| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотика выхода на бегущую волну решения уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова Л. А. Калякин Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2025, Volume 223, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577925040038 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеПолулинейное параболическое уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+f(\varphi)=0,\qquad t>0,\,\, x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1}
$$
часто называют уравнением Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП). Задача о выходе решения на бегущую волну при $t\to\infty$ впервые была рассмотрена в работе [1]. Под бегущей волной понимается функция вида $\Phi(s)$ с аргументом $s=x-S(t)$. В случае постоянной скорости $S'(t)\equiv v=\mathrm{const}$ волна $\Phi=\Phi_v(s)$, которая определяется из обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой точное изолированное решение уравнения КПП. Та же функция $\Phi_v(s)$ с переменной скоростью $S'(t)\neq\mathrm{const}$ используется для описания класса решений в асимптотике при $t\to\infty$. Такая асимптотика обсуждается в настоящей работе. Для приложений [2], которые инициировали математические исследования, и для теории возмущений [3], [4] интерес представляют волны, описывающие замещение неустойчивого равновесия устойчивым. На фазовой плоскости с координатами $(\Phi,\dot{\Phi})$ они соответствуют траекториям, соединяющим седло и узел. Без ограничения общности можно считать, что равновесия совпадают со значениями $0$ и $1$. Тогда подходящие решения (с точностью до сдвига фазы $s\Rightarrow s+\mathrm{const}$) выделяются краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\Phi(s)\to 0\quad \text{при}\,\, s\to-\infty,\qquad \Phi(s)\to 1\quad \text{при}\,\, s\to+\infty.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Далее считается, что неподвижная точка $(0,0)$ является седлом, а $(1,0)$ – узлом, который будет устойчив при $v\geqslant 2\sqrt{-f'(1)}$. Граничное значение $v_*=2\sqrt{-f'(1)}$ определяет минимальную скорость неосциллирующей волны. Ввиду возможной перенормировки переменных $x,t$ можно считать $f'(1)=-1$, так что $v_*=2$. Неподвижная точка $(1,0)$ при $v=v_*$ оказывается вырожденным устойчивым узлом1. Для соответствующего решения $\Phi=\Phi_*(s)$ это ведет к специфической асимптотике на бесконечности (см. стр. 40 в [5]):
$$
\begin{equation}
\Phi_*(s)=\begin{cases} e^{\lambda_0 s}[\mathrm{const}+ \mathcal{O}( e^{\lambda_0 s})],& s\to-\infty,\\ 1+ e^{-s}[\alpha s+\beta+\mathcal{O}(s^2 e^{-s})],& s\to+\infty. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Показатель $\lambda_0=-1+\sqrt{1+f'(0)} >0$ соответствует седловой точке, где $f'(0)>0$. В общем случае константа $\alpha$ не обращается в нуль. Известные результатыДля уравнения (1) решение в виде волны, бегущей с постоянной скоростью $v$, является изолированным. В круге математических проблем обычно обсуждаются следующие вопросы. 1. Выделение класса начальных данных, при которых решение $\varphi(x,t)$ в асимптотике на бесконечности $t\to\infty$ выходит на решение $\Phi_v(s)$ уравнения (2) с заданным параметром $v$. Фаза такой волны $s=x-S(t)$ в общем случае не совпадает с $x-v t$. Соответствующие строгие математические результаты получены в работах [1], [6]. 2. Вычисление асимптотики при $t\to\infty$ для решения $\varphi(x,t)$ и, в частности, для фазы $S(t)$ (или для скорости волны $dS(t)/dt$) было предметом многих работ (см. обзоры [7], [8]). Принципиальный вопрос о наличии логарифма в асимптотике фазы $S(t)=vt+\ln t\,[c_0+o(1)]$ для случая $v=v_*$ фактически был решен в работе [6], а позже другим способом в [9]. Результаты работ [6], [9] получены из анализа точного решения. Такой подход выглядит весьма непросто, и следующие поправки в асимптотике решения не обсуждались. 3. Более простым представляется построение асимптотического решения в виде формального ряда по обратным степеням переменной $t$ и, возможно, логарифмам $\ln t$. Коэффициенты ряда определяются из следующего требования: отрезок ряда достаточно большой длины при подстановке в исходное уравнение дает невязку соответствующего порядка малости при $1/t\to0$ равномерно по $x$ в подходящей области. Подобный формальный подход широко применяется при исследованиях асимптотик в разных задачах. Для уравнения КПП он реализован в работе [7], где был построен отрезок асимптотического решения по отрицательным степеням $t^{-n/2}$. Главный член такой асимптотики соответствует решению $\Phi=\Phi_*(s)$ уравнения (2) при $v=v_*$ и при дополнительном условии монотонности волны. Фаза $s=x-S(t)$ зависит от времени нелинейно и для скорости предъявлена асимптотика в виде Вычислены константы $c_0, \ c_1$ и приведены соображения об их универсальности, т. е. о независимости от начальных данных [7], [8].4. Обоснование формальной конструкции с доказательством теоремы существования точного решения и с оценкой остаточного члена асимптотики остается открытой проблемой. Соответствующие результаты известны лишь для частных случаев [10]. Однако даже без обоснования остаются проблемы в формальном решении. Приведенные в работах [7], [8] результаты оказались ограниченными, как указано в статье [11]. Асимптотические конструкции должны включать не только отрицательные степени $t^{-k/2}$, но и степени логарифма, $\ln t$. Такие построения выполняются в настоящей работе. Уточнение исходных ограниченийФункция $f(\varphi)$ считается бесконечно дифференцируемой на промежутке $\varphi\in[0,1]$. Предполагается, что $f(0)=f(1)=0$, и на интервале $0<\varphi<1$ нет других нулей функции $f(\varphi)$. Существенным условием является монотонность решения $\Phi_*(s)$. Это требование обеспечивает устойчивость волны $\Phi_*(x-v_*t)$ в линейном приближении [12], [13]. Рассматривается ситуация общего положения с коэффициентом $\alpha\ne 0$ в асимптотике (4). Масштаб переменных $x,t$ выбран так, что $v_*=2$. Основной результат настоящей работы состоит в модификации формулы (5) для асимптотики при $t\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\frac{dS}{dt}=v_*+t^{-1}[ c_0+c_1t^{-1/2} +t^{-1}(c_{2,1}\ln t+c_2)+t^{-3/2}(c_{3,1}\ln t+c_3)+\mathcal{O(}t^{-2}\ln^2 t)].
\end{equation}
\tag{6}
$$
Ниже будет показано, что коэффициент при логарифме $c_{2,1}$ отличен от нуля и является универсальным так же, как $c_0,c_1$. Этим заканчивается выделение универсальной части асимптотики бегущей волны. Оставшаяся часть содержит произвольные параметры (например, $c_2$), которые не могут быть определены в рамках предложенной конструкции. При построении асимптотики удобно пользоваться переменной бегущей волны (вместо $x$), сделав замену $\varphi(x,t)=\phi(s,t)$, $s=x-S(t)$. В получившемся уравнении содержатся две неизвестные функции $\phi$ и $S$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\phi}{\partial s^2} +S'(t)\frac{\partial\phi}{\partial s}- \frac{\partial\phi}{\partial t}-f(\phi)=0,\qquad t>0,\,\, s\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Очевидно, от выбора коэффициента $S'(t)$ зависит конструируемое решение $\phi(s,t)$. В теории усреднения и при возмущении солитонов подобный прием используется для построения асимптотических решений, пригодных до больших времен (см., например, [14]). Здесь произвол в функции $S'(t)$ используется для асимптотических конструкций, пригодных далеко на переднем фронте волны, где $s\gg\sqrt t$. Поскольку речь идет о построении асимптотического решения, то для функции $S'(t)$ предъявляется только асимптотика при $t\to\infty$ в форме (6). Эта формула не содержит никакой информации для фиксированных конечных значений времени $t$. Конструкция формального асимптотического решения при $t\to\infty$ выполняется в разной форме в разных секторах полуплоскости $x\in\mathbb{R}$, $t>0$ с использованием метода согласования [15]. C этой методикой связана терминология: внутреннее и внешнее разложения. Обоснование асимптотики здесь не обсуждается. 2. Внутреннее разложениеВ области быстрого изменения волны (во внутреннем слое) асимптотическое решение строится в виде ряда с коэффициентами, зависящими от $s$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi(s,t)={}&\Phi_*(s)+t^{-1}\{\Phi_0(s)+t^{-1/2}\Phi_1(s)+ t^{-1}[\ln t\,\Phi_{2,1}(s)+\Phi_2(s)]+{} \notag \\ &+ t^{-3/2}[\ln t\,\Phi_{3,1}(s)+\Phi_3(s)]+\mathcal{O}(t^{-2}\ln^2 t)\}, \qquad t\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Мы не выписываем здесь бесконечные ряды по степеням $t^{-n/2}\ln ^kt$, наша главная цель – показать наличие логарифмов в первых членах асимптотики. Для коэффициентов $\Phi_{n,k}(s)$ при нулевой степени логарифма индекс $k=0$ опускается, $\Phi_{n,0}(s)=\Phi_n(s)$. Для главного члена $\Phi_*(s)$ берется решение обыкновенного дифференциального уравнения (2) при $v=v_*=2$. Линеаризованный оператор определяется выражением
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\frac{d^2}{d s^2}+2 \frac{d}{ds}-f'(\Phi_*(s)),\qquad s\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поправки в асимптотическом решении (8) находятся из рекуррентной системы линейных неоднородных уравнений, которые получаются из уравнения (7) при выделении слагаемых с одинаковыми степенями $t^{-n/2}\ln ^kt$. На первых шагах имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{L}\Phi_{n}=F_{n}(s), \qquad \mathcal{L}\Phi_{n,k}=F_{n,k}(s), \\ F_0(s)=-c_0\Phi_*'(s),\qquad F_1(s)=- c_1\Phi_*'(s),\qquad F_{2,1}(s)=- c_{2,1}\Phi_*'(s),\\ \!\!\! F_{3,1}(s)=-c_{3,1}\Phi_*'(s), \qquad F_2(s)=-c_2\Phi_*'(s)-\Phi_0(s)-c_0\Phi_0'(s)+\frac12f''(\Phi_*(s)) \Phi_0^2(s). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Уравнения дополняются краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\Phi_n(s)\to0,\qquad \Phi_{n,k}(s)\to0,\qquad s\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Фундаментальную систему решений однородного уравнения $\mathcal{L}\Phi=0$ удобно взять в виде пары функций
$$
\begin{equation*}
\varphi_+(s)=\Phi_*'(s),\qquad \varphi_-(s)=\varphi_+(s)\int_\infty^s \frac{e^{-2\zeta}}{\varphi_+^2(\zeta)}\,d\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
с вронскианом $W[\varphi_+,\varphi_-]=e^{-2s}$. В соответствии с (4) функция $\varphi_+(s)$ имеет следующую асимптотику на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\varphi_+(s)= e^{-s}[-(\alpha s+\gamma)+\mathcal{O}(s^2 e^{-s})],\qquad s\to+\infty,\,\, \gamma=\beta-\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
После интегрирования получается похожая асимптотика для $\varphi_-(s)$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_-(s)=\frac{1}{\alpha} e^{-s} [1 +\mathcal{O} (s^2e^{-s} ) ],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Частное решение неоднородного уравнения $\mathcal{L}\Phi=F(s)$ выписывается через интегралы:
$$
\begin{equation}
\Phi(s)=-\varphi_+(s)\int_0^s\varphi_-(\zeta)F(\zeta) e^{2\zeta}\,d\zeta+\varphi_-(s)\int_{-\infty}^s\varphi_+(\zeta)F(\zeta)e^{2\zeta}\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{11}
$$
В работе [11] установлена разрешимость рекуррентной системы задач типа (9), (10) в классе гладких функций, у которых асимптотика на бесконечности описывается посредством квазиполиномов:
$$
\begin{equation*}
\Phi(s)= P(s) e^{-s} [1+\mathcal{O} (s^2 e^{-s} ) ],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $P(s)$ обозначаются различные полиномы. Получаемое таким образом асимптотическое решение (8) зависит от констант $c_{n}$, $c_{n,k}$, которые пока остаются неопределенными. К решениям уравнений (9), (10) на каждом шаге можно добавлять решение однородной задачи $\varphi_+(s)=\Phi'_*(s)$ с произвольным множителем, или, что то же самое, менять нижний предел в первом интеграле в (11). Мы этого не делаем, учитывая, что для асимптотического решения эквивалентный произвол содержится в константах скорости $c_n$, $c_{n,k}$. Обратим внимание, что первые поправки выражаются через одну и ту же функцию
$$
\begin{equation}
\tilde\Phi(s)=\varphi_+(s)\int_0^s\varphi_-(\zeta)\varphi_+(\zeta) e^{2\zeta}\,d\zeta -\varphi_-(s)\int_{-\infty}^s \varphi_+^2(\zeta)e^{2\zeta}\,d\zeta
\end{equation}
\tag{12}
$$
с не определенными пока множителями:
$$
\begin{equation*}
\Phi_0(s)=c_0\tilde\Phi(s),\qquad \Phi_1(s)=c_1\tilde\Phi(s),\qquad \Phi_{2,1}(s)=c_{2,1}\tilde\Phi(s),\qquad \Phi_{3,1}(s)=c_{3,1}\tilde\Phi(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Из явного представления нетрудно получить асимптотику на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\tilde\Phi(s)= e^{-s} [a_0+a_1 s+a_2s^2+a_3s^3+\mathcal{O} (s^4 e^{-s} ) ],\qquad s\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты при старших степенях здесь вычисляются из главных членов асимптотики подынтегральных функций в (12): $a_3=\alpha/6$, $a_2=\gamma/2$. При младших степенях коэффициенты вычисляются через интегралы от остатков, например
$$
\begin{equation*}
a_1=-\alpha\int_0^\infty \biggl[\varphi_+(\zeta)\varphi_-(\zeta)e^{2\zeta}+\frac{\alpha\zeta+\gamma}{\alpha}\biggr]\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Для старших поправок степени полиномов $P(s)$ в асимптотике при $s\to+\infty$ повышаются на два порядка по сравнению с асимптотикой правой части $F(s)$. Из-за роста степеней квазиполиномов асимптотическое решение в форме (8) становится непригодным при больших значениях $s\approx \sqrt t$, и его приходится менять. 3. Асимптотика в промежуточном слоеДля построения асимптотического решения далеко на переднем фронте $s\approx \sqrt t$ с использованием метода согласования требуется найти более подходящее представление для полученной асимптотики (8) в области $s\gg1$. В этой области асимптотическое решение (8) можно упростить, если для коэффициентов использовать асимптотику при $s\to+\infty$. Эти функции экспоненциально стремятся к нулю при $s\to+\infty$. При экспонентах обнаруживаются полиномы, порядок которых растет с ростом номера $n$. Такую асимптотику на каждом шаге можно извлечь из интегралов (11), как это сделано для первых поправок. В результате приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\phi(s,t)-1]e^{s}={}& [\alpha s+\beta ] +t^{-1}\{ [a_0+a_1 s+a_2s^2+a_2s^3 ] [c_0+c_1t^{-1/2}+c_{2,1}t^{-1}\ln t+{} \\ &+c_{3,1}t^{-{3/2}}\ln t+\cdots]+t^{-1}(c_2 [a_0+a_1 s+a_2s^2+a_2s^3 ]+P_5(s))\}+\cdots\, . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Структуру асимптотики в старших поправках (например, полином $P_5(s)$) можно выявить более простым способом, выделив убывающую экспоненту. Для этого делается замена искомой функции $[\phi(s,t)-1] e^{s}=\psi(s,t)$. Для новой функции $\psi(s,t)$ уравнение (7) приводится к виду
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\psi}{\partial s^2}= \frac{\partial\psi}{\partial t}+ t^{-1} [c_0+c_1t^{-1/2}+t^{-1}(c_{2,1}\ln t+c_2)+\cdots]\biggl[\psi-\frac{\partial\psi}{\partial s}\biggr] +\mathcal{O}(e^{-s}\psi^2),\quad t>0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Нелинейные слагаемые оказываются экспоненциально малыми и не участвуют в дальнейшей конструкции в области $s\gg1$. Асимптотическое решение строится в виде ряда по степеням и логарифмам переменной $t$:
$$
\begin{equation}
\psi(s,t)=\Psi_*(s)+t^{-1}[\Psi_0(s)+t^{-1/2}\Psi_1(s)+t^{-1}(\ln t\,\Psi_{2,1}(s)+\Psi_2(s))+\cdots].
\end{equation}
\tag{14}
$$
Коэффициенты находятся из рекуррентной системы тривиальных уравнений вида $\Psi''(s)=G(s)$. Константы интегрирования выбираются из согласования с функциями $\Phi_n(s)$, $\Phi_{n,k}(s)$. В частности, на исходном шаге $\Psi_*(s)=\alpha s+\beta$. В результате все коэффициенты определяются однозначно в виде полиномов по $s$. При этом наглядно видно повышение степени полинома на два порядка на каждом шаге $n$. Полученный ряд (14) представляет собой асимптотическое решение уравнения (13) при $t\to\infty$ в области $s\gg1$. Этот ряд будет асимптотическим на не слишком большом промежутке: при $s\ll \sqrt t$, пока последующее слагаемое меньше предыдущего по порядку малой величины $1/t$. Таким образом определяется промежуточный слой: $1\ll s\ll\sqrt t$. Конструкция асимптотики при $s\approx \sqrt t$ должна быть изменена с использованием “медленной” переменной типа $s/\sqrt t$. Одна из подходящих замен $z={s^2}/{4t}$ указана в работе [7]. После такой замены полученное разложение в промежуточном слое запишем, выделив $t^{1/2}$ в качестве общего множителя:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi(s,t)={}&1+e^{-s}t^{1/2}\{ [\alpha\sqrt {4z}+c_0a_3 (4z)^{3/2}+\mathcal{O}(z^{5/2}) ]+{} \notag \\ &+t^{-1/2} [\beta+c_0a_2 4z+c_1a_3 (4z)^{3/2}+\mathcal{O}(z^{2}) ]+{} \notag \\ &+t^{-1}\ln t [c_{2,1}a_3 (4z)^{3/2}+\mathcal{O}(z^{2}) ]+t^{-3/2}\ln t [c_{3,1}a_3 (4z)^{3/2}+\mathcal{O}(z^{2}) ]+ \notag \\ &+t^{-1} [c_0a_1\sqrt{4z}+c_1a_24z+c_2a_3 (4z)^{3/2}+\mathcal{O}(z^{2}) ]+\cdots\},\quad z=\frac{s^2}{4t}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь для коэффициентов указаны главные члены асимптотики при $z\to0$. Асимптотическое решение в такой форме пригодно в промежуточном слое $t^{-1}\ll z\ll 1$, который в более определенной форме описывается неравенствами2
$$
\begin{equation*}
t^{-1+\delta_1}\leqslant z=\frac{s^2}{4t}\leqslant t^{-\delta_2}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми $\delta_1,\delta_2>0$, $\delta_1+\delta_2<1$. Заметим, что в промежуточном слое экспоненциальная малость по $s$ влечет экспоненциальную малость по $t$, поскольку $\exp(-2t^{(1-\delta_2)/2})\leqslant e^{-s}$. Этим обосновывается игнорирование остатка с нелинейными членами в уравнении (13), когда строится степенное по $t$ разложение (14). Сформулируем итог данного раздела в соответствии с [11]. Теорема 1. При любом наборе констант $c_n,c_{n,k}$ асимптотическое решение в форме (8) пригодно в области $-t\ll s\ll \sqrt t$. В промежуточном слое $1\ll s\ll \sqrt t$ разложения (8) и (15) асимптотически совпадают. 4. Внешнее разложениеАсимптотическое решение, которое будет пригодно при больших $s\approx\sqrt t$, строится с использованием “медленной” переменной $z$. Для упрощения конструкции выгодно произвести замену функции, выделив убывающие экспоненты:
$$
\begin{equation*}
\phi(s,t)=1+e^{-s}\,t^{1/2} e^{-z}\,u(z,t),\qquad z=\frac{s^2}{4t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение для $u(z,t)$ легко получается из (13) с учетом $\psi(s,t)=t^{1/2}e^{-z}u(z,t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z\frac{\partial^2u}{\partial z^2}{}&+ \biggl(\frac12-z\biggr)\frac{\partial u}{\partial z}- (c_0+1)u-t\frac{\partial u}{\partial t}=\biggl[\frac{c_1}{\sqrt t}+\frac{c_{2,1}}{t}\ln t+\frac{c_2}{t}+\frac{c_{3,1}}{t^{3/2}}\ln t+\cdots \biggr]u+{} \notag \\ &+\biggl[\frac{c_0}{\sqrt t}+\frac{c_1}{t}+\frac{c_{2,1}}{t^{3/2}}\ln t+\cdots\biggr]\sqrt z\biggl(u-\frac{\partial u}{\partial z}\biggr)+\mathcal{O}(e^{-\sqrt{zt}-z}t^{1/2}u^2),\quad z,t>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Нелинейности присутствуют здесь в остатках, которые будут экспоненциально малы, пока переменная $z$ не слишком мала: $z\gg t^{-1}$. Асимптотическое решение для уравнения (16) строится при дополнительном ограничении: требуется согласование с внутренним разложением в промежуточном слое (15). Это требование приводит к краевым условиям при $z\to0$. 4.1. АнзацРазложение в промежуточном слое (15) с учетом замены подсказывает структуру асимптотики при $t\to\infty$:
$$
\begin{equation}
u(z,t)=U_{0}(z)+t^{-1/2}U_1(z)+t^{-1}\ln t\,U_{2,1}(z) +t^{-1}U_{2}(z)+t^{-3/2}\ln t\,U_{3,1}(z)+\cdots\, .
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для коэффициентов при $t^{-n/2}\ln^kt$ получается рекуррентная система уравнений. Важно отметить, что степени логарифмов не отрицательны и растут, но при каждом $n$ ограничены $k\leqslant n/2$, как это видно из структуры уравнений (16). Поэтому асимптотика носит степенной характер. Главную роль теперь играет оператор Куммера
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}_{n}\equiv z\frac{d^2}{dz^2}+ (b-z)\frac{d}{dz}-a_n,\qquad z>0,\quad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором коэффициент $b=1/2$, а второй коэффициент зависит от константы $c_0$ и от номера приближения: $a_n=c_0+1-n/2$. На первых шагах получаются уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{K}_{n}U_{n}&\equiv z\frac{d^2U_{n}}{dz^2}+ \biggl(\frac12-z \biggr)\frac{dU_{n}}{dz}- \biggl(c_0+1-\frac{n}{2}\biggr)U_{n}=H_n(z),\quad n=0,1,2,\\ \mathcal{K}_{2}U_{2,1}&\equiv z\frac{d^2U_{2,1}}{dz^2}+ \biggl(\frac12-z \biggr)\frac{dU_{2,1}}{dz}- c_0U_{2,1}=H_{2,1}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
На исходном шаге уравнение будет однородным с $H_0(z)\equiv0$. На следующих шагах правые части определяются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1(z)&=c_1U_{0}+c_0\sqrt z\biggl(U_{0}-\frac{dU_{0}}{dz}\biggr),\qquad H_{2,1}=c_{2,1}U_{0}, \\ H_2(z)&=c_2U_{0}+U_{2,1}+c_1U_{1}+c_1\sqrt z\biggl(U_{0}-\frac{dU_{0}}{dz}\biggr)+c_0\sqrt z\biggl(U_{1}-\frac{dU_{1}}{dz}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неопределенные пока константы $c_n,c_{n,k}$ входят в правые части уравнений. Обратим внимание, что наличие логарифма в поправках не влияет на оператор Куммера в уравнениях для соответствующих коэффициентов $U_{n,k}$ с номерами $k\geqslant1$. Дифференциальные уравнения дополняются асимптотическими условиями из требования согласования:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U_0(z)=2\alpha\sqrt z+\mathcal{O}(z),\qquad U_1(z)=\beta+\mathcal{O}(z),\qquad U_2(z)=2c_0a_1\sqrt z+\mathcal{O}(z),\\ U_{n,1}(z)=\mathcal{O}(z^{3/2}),\quad n=2,3,\qquad z\to0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Фундаментальная система решенийДля однородного уравнения $\mathcal{K}_{n}\mathcal{M}=0$ пара решений зависит от номера $n$ и выписывается через известные функции Куммера $M(a,b,z)$, которые представимы сходящимися степенными рядами [16]:
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_1(z;n)=M\biggl(a_{n},\frac{1}{2},z\biggr),\quad \mathcal{M}_2(z;n)=\sqrt zM\biggl(a_{n}+\frac{1}{2},\frac{3}{2},z\biggr),\quad a_n=c_0+1-\frac{n}{2}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Таким образом, при $z\to0$ функция $\mathcal{M}_1(z;n)$ имеет разложение по целым степеням, а функция $\mathcal{M}_2(z;n)$ – по полуцелым степеням:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_1(z;n)=1+2a_nz+\mathcal{O}(z^2),\quad \mathcal{M}_2(z;n)=\sqrt z \biggl[1+\frac{2a_n+1}{3}z+\mathcal{O}(z^2) \biggr],\quad z\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотика функций Куммера при $z\to\infty$ существенно зависит от параметра $a$ и в общем случае имеет экспоненциальный рост [16]:
$$
\begin{equation}
M(a,b,z)=\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}z^{a-b} e^{z} [1 +\mathcal{O}(z^{-1}) ], \qquad z\to\infty,\quad a\neq-m.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Если число $a=-m$ целое, не положительное, то функция $M(-m,b,z)=P_m(z)$ будет полиномом степени $m$. При этом в экспоненциальной асимптотике (21) формально получается нулевой множитель из-за полюсов гамма-функции [16]. Для рассматриваемой пары решений вронскиан $W$ не зависит от параметра $a_n$ и выражается по формуле [16]
$$
\begin{equation*}
W[\mathcal{M}_1,\mathcal{M}_2]\equiv W(z)=\frac12 z^{-1/2} e^{z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Все предъявляемые ниже коэффициенты асимптотического решения (17) выражаются через базисные решения $\mathcal{M}_1(z;n)$, $\mathcal{M}_2(z;n)$, $n=0,1,2,\dots$, и интегралы от них. Из структуры этой фундаментальной системы решений видно, что первые два члена асимптотики в краевом условии (19) однозначно идентифицируют решение дифференциального уравнения второго порядка (18). Для неоднородного уравнения $\mathcal{K}_{n}U=H(z)$ используется частное решение
$$
\begin{equation*}
\widetilde U(z)= \mathcal{M}_2(z;n)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_1(\zeta;n)}{W(\zeta)}\frac{H(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;n)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_2(\zeta;n)}{W(\zeta)}\frac{H(\zeta)}{\zeta}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. При любом наборе констант $c_n$ и $c_{n,k}$ рекуррентная система уравнений (18) с условиями (19) разрешима однозначно. Детали доказательства приведены в работе [11]. Аналогично [11] из леммы вытекает следующее утверждение. Теорема 2. При любом наборе констант $c_n,c_{n,k}$ отрезок ряда (17) при $t\to\infty$ является асимптотическим решением равномерно по $z$ на любом отрезке: $t^{-1}\ll z\leqslant L$, $L=\mathrm{const}<\infty$. В промежуточном слое $t^{-1}\ll z\ll 1$ разложения (17) и (8) асимптотически совпадают. Доказательство асимптотического совпадения решений следует из единственности коэффициентов разложения в промежуточном слое [15]. Область пригодности асимптотического решения (17) можно расширить, сделав зависящим от $t$, если для коэффициентов в асимптотике при $z\to\infty$ учесть степень роста. Надо иметь в виду, что асимптотики функций $U_n(z)$ и $U_{n,k}(z)$ при $z\to\infty$ могут содержать растущую экспоненту $e^{z}$. Если экспоненциальный рост удастся исключить, то остается степенной рост $U_{n,k}(z)\approx z^{n/2}$, и область асимптотичности расширяется: $t^{-1}\ll z\ll t$ [7]. 5. Асимптотика скорости волныДля нахождения констант $c_n,c_{n,k},\dots $ в асимптотике скорости (6) предлагается использовать дополнительное условие на коэффициенты внешнего разложения (17) в виде требования отсутствия экспоненциального роста при $z\to\infty$. Помимо приведенных выше рассуждений, аргументы в пользу этого требования указаны в работе [7]. На этом пути однозначно определяются только константы, соответствующие универсальной части асимптотики. Константы с четными номерами $c_2,c_4,\dots$ остаются произвольными параметрами решения. Такой произвол соответствует неуниверсальной части асимптотики, которая зависит от начальных данных. Проблема связи начальных функций с этими константами в настоящей работе не рассматривается. 5.1. Вычисление $c_0$На исходном шаге $n=0$ решение однородного уравнения выписывается через одну из функций Куммера с учетом краевого условия (19):
$$
\begin{equation}
U_{0}(z)=2\alpha \mathcal{M}_2(z;0)\equiv 2\alpha \sqrt z M\biggl(c_0+\frac{3}{2},\frac{3}{2},z\biggr).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Дополнительное условие на функцию $U_{0}(z)$ – отсутствие экспоненциального роста при $z\to\infty$. Такое случается только в случае, когда число $c_0+3/2=-m$ целое, не положительное. В этом случае $\mathcal{M}_2(z;0)=\sqrt z\,P_m(z)$, где $P_m(z)$ – полином степени $m$. В частности, при $c_0=-3/2$ получается полином нулевой степени: $U_{0}(z)=2\alpha \sqrt {z}\ \Leftrightarrow\ c_0=-3/2.$ В качестве $c_0$ можно брать любое полуцелое отрицательные число $c_0=-3/2,-5/2,-7/2,\dots$ . Дальнейшая конструкция не зависит от конкретного выбора $c_0$. Требование отсутствия экспоненциального роста на бесконечности в старших поправках $U_{n,k}$ приводит к уравнениям на константы $c_{n,k}$, $n\geqslant1$, $k\geqslant0$, в форме $D_{n}c_{n,k}=A_{n,k}$. Хотя уравнения выглядят тривиально, но при четных номерах $n$ они неразрешимы, поскольку коэффициенты оказываются нулевыми, $D_{n}=0$, $n=2,4,\dots$, тогда как $A_{n,k}\neq0$ в общем случае. Этот факт является следствием ортогональности базисных решений, он был установлен в работе [11]. Доказательство этого свойства коротко воспроизводится ниже. 5.2. Свойства ортогональностиВ рассматриваемой серии уравнений Куммера при полуцелом $c_0\leqslant-3/2$ параметр $a_n=c_0+1-n/2$, $n=0,1,2,\dots$, может быть целым или полуцелым. Поэтому фундаментальная система решений $\mathcal{M}_{1}(z,n),\mathcal{M}_{2}(z,n)$ (20) обладает следующим свойством: при любом номере $n$ одна из этих функций выражается через полином:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \mathcal{M}_1(z;n)&=P_m(z),&\qquad -m&=a_n,&\quad &n \,\,\,\text{нечетное}, \\ \mathcal{M}_2(z;n)&=\sqrt z\, \widetilde P_m(z),&\qquad -m&=a_n+\frac{1}{2}, &\quad &n \,\,\text{ четное}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для пары гладких функций $u(z),v(z)$ определим cкалярное произведение через интеграл (если он сходится):
$$
\begin{equation}
\langle u(z),v(z) \rangle=\int_0^\infty\frac{u(z)v(z)}{zW(z)} \,dz,\qquad W(z)=\frac12 z^{-1/2} e^{z}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Лемма 2. Фундаментальная система решений для серии уравнений Куммера при разных номерах $i\neq j$ обладает следующим свойством: Доказательство. Для однородного уравнения Далее надо учесть выражение для вронскиана, которое дает $1/W(z)=2\sqrt z e^{-z}$ и асимптотику решений на краях промежутка $z>0$. В случае, когда функции $u(z;i)$ и $u(z,j)$ одного типа, выражение имеет нулевой предел при $z\to0$. В случае, когда функции $u(z;i),u(z;j)$ разного типа, то же выражение при $z\to0$ имеет предел $+1$ либо $-1$ в зависимости от того, какая из функций относится ко второму типу.Для рассматриваемых решений полиномиального типа выражение (25) в пределе на бесконечности дает нуль. Наконец, учитывая соотношение $a_i-a_j=(j-i)/2$, приходим к требуемым равенствам (24). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть пара гладких функций $u(z)$, $v(z)$ обладает следующим свойством: $u(0) \cdot v(0)=0$. Тогда имеет место равенство при условии сходимости интегралов. Доказательство. Требуемое соотношение получается из представления (23) интегрированием по частям: 5.3. Вычисление $c_1$На шаге $n=1$ для поправки $U_1(z)$ получается неоднородное уравнение Куммера с параметром $a_1=c_0+1/2$. Значение $a_1=-m$ оказывается целым отрицательным числом с $m\geqslant1$. Соответствующая фундаментальная система решений обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{M}_1(z;1)&=M\biggl(c_0+\frac{1}{2},\frac{1}{2},z\biggr)\equiv P_m(z)=1-2mz+\mathcal{O}(z^{2}), \\ \mathcal{M}_2(z;1)&=\sqrt zM\biggl(1+ c_0,\frac{3}{2},z\biggr)=\frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma(1+c_0)}z^{c_0} e^{z}[1+\mathcal{O}(z^{-1})],\quad z\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Частное решение неоднородного уравнения выписывается через интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde U_1(z)= \mathcal{M}_2(z;1)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_1(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;1)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_2(\zeta;1)H_1(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\, d\zeta, \\ H_1(z)=c_1U_{0}+c_0\sqrt z\biggl(U_{0}-\frac{dU_{0}}{dz}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $H_{1}(\zeta)=\mathcal{O}(1)$, $\zeta\to0$, то частное решение имеет асимптотику $\widetilde U_2(z)=\mathcal{O}(z)$, $z\to0$. Искомая функция $U_1(z)$ может включать еще решение однородного уравнения. Из сравнения с краевым условием (19) следует, что в рассматриваемом случае подходит только одно из двух решений, которое оказывается полиномом: $U_1(z)=\widetilde U_1(z)+\beta \mathcal{M}_1(z;1)$. Построенная функция $U_1(z)$ может экспоненциально расти на бесконечности из-за множителя $\mathcal{M}_2(z;1)$, который входит в выражение для $\widetilde U_1(z)$. Требование отсутствия экспоненциального роста в решении $U_1(z)$ приводит к необходимости обращения в нуль интеграла при $\mathcal{M}_2(z;1)$ в виде своеобразного условия ортогональности: Ввиду приведенной выше формулы для $H_1$ и выражения (22) для $U_0=2\alpha \mathcal{M}_2(z;0)$ это требование дает уравнение для константы $c_1$
$$
\begin{equation*}
c_1 \langle \mathcal{M}_2(z;0),\mathcal{M}_1(z;1) \rangle= c_0 \langle \mathcal{M}_1(z;1),\sqrt z[\mathcal{M}_2'(z;0)-\mathcal{M}_2(z;0)] \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь интеграл в левой части равен $-2$ в силу леммы 2. Интеграл в правой части можно упростить, используя лемму 3. В итоге получаем
$$
\begin{equation}
c_1= c_0\int_0^\infty \mathcal{M}_1'(z;1)\mathcal{M}_2(z;0) e^{-z}\,dz.
\end{equation}
\tag{27}
$$
С учетом выражения для $U_0(z)$ и формулы для вронскиана $W(z)$ первая поправка приводится к виду
$$
\begin{equation*}
U_1(z)=\beta \mathcal{M}_1(z;1)+4\alpha c_0 \widehat U_1(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat U_1(z)&= \mathcal{M}_2(z;1) \int_0^z {\mathcal{M}_1(\zeta;1)}\frac{\widehat H_1(\zeta)}{\sqrt\zeta} e^{-\zeta}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;1) \int_0^z {\mathcal{M}_2(\zeta;1)}\frac{\widehat H_1(\zeta)}{\sqrt\zeta} e^{-\zeta}\,d\zeta, \\ \widehat H_1(\zeta)&=\frac{c_1}{c_0}\mathcal{M}_2(\zeta;0)-\sqrt \zeta [\mathcal{M}_2'(\zeta;0)-\mathcal{M}_2(\zeta;0) ]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбор $c_1$ из (27) гарантирует для функции $\widehat U_1(z)$ степенную асимптотику на бесконечности. В частном случае при выборе $c_0=-3/2$ и с учетом $\mathcal{M}_1(\zeta;1)=1-2\zeta$, $ \mathcal{M}_2(\zeta;0)=\sqrt\zeta$ интеграл (27) вычисляется, и для $c_1$ получается известное значение В этом случае
$$
\begin{equation*}
\widehat H_1(\zeta)=-\sqrt\pi\sqrt \zeta -\frac12+\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
и интегральная часть первой поправки принимает вид
$$
\begin{equation*}
\widehat U_1(z)|_{c_0=-3/2}=- \int_0^z \biggl[\sqrt\pi +\frac{1}{2\sqrt\zeta}-\sqrt\zeta \biggr] [\mathcal{M}_2(z;1)\mathcal{M}_1(\zeta;1)- \mathcal{M}_1(z;1)\mathcal{M}_2(\zeta;1) ]e^{-\zeta}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
5.4. Вычисление поправки при логарифмеДля функции $U_{2,1}(z)$ получается неоднородное уравнение (18) с полуцелым значением параметра $a_2=c_0.$ Значение $a_2+1/2=1/2+c_0=-m$ оказывается целым отрицательным числом с $m\geqslant1$. Поэтому соответствующая фундаментальная система решений обладает свойствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{M}_1(z;2)&=M\biggl(c_0,\frac{1}{2},z\biggr)=\frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma(c_0)}z^{c_0-1/2} e^{z}[1+\mathcal{O}(z^{-1})],\qquad z\to\infty, \\ \mathcal{M}_2(z;2)&=\sqrt z M\biggl(c_0+\frac{1}{2},\frac{3}{2},z\biggr)\equiv\sqrt z\widetilde P_m(z)= \sqrt z\biggl[1-\frac23 mz+\mathcal{O}(z^{2})\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение неоднородного уравнения выписывается через интегралы:
$$
\begin{equation}
\widetilde U_{2,1}(z)= \mathcal{M}_2(z;2)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_1(\zeta;2)H_{2,1}(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;2)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_2(\zeta;2)H_{2,1}(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\, d\zeta.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
H_{2,1}(\zeta)=c_{2,1}U_{0}(\zeta)=c_{2,1}2\alpha \mathcal{M}_2(\zeta;0)= \mathcal{O}(\sqrt \zeta),\qquad \zeta\to0,
\end{equation*}
\notag
$$
то частное решение (28) имеет асимптотику $\widetilde U_2(z)=\mathcal{O}(z^{3/2})$, $z\to0$. Из сравнения с краевым условием (19) следует, что в рассматриваемом случае ни одно из базисных решений не подходит. Поэтому $U_{2,1}$ совпадает с частным решением (28). Запишем его в виде выделив множитель и представив оставшуюся часть через интегралы от базисных решений:
$$
\begin{equation}
\widehat U_{2,1}(z)= \mathcal{M}_2(z;2) \int_0^z \frac{\mathcal{M}_1(\zeta;2)\mathcal{M}_2(\zeta;0)}{2\zeta W(\zeta)}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;2) \int_0^z \frac{\mathcal{M}_2(\zeta;2)\mathcal{M}_2(\zeta;0)}{2\zeta W(\zeta)}\, d\zeta.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Хотя здесь функция $\mathcal{M}_1(z;2)$ перед вторым интегралом экспоненциально растет на бесконечности, полученное решение $U_{2,1}(z)$ не имеет экспоненциального роста ввиду свойства ортогональности $\langle \mathcal{M}_2(\zeta;2), \mathcal{M}_2(\zeta;0) \rangle=0$. В частном случае, когда выбрано $c_0=-3/2$, при котором $\mathcal{M}_2(\zeta;0)=\sqrt\zeta$, выражение (29) переписывается в виде
$$
\begin{equation*}
\widehat U_{2,1}(z)|_{c_0=-3/2}= \int_0^z[\mathcal{M}_2(z;2)\mathcal{M}_1(\zeta;2)- \mathcal{M}_1(z;2)\mathcal{M}_2(\zeta;2)] e^{-\zeta}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Константа $c_{2,1}$ остается неопределенной до следующего шага. 5.5. Вычисление $c_{2,1}$На следующем шаге из слагаемых при $t^{-1}$ для функции $U_{2}(z)$ получается неоднородное уравнение с тем же параметром $a_2=c_0$ и с теми же базисными решениями. Частное решение выписывается через интегралы:
$$
\begin{equation*}
\widetilde U_2(z)= \mathcal{M}_2(z;2)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_1(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\,d\zeta- \mathcal{M}_1(z;2)\int_0^z\frac{\mathcal{M}_2(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
H_2(z)=c_2U_{0}+U_{2,1}+c_1U_{1}+c_1\sqrt z\biggl(U_{0}-\frac{dU_{0}}{dz}\biggr)+c_0\sqrt z\biggl(U_{1}-\frac{dU_{1}}{dz}\biggr),
\end{equation}
\tag{30}
$$
подынтегральные функции имеют следующую асимптотику в нуле:
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathcal{M}_1(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}= \frac{1}{\sqrt\zeta}\mathcal{O}(1),\qquad \frac{\mathcal{M}_2(\zeta;2)H_2(\zeta)}{\zeta W(\zeta)}= \mathcal{O}(1),\qquad \zeta\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому частное решение имеет асимптотику $\widetilde U_2(z)=\mathcal{O}(z)$, $z\to0$. Искомая функция $U_2(z)$ может включать еще решение однородного уравнения. Из сравнения с краевым условием (19) следует, что в рассматриваемом случае можно использовать только одно из двух решений, которое выражается через полином $\mathcal{M}_2(z;2)=\sqrt z\widetilde P_m(z)$: Построенная таким образом функция $U_2(z)$ может экспоненциально расти на бесконечности из-за множителя $\mathcal{M}_1(z,2)$, который входит в выражение для частного решения $\widetilde U_2(z)$. Требование отсутствия экспоненциального роста в решении $U_2(z)$ приводит к условию ортогональности Ввиду формулы для правой части (30) и выражения для главного члена $U_0=2\alpha \mathcal{M}_2(\zeta;0)$, $U_{2,1}(z)=c_{2,1}4\alpha \widehat U_{2,1}(z)$ это требование дает уравнение для константы $c_{2,1}$. С учетом соотношения (26) уравнение принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_{2,1}4\alpha {}& \langle \mathcal{M}_2(z;2),\widehat U_{2,1}(z) \rangle+c_{1} \langle \mathcal{M}_2(z;2),U_{1}(z) \rangle+{} \notag \\ &+2c_1\int_0^\infty \mathcal{M}_2'(z;2) U_0(z) e^{-z}\,dz+2c_0\int_0^\infty \mathcal{M}_2'(z;2) U_1(z) e^{-z}\,dz=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Отметим, что константа $c_2$ в это соотношение не входит из-за свойства ортогональности. Как раз это обстоятельство вынуждает вводить в асимптотическое решение логарифм с коэффициентом $c_{2,1}$, чтобы исключить экспоненциальный рост в поправке $U_2(z)$. Подходящий выбор $c_{2,1}$ дает возможность исключить такой рост. Фактически в этом состоит основной результат настоящей работы. C учетом выражения для первой поправки $U_1(z)=\beta\mathcal{M}_1(z;1)+4\alpha c_0\widehat U_1(z)$ уравнение для константы $c_{2,1}$ приводится к виду Коэффициенты выписываются через интегралы от известных функций:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D&= \langle \mathcal{M}_2(z;2),\widehat U_{2,1}(z) \rangle, \\ A_0&=c_1 \int_0^\infty \mathcal{M}_2'(z;2) \mathcal{M}_2(z;0) e^{-z}\,dz, \\ A&=c_0c_1 \langle \mathcal{M}_2(z;2),\widehat U_{1}(z) \rangle+2c_0^2\int_0^\infty \mathcal{M}_2'(z;2)\widehat U_1(z) e^{-z}\,dz, \\ B&=c_1 \langle \mathcal{M}_2(z;2), \mathcal{M}_1(z;1) \rangle+2c_0\int_0^\infty \mathcal{M}_2'(z;2) \mathcal{M}_1(z;1) e^{-z}\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принципиальные вопросы о том, определяется ли константа $c_{2,1}$ из уравнения (32) и бывает ли она отлична от нуля, решаются анализом этих интегралов. Такой анализ проводится для случая $c_{0}=-3/2$, когда функции Куммера наиболее просты. Теорема 3. Если выбрано значение $c_0=-3/2$, то требование ортогональности (31) однозначно определяет отличную от нуля константу $c_{2,1}$. Доказательство 4. Базисные решения выражаются по формулам Часть интегралов от элементарных функций вычисляются точно. Доказательство. Один из интегралов в выражении для $B$ вычислен в лемме 2. Поскольку в рассматриваемом случае $c_1=-c_0\sqrt\pi$, то Таким образом, в частном случае при $c_{0}=-3/2$ уравнение (32) для константы $c_{2,1}$ принимает форму Здесь остаются два интеграла, которые с учетом $c_1=-c_0\sqrt\pi$ приводятся к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D&=2\int_0^\infty \biggl(1-\frac23 z \biggr)\widehat U_{2,1}(z) e^{-z}\,dz, \\ A&=\frac92\biggl[-\sqrt\pi\int_0^\infty \biggl(1-\frac23 z \biggr)\widehat U_{1}(z) e^{-z} \,dz+\int_0^\infty \biggl(\frac{1}{2\sqrt z}-\sqrt z \biggr) \widehat U_1(z) e^{-z}\,dz\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Фигурирующие здесь поправки $\widehat U_{2,1}(z)$, $\widehat U_{1}(z)$ не содержат экспоненциально растущих на бесконечности слагаемых, что обеспечивает сходимость интегралов. Эти функции выражаются через интегралы от неэлементарных функций Куммера:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat U_{2,1}={}& \int_0^z \biggl[\sqrt z\biggl(1-\frac23 z\biggr)M\biggl(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\zeta\biggr)- M\biggl(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},z\biggr)\sqrt \zeta\biggl(1-\frac23 \zeta\biggr) \biggr] e^{-\zeta}\, d\zeta, \\ \widehat U_1={}&-\int_0^z \biggl[\sqrt\pi +\frac{1}{2\sqrt\zeta}-\sqrt\zeta\biggr] \biggl[(1-2 \zeta)\sqrt zM\biggl(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},z\biggr)-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad- \sqrt \zeta M\biggl(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\zeta\biggr)(1-2z)\biggr] e^{-\zeta}\, d\zeta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге для коэффициентов $D,A$ получаются выражения через сходящиеся повторные интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D={}&2\int_0^\infty \int_0^z \biggl(1-\frac23 z \biggr) e^{-z-\zeta} \biggl[\sqrt z\biggl(1-\frac23 z\biggr)M\biggl(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\zeta\biggr)-{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad- M\biggl(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},z\biggr)\sqrt \zeta\biggl(1-\frac23 \zeta\biggr) \biggr]\, d\zeta\, dz, \\ A={}&\frac92\int_0^\infty \int_0^z \biggl[-\sqrt\pi\biggl(1-\frac23 z\biggr)+\biggl(\frac{1}{2\sqrt z}-\sqrt z\biggr) \biggr] e^{-z-\zeta} \biggl[\sqrt\pi +\frac{1}{2\sqrt\zeta}-\sqrt\zeta \biggr]\times{} \\ &\qquad\qquad\times \biggl[(1-2 \zeta)\sqrt zM\biggl(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},z\biggr)- \sqrt \zeta M\biggl(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\zeta\biggr)(1-2z) \biggr]\, d\zeta\, dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для их оценки используются численные методы. Приближенное вычисление с использованием пакета Математика дает значения Поскольку приближенные значения коэффициентов выходят далеко за погрешность вычислений, то оба коэффициента отличны от нуля. Из (33) получаем приближенное значение для искомой константы Теорема доказана. Анализ последующих поправок асимптотического решения (17) с целью исключения экспоненциального роста в старших порядках асимптотики приводит к определению констант $c_{3,1},c_3,c_{4,2},c_{4,1},\dots$ . При этом константы с четными номерами $c_2,c_4,\dots$ остаются произвольными параметрами решения в любом порядке. 6. ЗаключениеДля уравнения КПП (1) с двумя равновесиями построено асимптотическое решение (8), которое при $t\to\infty$ выходит на бегущую волну $\Phi_*(s)$, $s=x-S(t)$. Функция $\Phi_*(s)$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (2) при $v=v_*$ с условиями стабилизации к равновесиям (3). Скорость волны $S'(t)$ при $t\to\infty$ имеет асимптотику (6). Первые члены этой асимптотики описываются посредством констант $c_0,c_1,c_{2,1}$, которые определяются однозначно после выбора $c_0$. Такая же ситуация складывается для других уравнений, рассмотренных в работе [7], в которых асимптотические конструкции приводят к уравнению Куммера. Во всех случаях асимптотика для скорости волны [7] должна быть модифицирована путем добавления слагаемого с логарифмом согласно (6). Произвольность констант с четными номерами $c_2,c_4,\dots$ соответствует неоднозначности асимптотической конструкции в старших членах асимптотики. Выбор этих констант следует связывать с начальными данными в постановке задачи Коши, конкретизируя решение. Для уравнения КПП такая связь остается открытой проблемой, как и обоснование асимптотики с оценкой остатка. Отметим, что связь констант асимптотики с начальными данными известна для ряда уравнений, которые интегрируются методом обратной задачи рассеяния (см., например, [17], [18]). Однако для уравнения КПП и для других уравнений из работы [7] подход, использованный в [17], [18], не годится, поскольку отсутствует свойство такой интегрируемости. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kal25} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|