О максимуме простого случайного блуждания

Пусть $S_0=0$, $S_n=\xi_1+\xi_2+\dots+\xi_n$, $n\ge 1$, – простое случайное блуждание, порожденное последовательностью независимых случайных величин $\xi_i$, $i=1,2,\dots,\mathbf{P}\{\xi_i=1\}=1-\mathbf{P}\{\xi_i=-1\}=\frac12$, а $T$ – момент первого возвращения $S_n$ в состояние 0. В заметке найдено правильное по порядку асимптотическое представление для вероятности $\mathbf{P}\{\max_{0<k<T}|S_k|>n\mid T=2N\}$ в случае, когда $n^2N^{-1}\to\infty$, а $nN^{-1}\le a<1$. Полученные результаты применяются для исследования асимптотики умеренных и больших уклонений высоты случайного плоского дерева с $N$ вершинами и висячим корнем.