Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов

Изучаются случайные блуждания в гильбертовом пространстве $H$ и представления с их помощью решений задач Коши для дифференциальных уравнений, начальными условиями которых являются числовые функции на гильбертовом пространстве $H$. Построен конечно-аддитивный аналог меры Лебега – неотрицательная конечно-аддитивная мера $\lambda$, определенная на минимальном кольце подмножеств бесконечномерного гильбертова пространства $H$, содержащем все бесконечномерные прямоугольники, произведения длин сторон которых сходятся абсолютно, и являющаяся инвариантной относительно сдвигов и поворотов в гильбертовом пространстве $H$. Определено гильбертово пространство $\mathcal H$ классов эквивалентности комплекснозначных функций на пространстве $H$, квадратично-интегрируемых по инвариантной относительно сдвигов мере $\lambda$. С помощью усреднения операторов сдвига в пространстве $\mathcal H$ на случайные векторы пространства $H$, распределение которых задается однопараметрической полугруппой (относительно операции свертки) гауссовских мер на пространстве $H$, определяется однопараметрическая полугруппа сжимающих самосопряженных преобразований пространства $\mathcal H$, генератор которой назван оператором диффузии. Получено представление решений задачи Коши для уравнения Шредингера, гамильтонианом которого является оператор диффузии.