|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)
Предельные теоремы для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде
В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Аннотация:
Рассматривается ветвящийся процесс $Z(n)$, $n=0,1\ldots$ в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных производящих функций $f_0(s),f_1(s),\dots$ . Пусть $S_0=0$, $S_k=X_1+\dots+X_k$, $k\ge 1$, — сопровождающее случайное блуждание этого процесса, $X_i=\log f_{i-1}'(1)$, а $\tau(n)$ — самая левая точка, в которой достигается минимум блуждания $\{S_k\}_{k\ge 0}$ на интервале $[0,n]$. Обозначим $Z(k,n)$ число частиц, существовавших в ветвящемся процессе в момент времени $k\le n$ и имеющих ненулевое потомство в момент времени $n$. В предположении, что для сопровождающего случайного блуждания выполнено условие Спицера–Дони $\mathbf{P}\{S_n>0\}\to\rho\in(0,1)$, $n\to\infty$, показано (в рамках так называемого quenched approach), что для любого фиксированного $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ распределение случайной величины $Z(\tau(n)+m,n)$ при условии $Z(n)>0$ сходится при $n\to\infty$ к (случайному) дискретному распределению, являющемуся собственным с вероятностью 1. В случае же, когда $m=m(n)\to\infty$ при $n\to\infty$, для доказательства аналогичной условной предельной теоремы о распределении случайной величины $Z(\tau(n)+m,n)$ при условии $Z(n)>0$ необходимо нормировать $Z(\tau(n)+m,n)$ некоторой функцией, стремящейся к бесконечности с ростом $m$.
Ключевые слова:
ветвящиеся процессы в случайной среде, условие Спицера–Дони, условные предельные теоремы, редуцированные процессы, ближайший общий предок.
Поступила в редакцию: 27.03.2006
Образец цитирования:
В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Предельные теоремы для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде”, Теория вероятн. и ее примен., 52:2 (2007), 271–300; Theory Probab. Appl., 52:2 (2008), 277–302
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tvp173https://doi.org/10.4213/tvp173 https://www.mathnet.ru/rus/tvp/v52/i2/p271
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 542 | PDF полного текста: | 166 | Список литературы: | 72 |
|