП (строгой иерархией дКП). Геометрическое построение решений обеих иерархий было представлено в [1]. Для двух наборов решений мы вводим преобразования, которые являются аналогами преобразований Дарбу в контексте дифференциальных операторов. Для каждого набора решений мы определяем, какие два решения связаны таким преобразованием, и получаем явный вид разностного оператора, осуществляющего это преобразование. Содержание разделов статьи следующее. В разделе 2 мы вводим необходимые обозначения и описываем разложения и группы псевдоразностных операторов. Следующий раздел 3 содержит описание двух интегрируемых деформаций. В разделе 3 мы представляем $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модуль волновых матриц и для каждой иерархии систему уравнений в этом модуле – так называемую линеаризацию иерархии. Из нее получаются решения иерархии, если в модуле найдены специальные векторы, которые удовлетворяют линеаризации. Эти специальные векторы являются так называемыми волновыми матрицами. В разделе 5 мы напоминаем, как геометрически строятся волновые матрицы для обеих иерархий, и как они связаны с иерархией КП и ее строгой версией. В последнем разделе 6 мы вводим понятие преобразования Дарбу для обеих иерархий, описываем для каждой иерархии, какие решения связаны таким преобразованием, и в обоих случаях приводим конкретный вид оператора преобразования. 2. Псевдоразностные операторыДискретные версии иерархии КП и строгой иерархии КП формулируются в алгебре $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ псевдоразностных операторов. Мы используем ее реализацию как подмножества пространства $M_{\mathbb{Z}}(R)$, элементами которого являются ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$)-матрицы с коэффициентами из коммутативной $\mathbb{C}$-алгебры $R$. Мы пишем $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $($R$) вместо $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, если хотим подчеркнуть зависимость от $R$. Напомним ряд основных обозначений для алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $. Каждая матрица $A\in M_{\mathbb{Z}}(R)$ обозначается как $A=(a_{ij})$ или как $A=(a_{(i,j)})$, если может возникнуть путаница в индексах. В пространстве $M_{\mathbb{Z}}(R)$ мы используем порядок столбцов и строк, как в конечномерном случае. Любой $A\in M_{\mathbb{Z}}(R)$ соответствует $R$-линейное отображение. Рассмотрим для него пространство всех ($1\times\mathbb{Z}$)-матриц с коэффициентами из $R$,
$$
\begin{equation*}
V=R^{\kern1pt\mathbb{Z}}=\bigl\{\vec x=(x_n)=(\ldots,x_{n-1},x_n,x_{n+1},\ldots\;)\mid x_n\in R\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и его подпространство
$$
\begin{equation*}
V_{\mathrm{fin}}=\bigl\{\vec x=(x_n)\in V\mid x_n\neq 0\;\,\text{только для конечного числа значений}\;\,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $i\in\mathbb{Z}$ определим вектор $\vec e\kern1pt(i)$ в $V_{\mathrm{fin}}$, у которого $i$-я координата равна единице, а остальные нулю. Тогда $V_{\mathrm{fin}}$ является свободным $R$-модулем с базисом $\{\vec e\kern1pt(i)\mid i\in\mathbb{Z}\}$. На $V_{\mathrm{fin}}$ можно задать $R$-линейное действие $M_A$ матрицы $A=(a_{nm})$ как Тем самым матрица $A$ определяет $R$-линейное отображение $M_A\in\operatorname{Hom}_R(V_{\mathrm{fin}},V)$. Далее зададим два типа матриц $A$, которые порождают алгебру $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ и для которых определено действие $M_A$ на $V$. Первый класс матриц – это диагональные матрицы. Если задан набор элементов $\{d(s)\,|\,s\in\mathbb{Z}\}$ из $R$, то он определяет диагональную матрицу $\operatorname{diag}(d(s))$ в $M_{\mathbb{Z}}(R)$ с $d(s)$ в качестве ($s,s$)-го элемента. Алгебра всех диагональных матриц в $M_{\mathbb{Z}}(R)$ обозначается как $\mathcal D_1(R)$, а группа ее единиц – как $\mathcal D_1(R)^*$, т. е. $\mathcal D_1(R)^*$ образована всеми $\operatorname{diag}(d(s))$ с $d(s)\in R^*$ для каждого $s\in\mathbb{Z}$. Второй класс образуют матрица сдвига $\Lambda$, ее обратная $\Lambda^{-1}$ и их степени; первая из этих матриц отвечает $M_{\Lambda}(\vec e\kern1pt(i))=\vec e\kern1pt(i+1)$. Группа $\{\Lambda^m\,|\,m\in\mathbb{Z}\}$ нормализует группу $\mathcal D_1(R)$, поскольку для всех $d\in\mathcal D_1(R)$
$$
\begin{equation}
\Lambda^m d \Lambda^{-m}=\Lambda^m\operatorname{diag}(d(s))\Lambda^{-m}=\operatorname{diag}(d(s+m)).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Удобным инструментом в пространстве $M_{\mathbb{Z}}(R)$ является разложение матрицы $A=(a_{ij})\in M_{\mathbb{Z}}(R)$ по ее диагоналям. Если $m\in\mathbb{Z}$, то $m$-я диагональ матрицы $A$ по определению задается как
$$
\begin{equation*}
d_m(A)\Lambda^m,\quad\text{где}\quad d_m(A)=\operatorname{diag}(a_{(s,s+m)})\in\mathcal D_1(R),
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $m$ определяет, является диагональ верхней (положительной) или нижней (отрицательной). Следовательно, каждая матрица $A\in M_{\mathbb{Z}}(R)$ может быть разложена в формальную сумму всех своих диагоналей: Теперь рассмотрим $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ – множество матриц $A\in M_{\mathbb{Z}}(R)$, имеющих только конечное число ненулевых положительных диагоналей. Свойство (2) влечет, что произведение двух матриц в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ корректно определено и $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ является $\mathbb{C}$-алгеброй. Мы присваиваем элементам из $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ степень следующим образом: для ненулевой матрицы $A$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ степень равна $m$, если самая высокая ненулевая диагональ матрицы $A$ – это $m$-я диагональ; степень нулевого элемента равна $-\infty$. Алгебра $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ является алгеброй Ли относительно скобки, заданной коммутатором. Мы используем два разложения алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ в прямую сумму подалгебр Ли. Первое из них задается как
$$
\begin{equation*}
A=\pi_{\geqslant 0}(A)+\pi_{<0}(A)=\sum_{m\geqslant 0}d_m(A)\Lambda^m+\sum_{m<0}d_m(A)\Lambda^m,
\end{equation*}
\notag
$$
а второе – как
$$
\begin{equation*}
A=\pi_{>0}(A)+\pi_{\leqslant 0}(A)=\sum_{m>0}d_m(A)\Lambda^m+\sum_{m\leqslant 0}d_m(A)\Lambda^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое разложение элементов алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ определяет разложение алгебры Ли
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta =\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )\oplus\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta ),
\end{equation*}
\notag
$$
где подалгебра Ли $\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ есть $\{A\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta \,|\,\pi_{\geqslant 0}(A)=A\}$ и аналогично подалгебра $\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )=\{A\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta \,|\,\pi_{<0}(A)=A\}$. Второе разложение приводит к
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta =\pi_{>0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )\oplus\pi_{\leqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )
\end{equation*}
\notag
$$
с подалгебрами Ли $\pi_{>0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )=\{A\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta \,|\,\pi_{>0}(A)=A\}$ и ее дополнительной подалгеброй $\pi_{\leqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )=\{A\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta \,|\,\pi_{\leqslant 0}(A)=A\}$. Рекуррентным образом можно показать, что любая матрица $L=\sum_{i\leqslant N}d_i(L)\Lambda^i$ с $d_{N}(L)\in\mathcal D_1(R)^*$ имеет в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ обратную. Например, таковой является матрица $\Delta=\Lambda-\mathrm{Id}$ разностного оператора. Подстановка $\Lambda=\Delta+\mathrm{Id}$ дает, что $\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ также равна
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\sum_{i\geqslant 0}^{N}d_i\Delta^i\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta \;\bigg|\;d_i\in\mathcal D_1(R)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому элементы алгебры $\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ называются разностными операторами. Коммутативная алгебра, для которой в дискретных версиях мы рассматриваем деформации, – это алгебра $\mathbb{C}[\Lambda]$ разностных операторов с постоянными коэффициентами. Поскольку для любого отрицательного $m$ мы имеем $\Delta^m=\Lambda^m+\text{``нижние диагонали''}$, можно показать, что элемент $L$ алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ единственным образом представляется в виде
$$
\begin{equation*}
L=\sum_{i\leqslant N}d_i\Delta^i,\qquad d_i\in\mathcal D_1(R).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ является расширением алгебры $\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ путем добавления произвольных отрицательных степеней оператора $\Delta$ с произвольными диагональными коэффициентами. Это напоминает конструкцию алгебры Psd и объясняет название псевдоразностные операторы для элементов алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $. Далее мы сопоставляем группу каждой из подалгебр Ли $\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ и $\pi_{\leqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal U_{-}(R):=\{\mathrm{Id}+Y\mid Y\in\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )\}=:\mathcal U_{-},
\end{equation*}
\notag
$$
где обозначение $\mathcal U_{-}(R)$ используется, если необходимо подчеркнуть, откуда выбираются матричные элементы. Рекуррентно можно показать, что каждый элемент из $\mathcal U_{-}$ имеет обратный относительно умножения. Следовательно, $\mathcal U_{-}$ – мультипликативная группа. На $\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$ корректно определено экспоненциальное отображение, оно дает элементы в $\mathcal U_{-}$ и является биекцией. Поэтому мы рассматриваем $\mathcal U_{-}$ как группу, соответствующую $\pi_{<0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$. Если экспоненциальное отображение корректно определено на $\pi_{\leqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$, то получающиеся в результате отображения элементы принадлежат группе
$$
\begin{equation*}
\mathcal P_{-}(R):= \biggl\{\sum_{m\leqslant 0}d_m(A)\Lambda^m\,\bigg|\,d_0(A)=\operatorname{diag}(d(s)),\;\,\text{все}\;\,d(s)\in R^*\biggl\}=: \mathcal P_{-},
\end{equation*}
\notag
$$
и мы рассматриваем $\mathcal P_{-}$ как группу, соответствующую $\pi_{\leqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$. Отметим, что сопряжение с элементом $t\in\mathcal D_1(R)^*$ нормализует как $\mathcal U_{-}$, так и $\mathcal P_{-}$.
3. Интегрируемые деформацииДискретные версии иерархии КП и строгой иерархии КП – это две $\mathbb{C}$-линейные деформации алгебры $\mathbb{C}[\Lambda]$, получающиеся путем подстановки двух различных деформаций матрицы $\Lambda$. При первой деформации $\Lambda$ отображается в матрицу
$$
\begin{equation}
\mathcal L=\Lambda+\sum_{j\leqslant 0}d_j(\mathcal L)\Lambda^{j}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Псевдоразностные операторы вида (4) являются проообразами [2] сопряжения матрицы $\Lambda$ с элементом группы $\mathcal U_{-}$, поэтому такую матрицу $\mathcal L$ мы также называем $\mathcal U_{-}$-деформацией матрицы $\Lambda$. Для второй деформации мы берем несколько более общие элементы, чем $\mathcal L$ вида (4). А именно, рассмотрим элементы $\mathcal M$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ вида
$$
\begin{equation}
\mathcal M=\sum_{j\leqslant 1}d_j(\mathcal M)\Lambda^{j},\quad\text{где}\quad d_1(\mathcal M)\in\mathcal D_1(R)^*.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Все псевдоразностные операторы вида (5) могут быть получены путем сопряжения $\Lambda$ с элементом из $\mathcal P_{-}$ (см. работу [2]). Такая матрица $\mathcal M$ называется $\mathcal P_{-}$-деформацией матрицы $\Lambda$. Далее мы обсудим уравнения эволюции, которым должна удовлетворять $\mathcal U_{-}$-деформация $\mathcal L$ матрицы $\Lambda$, и уравнения для $\mathcal P_{-}$-деформации $\mathcal M$ матрицы $\Lambda$. Для этого мы предполагаем, как в [1], [2], что алгебра $R$ для обеих иерархий снабжена набором $\mathbb{C}$-линейных коммутирующих дифференцирований $\{\partial_i\colon R\to R\,|\,i\geqslant 1\}$. Предполагая, что каждое $\partial_i$ действует поэлементно на матрицы из $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, мы получаем набор дифференцирований алгебры $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, также обозначаемых как $\{\partial_i\}$. Данные $(R,\{\partial_i\,|\,i\geqslant 1\})$ мы называем окружением для обеих деформаций. Для каждой $\mathcal U_{-}$-деформации $\mathcal L$ матрицы $\Lambda$ при всех $i\geqslant 1$ рассмотрим обрезания
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_i(\Lambda):=\pi_{\geqslant 0}(\mathcal L^i)
\end{equation*}
\notag
$$
и систему уравнений Лакса
$$
\begin{equation}
\partial_i(\mathcal L)=[\mathcal B_i(\Lambda),\mathcal L]=-[\pi_{<0}(\mathcal L^i),\mathcal L].
\end{equation}
\tag{6}
$$
Этот набор уравнений Лакса называется дискретной иерархией КП (сокращенно иерархией дКП) [3] или $\mathbb{C}[\Lambda]$-иерархией по названию коммутативной алгебры, которая подвергается деформации. Любая $\mathcal U_{-}$-деформация $\mathcal L$ матрицы $\Lambda$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, удовлетворяющая уравнениям (6), называется решением иерархии дКП в окружении $(R,\{\partial_i\})$. Иерархия имеет по крайней мере одно решение – это тривиальное решение $\mathcal L=\Lambda$. Аналогичным образом мы поступаем с уравнениями эволюции для $\mathcal P_{-}$-деформации $\mathcal M$. В этом случае мы рассматриваем строгое обрезание
$$
\begin{equation*}
\mathcal C_i(\Lambda):=\pi_{>0}(\mathcal M^i),\qquad i\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и систему уравнений Лакса
$$
\begin{equation}
\partial_i(\mathcal M)=[\mathcal C_i(\Lambda),\mathcal M]=-[\pi_{\leqslant 0}(\mathcal M^i), \mathcal M].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Эта система называется дискретной строгой иерархией КП (сокращенно строгой иерархией дКП) или строгой $\mathbb{C}[\Lambda]$-иерархией [2]. Любая $\mathcal P_{-}$-деформация $\mathcal M$ матрицы $\Lambda$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, удовлетворяющая уравнениям (7), называется решением строгой иерархии дКП в окружении $(R,\{\partial_i\})$. Опять же, строгая иерархия дКП имеет по крайней мере одно решение, а именно $\mathcal M=\Lambda$, и оно также называется тривиальным.
4. Волновые матрицыДалее мы обсудим две линеаризации в алгебре $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ и начнем с выбора окружения $(R,\{\partial_i\})$ для иерархии дКП и ее строгой версии. Далее мы выбираем $\mathcal U_{-}$-деформацию $\mathcal L$ матрицы $\Lambda$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta (R)$ с проекциями $\{\mathcal B_i(\Lambda):=\pi_{\geqslant 0}(\mathcal L^i)\}$ и $\mathcal P_{-}$-деформацию $\mathcal M$ матрицы $\Lambda$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta (R)$ с проекциями $\{\mathcal C_i(\Lambda):=\pi_{>0}(\mathcal M^i)\}$. Для иерархии дКП мы ищем вектор $\Phi$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модуле, такой что выполняются следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\mathcal L\Phi=\Phi\Lambda,\qquad \partial_i(\Phi)=\mathcal B_i(\Lambda)\Phi\quad\text{для всех}\quad i\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Эта система называется линеаризацией иерархии дКП. Аналогично для строгой иерархии дКП мы ищем вектор $\Psi$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модуле, для которого выполняются следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\mathcal M \Psi=\Psi\Lambda,\qquad\partial_i(\Psi)=\mathcal C_i(\Lambda)\Psi\quad\text{для всех}\quad i\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Эта система называется линеаризацией строгой иерархии дКП. Так же, как, например, в [4], доказывается, что $\mathcal L$ является решением иерархии дКП, а $\mathcal M$ – решением строгой иерархии дКП, если $\Phi$ и $\Psi$ имеют нулевой аннулятор в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модуле. Чтобы придать смысл уравнениям (8) и (9), необходимо задать левое действие операторов, таких как $\mathcal L$, $\mathcal M$ и все $\{\mathcal B_i(\Lambda)\}$ и $\{\mathcal C_i(\Lambda)\}$. Чтобы получить это действие, мы строим соответствующий $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модуль, при этом форма элементов в этом модуле управляется решениями (8) и (9) для тривиального решения $\mathcal L=\mathcal M=\Lambda$. В этом случае мы имеем $\mathcal B_i(\Lambda)=\Lambda^i=\mathcal M^i=\mathcal C_i(\Lambda)$ для всех $i\geqslant 1$, и уравнения (8) и (9) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \Lambda\Phi_0&=\Phi_0\Lambda, &\qquad\partial_i(\Phi_0)&=\Lambda^i\Phi_0\quad\text{для всех}\quad i\geqslant 1, \\ \Lambda\Psi_0&=\Psi_0\Lambda, &\qquad\partial_i(\Psi_0)&=\Lambda^i \Psi_0\quad\text{для всех}\quad i\geqslant 1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $t_i$ – параметр потока, соответствующего $\Lambda^i$, так что $\partial_i$ действует как частная производная $\partial/\partial t_i$; через $t$ мы обозначаем набор $\{t_i\,|\,i\geqslant 1\}$ всех параметров. Тогда уравнения линеаризации можно формально проинтегрировать. Формальный ряд
$$
\begin{equation}
\Phi_0:=\exp\biggl(\,\sum_{i=1}^{\infty}t_i\Lambda^i\biggr)=:\Psi_0
\end{equation}
\tag{10}
$$
удовлетворяет обеим линеаризациям для тривиальных решений. Рассмотрим теперь пространство $\mathcal M(\Lambda)$, состоящее из всех формальных произведений $m=\{m(\Lambda)\}\Phi_0$, $m(\Lambda)\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, т. е.
$$
\begin{equation}
\mathcal M(\Lambda)=\biggl\{\biggl\{\sum_{i=-\infty}^{N}m_i\Lambda^i\biggr\}\Phi_0\,\bigg|\,m_i\in\mathcal D_1(R)\biggr\},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $m(\Lambda)$ называется возмущающим множителем для $m=\{m(\Lambda)\}\Phi_0$. Чтобы задать формальное произведение как корректно определенную ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$)-матрицу, нам потребуется достаточно быстрая сходимость обоих множителей. Это будет учтено при построении решений в разделе 5. Можно задать необходимое действие на $\mathcal M(\Lambda)$ следующим образом: для каждого элемента $h(\Lambda)\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ положим
$$
\begin{equation*}
h(\Lambda).\{m(\Lambda)\}\Phi_0:=\{h(\Lambda)m(\Lambda)\}\Phi_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Правое действие матрицы $\Lambda$ определим как
$$
\begin{equation*}
\{m(\Lambda)\}\Phi_0\Lambda:=\{m(\Lambda)\Lambda\}\Phi_0,
\end{equation*}
\notag
$$
а действие каждой производной $\partial_i$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\partial_i(\{m(\Lambda)\}\Phi_0):= \biggl\{\sum_{k=-\infty}^{N}\partial_i(m_{k})\Lambda^{k}+ \biggl\{\sum_{k=-\infty}^{N}m_k\Lambda^{k+i}\biggr\}\biggr\}\Phi_0,
\end{equation*}
\notag
$$
как если бы формальное произведение было обычным произведением. Аналогично терминологии в скалярном случае мы называем элементы из $\mathcal M(\Lambda)$ волновыми матрицами. Заметим, что $\mathcal M(\Lambda)$ является свободным $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-модулем с генератором $\Phi_0=\Psi_0$, поскольку для каждого $h(\Lambda)\in \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $
$$
\begin{equation*}
h(\Lambda).\Phi_0=h(\Lambda).\{\mathrm{Id}\}\Phi_0=\{h(\Lambda)\}\Phi_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, аннулятор в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ для каждой $m\in\mathcal M(\Lambda)$ с обратимым возмущающим множителем равен нулю. Приведем несколько примеров. Для каждого $m\in\mathbb{Z}$ назовем элемент $\Phi\in\mathcal M(\Lambda)$ волновой матрицей типа $(\mathcal U_{-},\Lambda^m)$, если он имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Phi=\{h(\Lambda) \Lambda^m\}\Phi_0,\quad\text{где}\quad h(\Lambda)\in\mathcal U_{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\mathcal L$ является $\mathcal U_{-}$-деформацией матрицы $\Lambda$. Если существует волновая функция $\Phi$ типа $(\mathcal U_{-},\Lambda^m)$, такая что для $\mathcal L$ и $\Phi$ выполняются уравнения (8), то мы называем $\Phi$ волновой матрицей иерархии дКП типа $\Lambda^m$, а $h(\Lambda)$ называется $\mathcal U_{-}$-множителем волновой матрицы $\Phi$. В частности, тогда $\mathcal L$ является решением иерархии дКП и первого уравнения в (8), следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal L h(\Lambda)\Lambda^m=h(\Lambda)\Lambda\Lambda^m\quad\Longrightarrow\quad\mathcal L=h(\Lambda)\Lambda h(\Lambda)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, решение $\mathcal L$ полностью определяется волновой матрицей. Аналогично мы называем элемент $\Psi\in\mathcal M(\Lambda)$ волновой матрицей типа $(\mathcal P_{-},\Lambda^m)$, если он имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Psi=\{k(\Lambda) \Lambda^m\}\Psi_0,\quad\text{где}\quad k(\Lambda)\in\mathcal P_{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal M$ является $\mathcal P_{-}$-деформацией матрицы $\Lambda$. Если существует волновая функция $\Psi\in\mathcal M(\Lambda)$ типа $(\mathcal P_{-},\Lambda^m)$, такая что для $\mathcal M$ и $\Psi$ выполняются уравнения (9), то мы называем $\Psi$ волновой матрицей строгой иерархии дКП типа $\Lambda^m$, а $k(\Lambda)$ называется $\mathcal P_{-}$-множителем волновой функции $\Psi$. В частности, тогда $\mathcal M$ является решением строгой иерархии дКП и первого уравнения в (9), следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal M k(\Lambda)\Lambda^m=k(\Lambda)\Lambda\Lambda^m\quad\Longrightarrow\quad\mathcal M=k(\Lambda)\Lambda k(\Lambda)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
так что и в этом случае волновая матрица полностью определяет решение. Для наших рассуждений ключевыми в (8) и (9) являются вторые наборы уравнений. В работе [1] мы доказали и использовали тот факт, что для получения уравнений (8) и (9) достаточно доказать менее строгий результат. Предложение 1. 1. Пусть $\Phi=\{h(\Lambda)\Lambda^m\}\Phi_0$ есть волновая матрица типа $(\mathcal U_{-},\Lambda^m)$ из $\mathcal M(\Lambda)$, а $\mathcal L=h(\Lambda)\Lambda h(\Lambda)^{-1}$ есть соответствующее решение иерархии дКП. Предположим, что для каждого $i\geqslant 1$ существует элемент $K_i\in\pi_{\geqslant 0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$, такой что $\partial_i(\Phi)=K_i\Phi$. Тогда $K_i=\pi_{\geqslant 0}(\mathcal L^i)$ для всех $i\geqslant 1$ и $\Phi$ – волновая функция иерархии дКП типа $\Lambda^m$. 2. Пусть $\Psi=\{k(\Lambda)\Lambda^m\}\Psi_0$ есть волновая матрица типа $(\mathcal P_{-},\Lambda^m)$ из $\mathcal M(\Lambda)$, а $\mathcal M=k(\Lambda)\Lambda k(\Lambda)^{-1}$ есть решение иерархии строгой дКП. Предположим, что для каждого $i\geqslant 1$ существует элемент $N_i\,{\in}\,\pi_{>0}( \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta )$, такой что $\partial_i(\Psi)=N_i\Psi$. Тогда $N_i=\pi_{>0}(\mathcal M^i)$ для всех $i\geqslant 1$ и $\Psi$ – волновая функция строгой иерархии дКП типа $\Lambda^m$. 5. Геометрическое построение решенийДалее обсудим геометрическое построение волновых матриц для обеих дискретных иерархий. Все существенные ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$)-матрицы, которые будут получены при этом построении, соответствуют ограниченным операторам, действующим в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство, с которым мы будем работать, – это пространство $\mathcal H$ матриц размера $1\times \mathbb{Z}$. Оно является координатной версией гильбертова пространства $H=L^2(S^1,\mathbb{C})$, используемого при построении волновых функций иерархии КП и строгой иерархии КП. Скалярное произведение в пространстве $H$ задается как
$$
\begin{equation*}
\biggl\langle\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n\bigg|\sum_{m\in\mathbb{Z}}b_mz^m\biggr\rangle=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_n\overline{b_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $n\in\mathbb{Z}$ обозначим вектор-строку с единицей в качестве $n$-го элемента и всеми остальными элементами, равными нулю, через $\vec e\kern1pt(n)^{\mathrm T}$, Теперь рассмотрим $\mathbb{C}$-линейное пространство $\mathcal H$ матриц размера $ 1\times \mathbb{Z}$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal H=\biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_n\vec e\kern1pt(n)^{\mathrm T}=(\ldots,a_{n-1},a_n,a_{n+1},\ldots)\,\bigg|\, a_n\in\mathbb{C},\sum_{n\in\mathbb{Z}}|a_n|^2<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mathbb{C}$-линейное отображение $I\colon H\to\mathcal H$, заданное как
$$
\begin{equation*}
I\biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n\biggr)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_n\vec e\kern1pt(n)^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
является биекцией и переводит скалярное произведение в $H$ в скалярное произведение в $\mathcal H$. Тогда любой оператор $b\in B(\mathcal H)$ (где $B(\mathcal H)$ – пространство всех ограниченных $\mathbb{C}$-линейных отображений из $\mathcal H$ в $\mathcal H$) определяет ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$)-матрицу $[b]_{\mathcal H}=(b_{ij})$ в базисе $\{\vec e\kern1pt(n)^{\mathrm T}\}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
b(\vec h\kern1pt^{\mathrm T}(n))=[\vec h\kern1pt^{\mathrm T}(n)][b]_{\mathcal H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $H$ и $\mathcal H$ – изоморфные гильбертовы пространства, любое $A\in B(H)$ также определяет ограниченный оператор из $\mathcal H$ в $\mathcal H$, который мы обозначаем тем же символом. Заметим, однако, что $[A]_{\mathcal H}=[A]^{\mathrm T}$. Группа, которую мы использовали для обеих дискретных иерархий, следующая. Сначала мы выбираем множество
$$
\begin{equation*}
G(2)=\{g\in GL(\mathcal H)\mid g-\mathrm{Id}\in\mathcal S_2\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal S_2$ – множество операторов Гильберта–Шмидта. Множество $G(2)$ является группой, поскольку $\mathcal S_2$ – двусторонний идеал в $B(\mathcal H)$. Это же свойство дает, что $G(2)$ – нормальная подгруппа в $GL(\mathcal H)$. Следовательно, мы можем расширить группу $G(2)$ с произвольными степенями фиксированного элемента из $GL(\mathcal H)$ до большей группы. Для обеих дискретных иерархий это будет группа $\{M_z^m\,|\,m\in\mathbb{Z}\}$, что приводит к группе где
$$
\begin{equation}
M_z^mG(2)=\{g\in GL(\mathcal H)\mid g -M_z^m\in\mathcal S_2\} .
\end{equation}
\tag{12}
$$
Заметим, что множество $\mathrm{Id}+\mathcal S_2$ естественным образом наделено структурой многообразия с метрикой
$$
\begin{equation*}
\|g_1-g_2\|_2\quad\text{для}\quad g_1,g_2\in\mathrm{Id}+\mathcal S_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Будучи открытым подмножеством в $\mathrm{Id}+\mathcal S_2$, группа $G(2)$ наследует ту же структуру и становится группой Ли с алгеброй Ли $\mathcal S_2$. Она плотна в $G(2)$, поскольку любой $g\in\mathrm{Id}+\mathcal S_2$ является оператором Фредгольма индекса ноль, и это означает, что ядро $\operatorname{Ker}(g)$ оператора $g$ и ортогональное дополнение образа $\operatorname{Im}(g)$ оператора $g$ имеют одну и ту же конечную размерность. Следовательно, если расширить любой изоморфизм между $\operatorname{Ker}(g)$ и $\operatorname{Im}^{\perp}(g)$, задав его как нулевое отображение на $\operatorname{Ker}^{\perp}(g)$, то получится оператор $s$ в $\mathcal S_2$, такой что оператор Фредгольма $g+s$ не имеет ядра, другими словами, он обратим. Взяв норму оператора $s$ достаточно малой, мы показываем, что $G(2)$ плотно в $\mathrm{Id}+\mathcal S_2$. Рассмотрим в алгебре Ли $\mathcal S_2$ два разложения на алгебры Ли. Первое соответствует разложению $b=u_{-}(b)+p_{+}(b)$ для $b\in B(\mathcal H)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [u_{-}(b)]_{\mathcal H}&=\begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \ddots & 0 & 0 & 0 & \ddots \\ \ddots & b_{n,n-1}& 0&0& \ddots\\ \ddots & b_{n+1,n-1} & b_{n+1,n} & 0& \ddots\\ \ddots & \ddots &\ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}, \\ [p_{+}(b)]_{\mathcal H}&=\begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \ddots & b_{n-1,n-1}& b_{n-1,n}&b_{n-1,n+1}& \ddots \\ \ddots &0 & b_{n,n} & b_{n,n+1} & \ddots\\ \ddots & 0 & 0 & b_{n+1,n+1} & \ddots\\ \ddots & \ddots &\ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это приводит к разложению $\mathcal S_2$-базиса иерархии дКП:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal S_2=\mathcal U_{-}(\mathcal S_2)\oplus\mathcal P_{+}(\mathcal S_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal U_{-}(\mathcal S_2)=\{s\in\mathcal S_2\,|\,s=u_{-}(s)\},\qquad \mathcal P_{+}(\mathcal S_2)=\{s\in\mathcal S_2\,|\,s=p_{+}(s)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подгруппы $U_{-}(\mathcal S_2)$ и $P_{+}(\mathcal S_2)$, отвечающие подалгебрам Ли $\mathcal U_{-}(\mathcal S_2)$ и $\mathcal P_{+}(\mathcal S_2)$, задаются как
$$
\begin{equation*}
U_{-}(\mathcal S_2)=\{g\in G(2)\,|\,g=\mathrm{Id}+u_{-}(g)\},\qquad P_{+}(\mathcal S_2)=\{g\in G(2)\,|\,g=p_{+}(g)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку отображение из $\mathcal U_{-}(\mathcal S_2)\times\mathcal P_{+}(\mathcal S_2)$ в $G(2)$, определенное как есть локальный диффеоморфизм в точке $(0,0)$, множество $\Omega=U_{-}(\mathcal S_2)P_{+}(\mathcal S_2)$ является открытым подмножеством в $G(2)$. Мы называем $M_z^m\Omega$ большой клеткой в $M_z^mG(2)$ относительно $U_{-}(\mathcal S_2)$ и $P_{+}(\mathcal S_2)$. Второе разложение соответствует разложению $b=p_{-}(b)+u_{+}(b)$ для $b\in B(\mathcal H)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [p_{-}(b)]_{\mathcal H}&=\begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \ddots & b_{n-1,n-1} & 0 & 0 & \ddots \\ \ddots & b_{n,n-1} & b_{n,n} & 0 & \ddots\\ \ddots & b_{n+1,n-1} & b_{n+1,n} & b_{n+1,n+1} & \ddots\\ \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}, \\ [u_{+}(b)]_{\mathcal H}&=\begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \ddots & 0 & b_{n-1,n} & b_{n-1,n+1} & \ddots \\ \ddots & 0 & 0 & b_{n,n+1} & \ddots\\ \ddots & 0 & 0 & 0 & \ddots\\ \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оно приводит к тому, что $\mathcal S_2$ разлагается как
$$
\begin{equation}
\mathcal S_2=\mathcal P_{-}(\mathcal S_2)\oplus\mathcal U_{+}(\mathcal S_2),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal P_{-}(\mathcal S_2)=\{s\in\mathcal S_2\,|\,s=p_{-}(s)\},\qquad \mathcal U_{+}(\mathcal S_2)=\{s\in\mathcal S_2\,|\,s=u_{+}(s)\},
\end{equation*}
\notag
$$
и лежит в базисе строгой иерархии дКП. Двум подалгебрам Ли $\mathcal P_{-}(\mathcal S_2)$ и $\mathcal U_{+}(\mathcal S_2)$ мы сопоставляем подгруппы $P_{-}(\mathcal S_2)$ и $U_{+}(\mathcal S_2)$ соответственно, заданные как
$$
\begin{equation*}
P_{-}(\mathcal S_2)=\{g\in G(2)\,|\,g=p_{-}(g)\},\qquad U_{+}(\mathcal S_2)=\{g\in G(2)\,|\,g=\mathrm{Id}+u_{+}(g)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathcal P_{-}(\mathcal S_2)\cap\mathcal P_{+}(\mathcal S_2)$ состоит из диагональных матриц в $\mathcal S_2$; это множество мы обозначаем как $\mathcal D(\mathcal S_2)$. Тогда на уровне групп Ли имеем
$$
\begin{equation*}
P_{-}(\mathcal S_2)=U_{-}(\mathcal S_2)D(\mathcal S_2),\qquad P_{+}(\mathcal S_2)=U_{+}(\mathcal S_2)D(\mathcal S_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $D(\mathcal S_2)=P_{-}(\mathcal S_2)\cap P_{+}(\mathcal S_2)$ есть группа, соответствующая $\mathcal D(\mathcal S_2)$. Таким образом, большая клетка $M_z^mP_{-}(\mathcal S_2)U_{+}(\mathcal S_2)$ относительно $P_{-}(\mathcal S_2)$ и $U_{+}(\mathcal S_2)$ также равна $M_z^m\Omega$. Как результат, для каждого $\omega\in M_z^m\Omega$ возможны два разложения:
$$
\begin{equation}
\omega =M_z^mu_{-}p_{+}, \qquad u_{-}\in U_{-}(\mathcal S_2), \quad p_{+}\in P_{+}(\mathcal S_2),
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\omega =M_z^mp_{-}u_{+}, \qquad p_{-}\in P_{-}(\mathcal S_2), \quad u_{+}\in U_{+}(\mathcal S_2).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Первое мы называем ($\mathcal U_{-},P_{+}$)-разложением большой клетки $M_z^m\Omega$, а второе – ее ($\mathcal P_{-}, U_{+}$)-разложением. Элемент $u_{-}$ называется унипотентной частью ($\mathcal U_{-},P_{+}$)-разложения, а элемент $p_{+}$ – его параболической частью. Для второго разложения мы используем аналогичную терминологию. Теперь мы можем задать группу коммутирующих потоков в $GL(\mathcal H)$, с которой будем работать. Пусть группа $\Gamma_{>0}$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{>0}=\biggl\{ \gamma_{>0}(z):=\exp\biggl(\,\sum_{i\geqslant 1}t_iz^i\biggr)\biggm| t_i\in\mathbb{C},\;\;\sum_{i\geqslant 1}|t_i|r^i<\infty\;\,\text{при некотром}\;\,r>1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножение на $\gamma_{>0}\in\Gamma_{>0}$ определяет оператор в $GL(H)$, которой действует сопряжением на группе $\widehat G(2)$, поскольку двусторонний идеал $\mathcal S_2$ инвариантен относительно сопряжения. Нам потребуется следующий результат из работы [1] для этого действия. Предложение 2. Действие группы $\Gamma_{>0}$ на группе $\widehat G(2)$ удовлетворяет следующему условию: для любого $g\in M_z^mG(2)$ существует элемент $\gamma_{>0}(t)\in\Gamma_{>0}$, такой что В частности, набор $\Gamma_{>0}(g)$ всех таких элементов является ненулевой открытой частью группы $\Gamma_{>0}$. Далее для каждого $g\in\widehat G(2)$ мы строим решения иерархии дКП и строгой иерархии дКП. Соответствующим окружением в обоих случаях на данный момент является алгебра с дифференцированиями $\partial_i=\partial/\partial t_i$, $i\geqslant 1$.Сначала для $g\in M_z^mG(2)$ построим решение иерархии дКП. Используя ($\mathcal U_{-},P_{+}$)-разложение для $\Omega$, по определению для всех $\gamma_{>0}\in\Gamma_{>0}(g)$ имеем
$$
\begin{equation}
\gamma_{>0}^{-1}g\gamma_{>0}=M_z^mu_{-}(g,\gamma_{>0})p_{+}(g,\gamma_{>0}),
\end{equation}
\tag{18}
$$
следовательно, на уровне матриц
$$
\begin{equation*}
[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}[g]_{\mathcal H}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}^{-1}= [p_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}[u_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}\Lambda^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что все элементы матриц $[u_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}$ и $[p_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}$ принадлежат пространству $C^{\infty}(\Gamma_{>0}(g),\mathbb{C})$, поскольку отображение $(u_{-},p_{+})\to u_{-}p_{+}$ является диффеоморфизмом между $U_{-}\times P_{+}$ и $\Omega$. Уравнение (18) приводит к следующему тождеству:
$$
\begin{equation}
\Phi(g) :=[u_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}\Lambda^m= [p_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}^{-1}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}[g]_{\mathcal H}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Очевидно, что $\Phi(g)$ – волновая матрица типа $(\mathcal U_{-},\Lambda^m)$, для которой произведение различных множителей является вещественным. При построении решения строгой иерархии дКП для $g\in M_z^mG(2)$ мы действуем аналогично, только на этот раз используем разложение (15) для $M_z^m\Omega$. Тогда по определению для всех $\gamma_{>0}\in\Gamma_{>0}(g)$ имеем
$$
\begin{equation}
\gamma_{>0}^{-1} g\gamma_{>0}=M_z^mp_{-}(g,\gamma_{>0})u_{+}(g,\gamma_{>0}),
\end{equation}
\tag{20}
$$
следовательно, на уровне матриц
$$
\begin{equation*}
[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}[g]_{\mathcal H}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}^{-1}= [u_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}[p_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}\Lambda^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что все элементы матриц $[p_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}$ и $[u_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}$ принадлежат пространству $C^{\infty}(\Gamma_{>0}(g),\mathbb{C})$, поскольку отображение $(p_{-},u_{+})\to p_{-}u_0u_{+}u_0^{-1}$ является диффеоморфизмом между $P_{-}\times U_{+}$ и $\Omega$. Уравнение (20) приводит к следующему тождеству:
$$
\begin{equation}
\Psi(g) :=[p_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}\Lambda^m= [u_{+}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}^{-1}[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}[g]_{\mathcal H}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Очевидно, что $\Psi(g)$ – волновая матрица типа $(\mathcal P_{-},\Lambda^m)$, для которой произведение различных множителей является вещественным. В работе [1] был получен следующий результат. Теорема 1. Пусть элемент $g\in\widehat G(2)$ произволен. 1. Предположим, что $g$ принадлежит смежному классу $M_z^mG(2)$, и рассмотрим только $\gamma_{>0}$ из $\Gamma_{>0}(g)$. Пусть $u_{-}(g,\gamma_{>0})$ – унипотентная часть элемента $\gamma_{>0}^{-1}g\gamma_{>0}$ в разложении (15) большой клетки $M_z^m\Omega$. Тогда волновая матрица $\Psi(g)$ типа $(\mathcal U_{-},\Lambda^m)$, заданная формулой (19), является волновой матрицей иерархии дКП. В частности, соответствующее решение этой иерархии задается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal L(g)=[u_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H} \Lambda[u_{-}(g,\gamma_{>0})]_{\mathcal H}^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом решение $\mathcal L(g)$ инвариантно относительно левых и правых умножений: для всех $n\in\mathbb{Z}$ и всех $p_1\in P_{+}(\mathcal S_2)$ Тем самым построенные решения иерархии дКП соответствуют однородному пространству $G(2)/P_{+}(\mathcal S_2)$. 2. Предположим, что $g$ принадлежит смежному классу $M_z^mG(2)$, и рассмотрим только $\gamma_{>0}$ из $\Gamma_{>0}(g)$. Пусть $p_{-}(g,\gamma_{>0})$ – параболическая часть элемента $\gamma_{>0}^{-1}g\gamma_{>0}$ в разложении (16) большой клетки $M_z^m\Omega$. Тогда волновая матрица $\Phi(g)$ типа $(\mathcal P_{-},\Lambda^{m})$, заданная формулой (21), является волновой матрицей строгой иерархии дКП. В частности, соответствующее решение этой иерархии задается как При этом решение $\mathcal M(g)$ инвариантно относительно левых и правых умножений: для всех $n\in\mathbb{Z}$ и всех $u_1\in U_{+}(\mathcal S_2)$ Следовательно, построенные решения строгой теории дКП соответствуют однородному пространству $G(2)/U_{+}(\mathcal S_2)$.Пусть для любого $g\in M_z^mG(2)$ матрицы $\Phi(g)$ и $\Psi(g)$ – это волновые матрицы из теоремы 1 для иерархии дКП и соответственно ее строгой версии. Для $j\in\mathbb{Z}$ обозначим $j$-ю строку матриц $\Phi(g)$ и $\Psi(g)$ соответственно через $\Phi_j(g)$ и $\Psi_j(g)$. Оба вектора-строки $\Phi_j(g)$ и $\Psi_j(g)$ являются произведением возмущающего множителя, соответственно $\widehat\Phi_j(g)$ и $\widehat\Psi_j(g)$, и матрицы $[M_z^m\gamma_{>0}]_{\mathcal H}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_j(g)&=\widehat\Phi_j(g)[M_z^m\gamma_{>0}]_{\mathcal H}= (\ldots,\widehat\Phi_{jj-2}(g),\widehat\Phi_{jj-1}(g),\widehat\Phi_{jj}(g)=1,0,\ldots)[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}\Lambda^m, \\ \Psi_j(g)&=\widehat\Psi_j(g)[M_z^m\gamma_{>0}]_{\mathcal H}= (\ldots,\widehat\Psi_{jj-2}(g),\widehat\Psi_{jj-1}(g),\widehat\Psi_{jj}(g),0,\ldots)[\gamma_{>0}]_{\mathcal H}\Lambda^m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat\Psi_{jj}(g)\in R^*$. В работе [5] мы доказали следующую теорему. Теорема 2. 1. Каждая строка $\Phi_j(g)$, $j\in\mathbb{Z}$, матрицы $\Phi(g)$ является строкой координат волновой функции $\varphi_{W_j}$ иерархии КП в базисе $\{z^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$, и все $\widehat\Phi_{jk}(g)$ принадлежат пространству $\mathcal M(\Gamma_{>0})$ мероморфных функций на $\Gamma_{>0}$. Здесь каждое $W_j$ – подпространство в связной компоненте $\operatorname{Gr}^{m+j}(H)$ ограниченного грассманиана в гильбертовом пространстве $H=L^2(S^1,\mathbb{C})$. 2. Все $\widehat\Psi_{jj}(g)$, $j\in\mathbb{Z}$, принадлежат $\mathcal M(\Gamma_{>0})$ и каждая строка $\Psi_j(g)$, $j\in\mathbb{Z}$, матрицы $\Psi(g)$ является строкой координат волновой функции $\varphi_{W_j,\ell_j}$ строгой иерархии КП в базисе $\{z^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$, а все остальные элементы $\widehat\Psi_{jk}(g)$ лежат в $\mathcal M(\Gamma_{>0})$. 6. Преобразования ДарбуПреобразование того типа, который мы обсуждаем в этом разделе, впервые появилось в работе Дарбу [6]. Дарбу искал ковариантные преобразования линейных дифференциальных уравнений, таких как уравнения Штурма–Лиувилля. Мы проиллюстрируем преобразования, рассмотренные Дарбу, на примере оператора Шредингера $L_2=\partial^2+2u$, где $\partial=\partial/\partial x$, и ненулевой функции $\varphi$, такой что $L_2(\varphi)=\partial^2(\varphi)+2u\varphi=0$. Оператор $L_2$ в первом порядке разлагается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
L_2=\biggl(\partial+\frac{\partial(\varphi)}{\varphi}\biggr)\biggl(\partial-\frac{\partial(\varphi)}{\varphi}\biggr)= (\partial+q)(\partial-q),\quad\text{где}\quad q=\frac{\partial(\varphi)}{\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее Дарбу ввел новый оператор Шредингера
$$
\begin{equation*}
\widetilde L_2=\partial^2+2\tilde u,\quad\text{где}\quad\tilde u=u+\partial(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $L_2\to\widetilde L_2$ есть не что иное, как перестановка компонент первого порядка в $L_2$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\widetilde L_2=\biggl(\partial-\frac{\partial(\varphi)}{\varphi}\biggr)\biggl(\partial+\frac{\partial(\varphi)}{\varphi}\biggr)= (\partial-q)(\partial+q).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы установить связь с интегрируемыми системами, напомним, что в иерархии КдФ рассматриваются деформации оператора $\partial^2$ типа $L_2$, удовлетворяющие набору уравнений Лакса, простейшим из которых является
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}L_2=[A, L_2],\quad\text{где}\quad A=\partial^3+3u\partial+\frac{3}{2}\partial(u).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Поскольку это уравнение Лакса эквивалентно уравнению с потенциалом $u$ в операторе Шредингера $L_2$, удовлетворяющим уравнению КдФ, это объясняет название иерархии. Заметим, что $\partial-\partial(\varphi)\varphi^{-1}=\varphi\,\partial\varphi^{-1}$ и это обратимый оператор в алгебре Psd псевдодифференциальных операторов от $\partial$, где происходят деформации иерархии КдФ, иерархии КП и строгой иерархии КП. Следовательно, оператор $\widetilde L_2$ является результатом сопряжения в Psd оператора $L_2$ с $\varphi\,\partial\varphi^{-1}$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde L_2=(\varphi\,\partial\varphi^{-1})L_2(\varphi\,\partial\varphi^{-1})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возникает естественный вопрос: когда преобразование Дарбу $L_2\mapsto\widetilde L_2$ совместно с уравнением КдФ, другими словами, при каком условии решение $u$ уравнения КдФ преобразуется в новое решение $\tilde u$ уравнения КдФ? Прямые вычисления показывают, что если $q$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}(\partial(q))=\frac{1}{4}\partial^4(q)-\frac{3}{2}q^2\,\partial^2(q)-3q\,\partial(q)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а $u$ удовлетворяет уравнению КдФ, то $\tilde u$ также удовлетворяет уравнению КдФ. Естественным продолжением этого вопроса является следующий: каковы дифференциальные операторы $P\in R[\partial]$ в Psd, такие что преобразование $L_2\to PL_2P^{-1}$ переводит решения уравнения КдФ в новые решения? Этим вопросам можно придать более общий характер. Иерархия КдФ является подсистемой иерархии КП, и в последней системе мы ищем деформации оператора $L$ от $\partial$ в Psd, удовлетворяющие набору уравнений Лакса для $L$. Решения $L$ иерархии КП с $L^2$, равным оператору Шредингера, соответствуют решениям иерархии КдФ. В строгой иерархии КП рассматриваются более широкие деформации оператора $M$ от $\partial$ в Psd, удовлетворяющие другому набору уравнений Лакса для $M$. В связи с приведенными выше вопросами для $L_2$ возникают следующие два вопроса, касающиеся решения $L$ иерархии КП и решения $M$ строгой иерархии КП.
$$
\begin{equation}
\text{Каковы}\;\,P\in R[\partial],\;\,\text{такие что}\;\,PLP^{-1}-\text{решение иерархии КП?}
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
\text{Каковы}\;\,Q\in R[\partial],\;\,\text{такие что}\;\,QMQ^{-1}-\text{решение строгой иерархии КП?}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Для решений иерархии КП, найденных в [7], первый вопрос был решен в работе [8], а для решений строгой иерархии КП из [9] второй вопрос был решен в работе [10]. Мы можем поставить аналогичные вопросы для решений $\{\mathcal L(g)\,|\,g\in\widehat G(2)\}$ иерархии дКП из части 1 теоремы 1 и решений $\{\mathcal M(g)\,|\,g\in\widehat G(2)\}$ строгой иерархии дКП из части 2. Естественными аналогами вопросов (23) и (24) являются следующие. Q1: какие точки $g_1P_{+}(\mathcal S_2)$ и $g_2P_{+}(\mathcal S_2)$ в $\widehat G(2)/P_{+}(\mathcal S_2)$ удовлетворяют условию, что соответствующие решения $\mathcal L(g_1)$ и $\mathcal L(g_2)$ связаны сопряжением с разностным оператором $P$ порядка $n\geqslant 1$? Другими словами,
$$
\begin{equation*}
\mathcal L(g_2)=P\mathcal L(g_1)P^{-1},\quad\text{где}\quad P=\Lambda^n+\sum_{j=0}^{n-1}p_j \Lambda^{j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $\mathcal L(g_1)\to P\mathcal L(g_1)P^{-1}$ называется преобразованием Дарбу степени $n$ для иерархии дКП. Q2: какие точки $g_1U_{+}(\mathcal S_2)$ и $g_2U_{+}(\mathcal S_2)$ в $\widehat G(2)/U_{+}(\mathcal S_2)$ удовлетворяют условию, что соответствующие решения $\mathcal M(g_1)$ и $\mathcal M(g_2)$ связаны сопряжением с разностным оператором $Q$ порядка $n\geqslant 0$? Другими словами,
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(g_2)=Q\mathcal M(g_1)Q^{-1},\quad\text{где}\quad Q=\sum_{j=0}^nq_j \Lambda^{j},\quad q_n\in\mathcal D_1(R)^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $\mathcal M(g_1)\to Q\mathcal M(g_1)Q^{-1}$ называется преобразованием Дарбу степени $n$ для иерархии дКП. В работе [1] решения дискретной иерархии КП и ее строгой версии были построены с помощью волновых матриц, поэтому мы используем следующую линеаризованную версию вопросов Q1 и Q2. LQ1: каковы для заданного $g\in\widehat G(2)$ разностные операторы
$$
\begin{equation}
P=\Lambda^n+\sum_{i=0}^{n-1}p_i \Lambda^i,\quad\text{где все}\quad p_i\in\mathcal D_1(R),
\end{equation}
\tag{25}
$$
такие что $P\Phi(g)$ снова является волновой матрицей иерархии дКП, такой же, как строится в части 1 теоремы 1? LQ2: каковы для заданного $g\in\widehat G(2)$ разностные операторы
$$
\begin{equation}
Q=\sum_{i=0}^nq_i \Lambda^i,\quad\text{где все}\;\,q_i\in\mathcal D_1(R)\;\,\text{и}\;\,q_n\in\mathcal D_1(R)^*,
\end{equation}
\tag{26}
$$
такие что $Q\Psi(g)$ снова является волновой матрицей строгой иерархии дКП, такой же, как строится в части 2 теоремы 1? Начнем с описания преобразований Дарбу иерархии дКП. При этом мы используем два свойства волновых матриц, построенных в теореме 1. Первое из них – это одно из уравнений Лакса, которому они удовлетворяют. Пусть $\Phi(g_1)$, $g_1\in\widehat G(2)$, есть волновая матрица типа $\Lambda^{m_1}$ иерархии дКП, и пусть $\mathcal U_{-}$-множитель $\widehat\Phi(g_1)$ в матрице $\Phi(g_1)$ разлагается как $\widehat\Phi(g_1)=\mathrm{Id}+\sum_{k\geqslant 1}\phi_{k}\Lambda^{-k}$, $\phi_{k}\in\mathcal D_1(R)$. Положим $\mathcal L(g_1)=\widehat\Phi(g_1)\Lambda\widehat\Phi(g_1)^{-1}$. Тогда уравнение Лакса при $k=1$ дает
$$
\begin{equation}
\partial_1(\Phi(g_1))=\pi_{\geqslant 0}(\mathcal L(g_1))\Phi(g_1)=(\Lambda+(\phi_1-\Lambda \phi_1\Lambda^{-1}))\Phi(g_1).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Таким образом, умножение волновой матрицы иерархии дКП слева на $\Lambda$ равносильно применению слева к этой волновой матрице оператора $\partial_1-d_0(\mathcal L(g_1))$. Второе свойство было показано в [5]. Там мы доказали, что каждая строка $\Phi_j(g_1)$, $j\in\mathbb{Z}$, матрицы $\Phi(g_1)$ является строкой координат волновой функции $\varphi_{W_j}$ иерархии КП в базисе $\{z^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$. Здесь каждое $W_j$ – подпространство в связной компоненте $\operatorname{Gr}^{m_1+j}(H)$ ограниченного грассманиана гильбертова в пространстве $H$. Теперь пусть $\Phi(g_2)$, $g_2\in\widehat G(2)$, есть другая волновая матрица типа $\Lambda^{m_2}$ иерархии дКП, такая что $\Phi(g_2)$ получается как результат левого умножения матрицы $\Phi(g_2)$ на разностный оператор $P$ степени $n$, т. е.
$$
\begin{equation}
\Phi(g_2)=P\Phi(g_1),\quad\text{где}\quad P=\Lambda^n+\sum_{i=0}^{n-1}p_i\Lambda^i.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Каждая строка $\Phi_j(g_2)$ матрицы $\Phi(g_2)$ является строкой координат волновой функции $\varphi_{V_j}$ иерархии КП. Сначала рассмотрим базовый случай $P=\Lambda+\operatorname{diag}(p_0(j))$. Запишем равенство $d_0(\mathcal L(g_1))=\operatorname{diag}(l_0(g_1)(j))$ и заменим $\Lambda$ в (28) на $\partial_1-d_0(\mathcal L(g_1))$, тогда уравнение (28) записывается как набор уравнений для строк матриц $\Phi(g_2)$ и $\Phi(g_1)$:
$$
\begin{equation}
\Phi_j(g_2)=(\partial_1+(p_0(j)-l_0(g_1)(j))\Phi_j(g_1)=P_1(j)\Phi_j(g_1),P_1(j)\in R[\partial_1].
\end{equation}
\tag{29}
$$
Каждое уравнение в (29) влечет $\varphi_{V_j}=P_1(j)\varphi_{W_j}$. Следовательно, $P_1(j)$ дает ответ на линеаризованную версию вопроса (23) и, таким образом, определяет преобразование Дарбу степени 1 для иерархии КП, которое связывает решение, соответствующее $W_j$, с решением, соответствующим $V_j$, при этом каждое $V_j$ является подпространством коразмерности 1 в $W_j$. В частности, мы видим, что $m_2=m_1-1$. Для каждого пространства $W\in\operatorname{Gr}(H)$ и любого $w\in W$ зададим $q_{W,w}\in\mathcal M(\Gamma_{>0})$ как Здесь $\langle\,{\cdot}\,|\,{\cdot}\,\rangle$ обозначает скалярное произведение в $\mathcal H$. Если $w \neq 0$, то $q_{W,w}$ – ненулевой элемент в $\mathcal M(\Gamma_{>0})$. Известно [8], что дифференциальный оператор $P_1(j)$ должен иметь вид $q_{W_j,u_j}\partial_1q_{W_j,u_j}^{-1}$ с ненулевым вектором $u_j$ из подпространства $W_j$, ортогонального $V_j$. Следовательно, преобразование Дарбу степени 1 для иерархии дКП, переводящее $\mathcal L(g_1)$ в $\mathcal L(g_2)$, представляет собой сопряжение с разностным оператором $P$, заданным как
$$
\begin{equation}
P=\Lambda+\operatorname{diag}\biggl(l_0(g_1)(j)-\frac{\partial_1(q_{W_j,u_j})}{q_{W_j,u_j}}\biggr).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Далее рассмотрим общий случай преобразования Дарбу степени $n$ для иерархии дКП. Подставляя $\Lambda=\partial_1-d_0(\mathcal L(g_1))$ всюду в множителе $P$ в правой части уравнения (28), получаем, что это уравнение принимает вид
$$
\begin{equation}
\Phi(g_2)=\biggl(\,\sum_{i=0}^{n-1}p_i\partial_1^i+ \partial_1^n\biggr)\Phi(g_1),\quad\text{где все}\;\, p_i=\operatorname{diag}(p_i(j))\in\mathcal D_1(R).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Эта система распадается на отдельные уравнения для векторов-строк $\{\Phi_j(g)\}$,
$$
\begin{equation}
\Phi_j(g_2)=P_n(j)\Phi_j(g_1),\quad\text{где}\quad P_n(j)=\sum_{i=0}^{n-1}p_i(j)\partial_1^i+\partial_1^n.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Известно [5], что для каждого $j\in\mathbb{Z}$ вектор $\Phi_j(g_1)$ является координатной версией волновой функции $\varphi_{W_j}$, $W_j\in Gr^{(m+j)}(H)$, иерархии КП, построенной в [7], а $\Phi_j(g_2)$ – координатная версиия другой волновой функции $\varphi_{V_j}$ иерархии КП. Так как множества функций $\varphi_{W_j}$ и $\varphi_{V_j}$ плотны в $W_j$ и $V_j$ соответственно, уравнение (33) напрямую влечет, что $V_j\subset W_j$, а решение $L_{V_j}$ иерархии КП, соответствующее $\varphi_{V_j}$, является преобразованием Дарбу иерархии КП порядка $n$ для решения $L_{W_j}$, соответствующего $\varphi_{W_j}$, т. е. $L_{V_j}=P_n(j)L_{W_j} P_n(j)^{-1}$. В частности, каждое $V_j$ является замкнутым подпространством в $W_j$ коразмерности $n$. К счастью, можно записать $P_n(j)$ в замкнутом виде, найдя в нем $\varphi_{W_j}$ и ортогональное дополнение к $V_j$ в $W_j$. Пусть $\{u_1(j),\ldots,u_n(j)\}$ – ортонормированный базис ортогонального дополнения к $V_j$ в $W_j$. Поскольку $\langle\varphi_{V_j}|u_{k}(j)\rangle=0$ для всех $k=1,2,\ldots,n$, мы находим, что нетривиальные элементы $p_i(j)$ строки $P_n(j)$ удовлетворяют системе линейных уравнений
$$
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n-1}p_i(j)\langle\partial_1^i(\varphi_{W_j})|u_{r}(j)\rangle=-\langle\partial_1^n(\varphi_{W_j})|u_{r}(j)\rangle,\qquad r=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Напомним, что все $\partial_1^{k}(\varphi_{W_j})$, $k\geqslant 0$, являются мероморфными функциями на $\Gamma_{>0}$ со значениями в $W_j$. Следовательно, мы можем определить матрицу
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))\in M_n(R),
\end{equation*}
\notag
$$
$(r,k+1)$-элемент которой с $1\leqslant r\leqslant n$ и $0\leqslant k\leqslant n-1$ задается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))_{r,k+1}=\langle\partial_1^{k}(\varphi_{W_j})|u_r(j)\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Это прямая проверка, показывающая, что матрица $\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))$ обратима. Поэтому можно найти $p_i(j)$ из уравнений (34) с помощью правила Крамера. Пусть $\mathcal W_k(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))$, $0\leqslant i\leqslant n-1$, – определитель матрицы, полученной заменой ($i+1$)-го столбца матрицы $\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))$ вектором
$$
\begin{equation*}
(\langle\partial_1^n(\varphi_{W_j})|u_1(j)\rangle,\ldots,\langle\partial_1^n(\varphi_{W_j})|u_n(j)\rangle)^{\mathrm T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Правило Крамера дает следующее выражение:
$$
\begin{equation*}
p_i(j)=\frac{-\mathcal W_i(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))}{\det(\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j)))},
\end{equation*}
\notag
$$
и, переводя действие $\sum_{i=0}^np_i\partial_1^i+\partial_1^n$ на волновую матрицу $\Phi(g_1)$ обратно в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $-действие, мы получаем преобразование Дарбу иерархии дКП степени $n$, связывающее решения $\mathcal L(g_1)$ и $\mathcal L(g_2)$. Оно заключается в сопряжении с разностным оператором
$$
\begin{equation}
P=(\Lambda+d_0(\mathcal L(g_1)))^n+ \sum_{i=0}^{n-1}\frac{{-\mathcal W}_i(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))}{\det(\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j)))} (\Lambda+d_0(\mathcal L(g_1)))^i.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Обратно, пусть $\Phi(g_1)$ и $\Phi(g_2)$ – две волновые матрицы иерархии дКП, которые соответствуют данным $\{W_j\}$ и $\{V_j\}$, и для каждого $j\in\mathbb{Z}$ пространство $V_j$ является замкнутым подпространством коразмерности $n$ в $W_j$. Тогда, как мы видели выше, для каждого $j\in\mathbb{Z}$ существует дифференциальный полином $P_n(j)$ от $\partial_1$ порядка $n$ со старшим коэффициентом, равным единице, такой что $\varphi_{V_j}=P_n(j)\psi_{W_j}$. Переводя действие матрицы $\operatorname{diag}(P_n(j))$ на $\Phi(g_1)$ обратно в разностный оператор $P$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, приходим к тому, что соотношение (28) выполняется для $\Phi(g_1)$ и $\Phi(g_2)$. Суммируем наш первый результат как теорему. Теорема 3. Пусть $g_1P_{+}(\mathcal S_2)$ отвечает флагу $\{W_j\}$, а $g_2P_{+}(\mathcal S_2)$ – флагу $\{V_j\}$. Тогда преобразование Дарбу степени $n\geqslant 1$ для иерархии дКП, связывающее $\mathcal L(g_2)$ с $\mathcal L(g_1)$, существует, если и только если для всех $j\in\mathbb{Z}$ Определяющий преобразование разностный оператор $P$ задается формулой (35). Теперь рассмотрим волновую матрицу $\Psi(g_1)$, $g_1\in\widehat G(2)$, типа $\Lambda^{n_1}$ для строгой иерархии дКП. Тогда, как известно из теоремы 2, каждая строка $\Psi_j(g_1)$, $j\in\mathbb{Z}$, матрицы $\Psi(g_1)$ является строкой координат волновой функции $\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}$ строгой иерархии КП в базисе $\{z^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$, где $W_j\in\operatorname{Gr}^{(n_1+j)}(H)$ и $\langle w_j\rangle$ – строка в $W_j$. Напомним [9], что каждая $\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}$ имеет вид $q_{W_j,w_j}^{-1}\varphi_{W_j}$, где $\varphi_{W_j}$ – волновая функция иерархии КП, а $q_{W_j,w_j}$ определена в (30). Решение строгой иерархии КП, соответствующее $\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}$, мы обозначим как $M(W_j,\langle w_j\rangle)$. Оно связано с решением $L_{W_j}$, соответствующим $\varphi_{W_j}$, формулой $M(W_j,\langle w_j\rangle)=q_{W_j,w_j}^{-1}L_{W_j}q_{W_j,w_j}$. Предположим, что $\Psi(g_2)$, $g_2\in\widehat G(2)$, – другая волновая матрица типа $\Lambda^{n_2}$ для строгой иерархии дКП, такая, что $\Psi(g_2)$ получается левым умножением $\Psi(g_1)$ на разностный оператор $Q$ степени $n$, т. е.
$$
\begin{equation}
\Psi(g_2)=Q\Psi(g_1),\quad\text{где}\quad Q=\sum_{i=0}^nq_i\Lambda^i,\quad \text{где все}\;\,q_i\in\mathcal D_1(R)\;\,\text{и}\;\,q_n\in\mathcal D_1(R)^*.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Каждая строка $\Psi_j(g_2)$, $j\in\mathbb{Z}$, матрицы $\Psi(g_2)$, в свою очередь, является строкой координат волновой функции $\psi_{V_j,\langle v_j\rangle}$ строгой иерархии КП в базисе $\{z^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$, где $V_j\in\operatorname{Gr}^{(n_2+j)}(H)$ и $\langle v_j\rangle$ – строка в $V_j$. В отличие от иерархии дКП строгая иерархия дКП обладает преобразованиями Дарбу степени 0, и мы начнем с их описания. Разностный оператор из (36) равен $Q=q_0=\operatorname{diag}(q_0(j))$. Уравнение (36) влечет, что для всех $j\in\mathbb{Z}$ волновые функции $\psi_{V_j,\langle v_j\rangle}$ и $\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}$ отличаются на ненулевой множитель $q_0(j)$. Поскольку образы этих волновых функций плотны соответственно в $V_j$ и $W_j$, получаем, что $V_j=W_j$ для всех $j\in\mathbb{Z}$. Следовательно, $n_1=n_2$. Кроме того, получаем, что $q_0(j)=\frac{q_{W_j,w_j}}{q_{W_j,v_j}}$ для всех $j\in\mathbb{Z} $. В итоге разностный оператор $Q$ нулевой степени, связывающий $\mathcal M(g_2)$ с $\mathcal M(g_1)$, равен
$$
\begin{equation}
Q=\operatorname{diag}\biggl(\frac{q_{W_j,w_j}}{q_{W_j,v_j}}\biggr),
\end{equation}
\tag{37}
$$
а обратное преобразование, связывающее $\mathcal M(g_1)$ с $\mathcal M(g_2)$, есть сопряжение с $Q^{-1}$. Таким образом, любые два решения строгой иерархии дКП, отвечающие данным $\{W_j,\langle w_j\rangle\}$ и $\{W_j,\langle v_j\rangle\}$, связаны преобразованием Дарбу нулевой степени. Далее рассмотрим преобразования Дарбу степени $n>0$ для строгой иерархии дКП. При этом мы используем уравнение Лакса при $k=1$, которому удовлетворяют волновые матрицы $\Psi(g)$ этой иерархии:
$$
\begin{equation}
\partial_1(\Psi(g))=\pi_{>0}(\mathcal M(g))\Psi(g)=d_1(\mathcal M(g))\Lambda \Psi(g).
\end{equation}
\tag{38}
$$
Заметим, что если $\mathcal P_{-}$-часть $\widehat\Psi(g)$ матрицы $\Psi(g)$ разлагается как $\widehat\Psi(g)=\sum_{k\geqslant 0}\psi_{k}\Lambda^{-k}$ со всеми $\psi_{k}\in\mathcal D_1(R)$ и $\psi_0\in\mathcal D_1(R)^*$, то $d_1(\mathcal M(g))=\psi_0\Lambda \psi_0^{-1}\Lambda^{-1}$. Последовательно заменяя $\Lambda$ в множителе $Q$ в правой части уравнения (36) на $\Lambda\psi_0^{}\Lambda^{-1}\psi_0^{-1}\partial_1$, получаем, что это уравнение принимает вид
$$
\begin{equation}
\Psi(g_2)=\biggl(\,\sum_{j=1}^{n}\delta_j\partial_1^{j}\biggr)\Psi(g_1),\quad\text{где все}\;\, \delta_j=\operatorname{diag}(\delta_j(s))\in\mathcal D_1(R)\;\,\text{и}\;\,\delta_{n}\in\mathcal D_1(R)^*.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Система (39) опять же разделяется на отдельные уравнения для строк $\{\Psi_j(g)\}$:
$$
\begin{equation}
\Psi_j(g_2)=Q_n(j)\Psi_j(g_1),\quad\text{где}\quad Q_n(j)=\sum_{r=1}^n\delta_{r}(j)\partial_1^r.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Эти уравнения влекут, что для соответствующих волновых функций строгой иерархии КП
$$
\begin{equation*}
\psi_{V_j,\langle v_j\rangle}=Q_n(j)\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $Q_n(j)$ дает ответ на линеаризованную версию вопроса (24) для строгой иерархии КП. Каждая $Q_n(j)$ определяет преобразование Дарбу степени $n$ для строгой иерархии КП. В частности, каждое $V_j$ является замкнутым подпространством в $W_j$ коразмерности $n$, при этом $n_2=n_1-n$. Кроме того, оператор $Q_n(j)$ должен быть равен $q_{V_j,v_j}^{-1}P_n(j)q_{W_j,w_j}$. Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation*}
\operatorname{diag}(q_{V_j,v_j}^{-1})\operatorname{diag}(P_n(j))\operatorname{diag}(q_{W_j,w_j})
\end{equation*}
\notag
$$
и переведем его обратно в оператор $Q$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $ заменой $\partial_1=d_1(\mathcal M(g_1))\Lambda$. Получим разностный оператор, который осуществляет преобразование Дарбу степени $n$. Чтобы сделать явную формулу для $Q$ несколько проще, введем обозначение
$$
\begin{equation*}
D_m(j):=\frac{{\mathcal W}_m(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j))}{\det(\mathcal M(\varphi_{W_j};u_1(j),u_2(j),\ldots,u_n(j)))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $Q$ задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q&=\operatorname{diag}\biggl(\frac{q_{W_{j+n},w_{j+n}}}{q_{V_j,v_j}}\biggr)(d_1(\mathcal M(g_1))\Lambda)^n+{} \notag\\ &\quad+\sum_{m=0}^{n-1}\operatorname{diag}\biggl(\frac{q_{W_{j+m},w_{j+m}}}{q_{V_j,v_j}}\biggr) \operatorname{diag}(-D_m(j))(d_1(\mathcal M(g_1)\Lambda)^m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Замечание. Мы видим, что формула (41) при $n=1$, Обратно, пусть $\Psi(g_1)$ и $\Psi(g_2)$ – две волновые матрицы строгой иерархии дКП, которые соответствуют данным $\{W_j,\langle w_j\rangle\}$ и $\{V_j,\langle v_j\rangle\}$, и для каждого $j\in\mathbb{Z}$ пространство $V_j$ является замкнутым подпространством в $W_j$ коразмерности $n$. Тогда согласно [10] для каждого $j\in\mathbb{Z}$ существует дифференциальный полином $Q_n(j)$ от $\partial_1$ порядка $n$ с обратимым старшим коэффициентом, такой что $\psi_{V_j,\langle v_j\rangle }=Q_n(j)\psi_{W_j,\langle w_j\rangle}$. Переводя действие оператора $\operatorname{diag}(Q_n(j))$ на $\Psi(g_1)$ обратно в разностный оператор $Q$ в $ \mathrm{Ps}\kern0.8pt\Delta $, получаем, что соотношение (36) выполняется для $\Psi(g_1)$ и $\Psi(g_2)$. Итак, имеем окончательный результат. Теорема 4. Пусть $g_1U_{+}(\mathcal S_2)$ отвечает данным $\{(W_j,w_j)\}$, а $g_2U_{+}(\mathcal S_2)$ – данным $\{(V_j,v_j)\}$. Тогда для строгой иерархии дКП преобразование Дарбу степени $n\geqslant 0$, связывающее $\mathcal M(g_2)$ c $\mathcal M(g_{1})$, существует, если и только если для всех $j\in\mathbb{Z}$ Искомое преобразование Дарбу определяется оператором $Q$, заданным в (41). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{HelPobPol24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|