| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О предполагаемых решениях кубического нелинейного уравнения Шредингера Х. В. Шурманa, В. С. Серовb a Department of Mathematics, Computer Science, Physics, University of Osnabrück, Germany b Research Unit of Mathematical Sciences, University of Oulu, Finland
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2025, Volume 223, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792504004X 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеКак известно, кубическое нелинейное уравнение Шредингера (КНУШ) (см. уравнение (1a) ниже) является подходящей моделью для изучения разнообразных физических явлений, например, в нелинейной оптике [1], гидродинамике [2] и физике плазмы [3]. Как следствие этого разнообразия применений, фактическое содержание независимых переменных $x$, $t$ и параметров $p$ и $q$ в этом уравнении различно для разных задач. Будучи интегрируемым дифференциальным уравнением, КНУШ обладает бесконечным множеством законов сохранения и может быть решено общими методами (например, методом обратной задачи рассеяния или с помощью преобразования Дарбу). Однако, используя эти общие методы, для некоторых физически значимых задач нелегко вывести решения, имеющие практическое применение. В связи с этим были предложены специальные анзацы (пробные решения). В настоящей статье мы рассматриваем один из них, первоначально представленный в работе [4] и рассмотренный заново в работе [5]. Применительно к работе [4] в недавней статье [6] мы заявили о несостоятельности этого анзаца. Поскольку в [5] была предложена модификация результата работы [4], целью настоящей статьи является проверка того, приводит ли эта модификация к исправлению нашего утверждения, сделанного в [6]. Мы считаем важным узнать, подходит ли этот широко используемый1 анзац из работы [4] в качестве решения КНУШ. После формулировки задачи в разделе 2 в разделе 3 мы преобразуем базовую систему в динамическую систему (6a), (6b) (см. ниже), которая подходит для последующей проверки совместности базовой системы. В разделе 4 мы находим решения $d(t)$ и $Q(x,t)$ (см. уравнение (1b) ниже) и используем их в разделе 5. Мы завершаем настоящую статью некоторыми комментариями в разделе 6. 2. Постановка задачиРассмотрим базовую систему из работы [5]: где $x$, $t$, $p$, $q$, $Q$, $d$, $\phi$ принимают вещественные значения и $d_t(t)\neq 0$, $Q_x(x,t)\neq 0$ (общий случай). Проверка совместности базовой системы (1a), (1b) составляет нашу задачу.Обычно КНУШ (1a) записывается в виде [4] Очевидно, уравнение (2) есть частный случай КНУШ (1a) при $p=1$, $q=2$, поэтому полученные нами результаты для работы [5] также относятся и к работе [4].В следующем разделе, предполагая, что базовая система верна, мы выводим соотношения, приводящие к преобразованию этой системы в терминах решений $d=\sqrt{z}$ и $Q$, которые должны обязательно выполняться для базовой системы. В конечном итоге предположение о совместности базовой системы приводит к противоречию в разделе 5. 3. Преобразование базовой системы в динамическую системуЕсли предположить, что базовая система совместна, то анзац (1b) должен удовлетворять КНУШ (1a). Тогда, подставляя $A(x,t)$ в (1a) и разделяя мнимую и вещественную части по аналогии с [4]–[6], получаем (полагая $p=1$) следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
Q_t(x,t) =d(t)\bigl(\phi_t(t)-q(d^2(t)+Q^2(x,t))\bigr),
\end{equation}
\tag{3a}
$$
$$
\begin{equation}
(Q_x(x,t))^2 =-\frac{q}{2}Q^4(x,t)-\bigl(q^2d^2(t)-\phi_t(t)\bigr)Q^2(x,t)-2d_t(t)Q(x,t)+b(t),
\end{equation}
\tag{3b}
$$
где через $b(t)$ обозначен первый $x$-интеграл от вещественной части КНУШ из системы (1a), (1b). Чтобы исключить из этой системы (неизвестные) $b(t)$ и $\phi_t(t)$, $d_t(t)$, полезно преобразовать ее следующим образом (см. [4], [5]). Условие интегрируемости $Q_{xt}=Q_{tx}$ приводит к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям (см. уравнение (6) в [5] и уравнения (7a)–(7в) в [6]), которые можно последовательно проинтегрировать, в результате имеем
$$
\begin{equation}
b(t) =\frac{1}{4}\bigl(2c_2-2c_1d^2(t)+3qd^4(t)\bigr),
\end{equation}
\tag{4b}
$$
$$
\begin{equation}
(d_t(t))^2 =-4q^2d^6(t)+4qc_1d^4(t)-(c_1^2+2qc_2)d^2(t)+c_3,
\end{equation}
\tag{4c}
$$
где $c_1$, $c_2$ и $c_3$ – константы интегрирования. Положив $d^2(t)=z(t)$, перепишем уравнение (4c) как
$$
\begin{equation}
(z_t(t))^2=\alpha_1z^4(t)+4\beta_1z^3(t)+6\gamma_1z^2(t)+4\delta_1z(t)+\epsilon_1=:R_1(z),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_1=-16q^2,\quad\;\;\beta_1=4qc_1,\quad\;\;\gamma_1=-\frac{2}{3}(c_1^2+4qc_2),\quad\;\;\delta_1=c_3,\quad\;\;\epsilon_1=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим выражения (4a), (4b), тогда динамическая система (3a), (3b) примет вид
$$
\begin{equation}
Q_t(x,t) =\sqrt{z(t)}\bigl(c_1-q(3z(t)+Q^2(x,t))\bigr),
\end{equation}
\tag{6a}
$$
$$
\begin{equation}
(Q_x(x,t))^2 ={}-{}\frac{q}{2}Q^4(x,t)+\bigl(c_1-3qz(t)\bigr)Q^2(x,t)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\;+\frac{z_t(t)}{\sqrt{z(t)}}Q(x,t)+2c_2+\frac{3}{2}qz^2(t)-c_1z(t):= R_2(x,t).
\end{equation}
\tag{6b}
$$
При решении $z(t)$ уравнения (5) эта система обязательно выполнима, если предполагается, что базовая система верна. Отметим, что уравнения (5), (6a), (6b) эквивалентны соответствующим уравнениям в [4] и [5], а именно уравнениям (13), (5), (15) в [4] (с учетом уравнения (4a) в [6]) при $c_1=W$, $c_2=H/2$, $c_3=D$ и уравнениям (7), (4a), (5) в [5] при $c_1=-\omega_0$, $c_2=k_2/2$, $c_3=k_1$, $p=1,q=2$.
4. Решение уравнений $(5)$ и $(6b)$Очевидно, что (5) и (6b) – это уравнения одного типа. Их решения можно получить, применив функцию Вейерштрасса (см. выражение (11) для $y(x)$ в [6]). В общем случае решение может быть комплексным и неограниченным. Решение уравнения (5) выглядит следующим образом (штрих обозначает дифференцирование по $z$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &z(t)=z_0+{} \notag\\ &\quad+\frac{\frac{1}{2}R'_1(z_0)\bigl(\wp(t;g_{2z}^{},g_{3z}^{})-\frac{1}{24}R''_1(z_0)\bigr)\pm \frac{d\wp(t;g_{2z},g_{3z})}{dt}\sqrt{R_1^{}(z_0)}+\frac{1}{24}R_1^{}(z_0)R_1'''(z_0)} {2\bigl(\wp(t;g_{2z}^{},g_{3z}^{})-\frac{1}{24}R_1''(z_0)\bigr)^2-\frac{1}{48}R_1^{}(z_0)R_1''''(z_0)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $z_0=z(0)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{2z}&=\frac{4}{3}(c_1^2+4qc_2)^2-16qc_1c_3, \\ g_{3z}&=\frac{8}{27}\bigl(54q^2c_3^2-18qc_1c_3(c_1^2+4qc_2)+(c_1^2+4qc_2)^3\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение уравнения (6) выглядит следующим образом (здесь штрих обозначает дифференцирование по $Q$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &Q(x,t)=Q_0(t)+{} \notag\\ &+\frac{\frac{1}{2}R'_2(Q_0^{})\bigl(\wp(x;g_{2Q},g_{3Q})-\frac{1}{24}R_2''(Q_0)\bigr)\pm \frac{d\wp(x;g_{2Q},g_{3Q})}{dx}\sqrt{R_2^{}(Q_0)^{}}+\frac{1}{24}R_2^{}(Q_0)R_2'''(Q_0^{})} {2\bigl(\wp(x;g_{2Q}^{},g_{3Q}^{})-\frac{1}{24}R_2''(Q_0^{})\bigr)^2-\frac{1}{48}R_2^{}(Q_0^{})R_2''''(Q_0^{})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
g_{2Q}=\frac{c_1^2}{12}-qc_2,\quad g_{3Q}=-\frac{c_1-3qz(t)}{216}(c_1^2-24qc_1z(t)+36q^2z^2(t)+36qc_2)+\frac{qz^2_t(t)}{32z(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Несовместность базовой системыПолученная в результате приведенного выше преобразования система (6a), (6b) определяет соответственно мнимую и вещественную части уравнения (1a), стремящиеся к нулю на бесконечности. Следует рассмотреть систему (6a), (6b) при (обязательно) верных (7) (как единственном решении уравнения (5)) и (8) (как единственном решении уравнения (6b)). Решение (7) существует при любых вещественных (см. формулы (4a)–(4c)) параметрах $c_1$, $c_2$, $c_3$, $q$ и любых вещественных $z_0$ (поскольку мы рассматриваем вещественные $g_{2Q}$, $g_{3Q}$). Решение (8) существует при любых параметрах $c_1$, $c_2$, $c_3$, $q$ и любых $z_0$, $Q_0$. Будучи единственным решением уравнения (6b), решение (8) является единственным удовлетворяющим уравнению (6a), если предполагается, что система непротиворечива:
$$
\begin{equation}
P(x,t;c_1,c_2,c_3,q,z_0,Q_0):=Q_t(x,t)-\sqrt{z(t)}\bigl(c_1-q(3z(t)+Q^2(x, t))\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Поскольку это уравнение должно выполняться для любых вещественных $x$, $t$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, $q$, $z_0$ и любого $Q_0$, мы произвольно выбрали параметры как $x=1$, $t=1$, $q=-1$, $c_1=-2$, $c_2=0.4$, $c_3=0.13$, $z_0=1$, $Q_0=1$ и получили что противоречит (9). Поскольку (9) необходимо для совместности основой системы, эта система является несовместной.
6. Заключительные замечанияКак мы отмечали в работе [6] (см. раздел 4), в частных случаях анзац (1b) не противоречит КНУШ (1a). В представленной работе мы привели аргументы, что это не так в общем случае. Учитывая результаты работ [4] и [5], мы можем ошибаться в этом утверждении. Однако, если предположить, что наши аргументы верны, возникает вопрос, почему несоответствие не было обнаружено в [4] и [5] или в публикациях, опирающихся на [4] (мы не нашли ссылок на [5]). Возможно, причина в том, что автор работы [5] испытывал определенную неловкость перед авторами работы [4]. В этой связи мы еще раз отмечаем, что системы (5), (6) в [4], системы (4a), (5) в [5] и наши системы (6a), (6b) (только) необходимы для справедливости базовой системы. Насколько мы можем видеть, ни в [4], ни в [5] не проверялось, обращается ли в нуль вещественная часть уравнения (1a), если подставить соответствующее решение $\{z(t),Q(x,t)\}$. В работе [4] нужно подставить решения $z(t)$ (22) и $Q(x,t)$ (24) в уравнение (5); в работе [5] нужно подставить решения $z(t)$ (9) и $Q(x,t)$ (13)–(15) в уравнение (4a). Это может быть причиной того, что ошибка не была обнаружена. Возникает еще один вопрос: существует ли решение $\widetilde Q(x,t)\neq Q(x,t)$? Как упоминалось в разделе 1, формально отличное (отличное от $Q$ в [4] и от $Q$, заданного в соответствии с [8]) решение $\widetilde Q(x,t)$ было предложено в статье [5]. Вместо интегрирования уравнения (5) в [5] (уравнения (6) в [4]) автор работы [5] предпочел преобразовать свое уравнение (4a) в уравнение Риккати (13), приводящее к функции $A(x,t)$ (16). Если функция $\widetilde Q(x,t)$, полученная по формулам (13)–(15) в работе [5], предполагается правильным решением уравнения (4a), оно должно удовлетворять уравнению (5) в указанной работе. В соответствии с преобразованием из раздела 3 уравнение (4a) из [5] эквивалентно нашему уравнению (6a), а уравнение (5) – нашему уравнению (6b). Однако уравнение (6b) по построению имеет единственное решение (8) (см. [7]). Следовательно, $\widetilde Q(x,t)=Q(x,t)$. Как упоминалось выше, уравнение (5) в [5] не проверялось с помощью решения $\widetilde Q(x,t)$, заданного по формулам (13)–(15) (насколько мы можем судить). Наконец, мы хотели бы отметить любопытный факт. Статья [4] – это часто цитируемая публикация. На основе результатов работы [4] в статье [8] были представлены решения, которые нашли свое экспериментальное подтверждение в [9], где отмечалось “good agreement between theory and experiment” (хорошее согласие теории с экспериментом). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SchSer25} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|