Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets

Ю. M. Кабанов и Д. О. Крамков ввели понятие “больших финансовых рынков”. Вместо того, чтобы рассматривать – как это обычно делается в финансовой математике – некоторый случайный процесс $S$ цен акций, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t\in I},\mathbf{P})$ они рассматривали последовательность $(S^n)_{n\ge1}$ таких процессов, заданную на последовательности $(\Omega^n,\mathscr{F}^n, (\mathcal{F}_t^n)_{t\in I^n},\mathbf{P}^n)_{n\ge1}$ фильтрованных вероятностных пространств. Такая модель оправдывается тем, что инвестор может делать вклады не на одной, а на нескольких фондовых биржах (в модели Кабанова и Крамкова – на счетном числе).
Привычное понятие арбитража тогда можно интерпретировать с помощью понятий асимптотического арбитража, где важно различать между собой два рода асимптотического арбитража, введенные Кабановым и Крамковым. В случае, когда для каждого $n\in\mathbf{N}$ рынок полон (т.е. существует единственная “локально мартингальная” мера $Q^n$ для процесса $S^n$ на $\mathcal{F}^n$, эквивалентная $\mathbf{P}^n$), Кабанов и Крамков показали, что контигуальность $(\mathbf{P}^n)_{n\ge1}$ относительно $(Q^n)_{n\ge1}$(соответственно, наоборот) эквивалентна отсутствию асимптотического арбитража первого (соответственно, второго) рода.
В настоящей статье мы распространяем этот результат на случай неполного рынка, когда для каждого $n\in\mathbf{N}$ множество эквивалентных локально мартингальных мер непусто, но не обязательно одноэлементно. Возникает вопрос, можно ли перенести на этот случай теорему Кабанова и Крамкова, выбирая подходящую последовательность $(Q^n)_{n\ge1}$ эквивалентных локально мартингальных мер.
Оказывается, что в части, характеризующей асимптотический арбитраж первого рода, теорема может быть непосредственно перенесена на этот случай, однако в части, характеризующей асимптотический арбитраж второго рода, необходимы некоторые изменения. Мы также строим пример, показывающий, что этих изменений нельзя избежать.