| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Условная функциональная предельная теорема для случайной рекуррентной последовательности при условии совершения ею большого уклонения А. В. Шкляев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991775 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеРассмотрим случайную последовательность, заданную соотношением где $A_k$, $k\geqslant 0$, — положительные величины, причем при любом целом неотрицательном $k$ вектор $(Y_0,A_0,A_1,\dots,A_k,B_0,B_1,\dots,B_k)$ не зависит от последовательности $(A_{j},\, j\geqslant k+1)$. Наиболее досконально изучен случай, когда $(A_k,B_k)$, $k\geqslant 0$, представляют собой последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных векторов (см., например, [1]). Классическими в этой области являются работы [2] и [3]. Такого рода последовательности играют большую роль, например, в теории ветвящихся случайных блужданий (см. [4]) и в множестве других областей. Отказ от одинаковой распределенности $B_i$ и независимости их друг от друга позволяет значительно расширить спектр последовательностей, допускающих представление (1). В частности, такого рода представление позволило исследовать поведение ветвящихся процессов в случайной среде (см. [5], [6]) и ветвящихся процессов в случайной среде с иммиграцией (см. [6]). В указанных выше работах соотношение (1) использовалось для получения точной асимптотики вероятностей больших уклонений
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\ln Z_n\in [x,x+\Delta_n)),\quad \mathbf{P}(\ln Z_n\geqslant x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_n$ — ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС), $x/n\in (\mu^*,m^+)$, $\mu^*$, $m^+$ — некоторые параметры, зависящие от распределения шагов сопровождающего блуждания для ВПСС $Z_n$, $\Delta_n$ — некоторая последовательность, стремящаяся к нулю. Отметим также работу [7], в которой большие уклонения ВПСС исследовались с несколько других позиций. При этом большие уклонения последовательности $\{Y_n,\, n\geqslant 0\}$ напрямую связаны с большими уклонениями случайного блуждания $S_n$ с шагами $\xi_{i+1}=\ln A_i$, $i\geqslant 0$ (см. [8]), которое мы будем называть сопровождающим последовательность $\{Y_n,\, n\geqslant 0\}$. В данной работе такая связь изучается более подробно. Исследуется вопрос, насколько траектории $\{\ln Y_i,\, i\leqslant n\}$ и $\{S_i,\, i\leqslant n\}$ могут отличаться при условии совершения $Y_n$ большого уклонения в интегральной форме ($\ln Y_n\geqslant x$) или интегро-локальной форме ($\ln Y_n\in [x,x+\Delta_n)$). Здесь $\Delta_n$ — некоторая ограниченная последовательность, отделенная от нуля некоторой стремящейся к нулю последовательностью. Более конкретно, мы будем говорить, что некоторое утверждение верно для всех умеренно изменяющихся последовательностей $\Delta_n$, если существует такая последовательность $\widetilde{\Delta}_n$, что для любой положительной константы $c$ и любой последовательности $\Delta_n$, для которой $\widetilde{\Delta}_n<\Delta_n<c$ при $n\in \mathbf{N}$, верно наше утверждение. При этом мы не будем указывать явный вид $\widetilde{\Delta}_n$, а лишь будем утверждать, что она существует. Аналогичным образом, будем говорить, что утверждение верно при всех достаточно медленно стремящихся к нулю последовательностях $\Delta_n$, если оно верно при $\widetilde{\Delta}_n<\Delta_n$, $n\in \mathbf{N}$, и $\Delta_n\to 0$, $n\to\infty$. Описываемый нами в данной работе эффект по существу заключается в том, что при условии совершения $Y_n$ большого уклонения, траектория процесса $\{\ln Y_i-S_i,\, i\leqslant n\}$ с течением времени все меньше осциллирует. Для описания такого рода явления мы будем рассматривать участок $i\in [k_n,n]$, где $k_n\leqslant n$ — некоторая последовательность, на которую мы будем накладывать техническое условие $k_n/\ln n\to+\infty$, $n\to\infty$. В качестве характеристики отклонения траекторий будем использовать размах последовательности $\{\ln^* Y_j - S_j\}$ на отрезке $[k_n,n]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max_{k_n\leqslant i<j\leqslant n}|D_{i,j}| &=\sup_{j\in [k_n,n]} (\ln^*Y_j - S_j) - \inf_{j\in [k_n,n]} (\ln^* Y_j-S_j), \\ D_{i,j}&=\ln^* Y_j - \ln^* Y_i - S_j + S_i, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где под $\ln^* x$ мы понимаем обычный $\ln x$, доопределенный значением $-\infty$ при неположительных аргументах. Соответственно мы считаем, что если хотя бы одна из величин $Y_j$ при $j\in [k_n,n]$ не положительна, то описанный выше максимум равен $+\infty$. В разделе 3 показано, что при всех умеренно изменяющихся последовательностях $\Delta_n$ для любого $t>0$ найдется такое положительное $c$, что при всех натуральных $n$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}\Bigl(\max_{k_n\leqslant i<j\leqslant n}|D_{i,j}|\geqslant r_n\Bigm|\ln^+ Y_n\in [x,x+\Delta_n)\Bigr)\leqslant c n^{-t}, \\ \mathbf{P}\Bigl(\max_{k_n\leqslant i<j\leqslant n}|D_{i,j}|\geqslant r_n\Bigm|\ln^+ Y_n\geqslant x\Bigr)\leqslant c n^{-t}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x/n\in [\theta_1,\theta_2]\subseteq (\mu^*, m^+)$, $\ln^+ x$ — положительная часть логарифма, т.е. $\ln x$ при $x>1$ и $\ln^+ x=0$ при $x\leqslant 1$. Здесь $r_n$ — некоторая последовательность, удовлетворяющая свойству
$$
\begin{equation*}
\liminf \frac{\ln r_n}{k_n}\geqslant 0,\qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, в качестве $r_n$ может быть выбрана последовательность $n^{-\alpha}$ при любом $\alpha\in\mathbf{R}^+$. Однако с ростом $k_n$ мы можем ослаблять ограничения на $r_n$, что соответствует описанному выше эффекту уменьшения осцилляции траектории. Отметим, что по существу исследуемое событие состоит из двух частей: события, что какое-то из $Y_j$ оказалось не выше нуля и события $\{\max_{k_n\leqslant i<j\leqslant n}|D_{i,j}|\geqslant r_n\}$, когда $Y_j$ положительны (в таком случае можно использовать натуральные логарифмы взамен $\ln^*$). Однако с точки зрения доказательства удобнее использовать терминологию $\ln^*$, не разбивая исследование на два случая. В разделе 4 мы получаем с помощью предыдущего результата функциональную условную предельную теорему. Положим $U_n(t)=(\ln^+Y_{[nt]}-xt)/(\sigma(h_{x/n})\sqrt{n})$, $t\in [0,1]$. В работе показано, что если рассматривать траектории $\{U_n(t),\, t\in [0,1]\}$ в пространстве $D[0,1]$ непрерывных справа функций, имеющих в каждой точке предел слева, то распределение процесса $\{U_n(t),\, t\in [0,1]\}$ при условии совершения траекторией большого уклонения $\ln^+ Y_n\in [x,x+\Delta_n)$ $C$-сходится к распределению процесса броуновского моста. Аналогичные результаты получены при условии большого уклонения в форме $\ln^+Y_n>x$. Здесь $x/n$ как и прежде рассматривается в диапазоне $(\mu^*, m^+)$. В разделе 5 описанные результаты применяются к частному случаю ветвящихся процессов в случайной среде (ВПСС). Отметим, что прежде ряд результатов об отклонениях ВПСС от его сопровождающего блуждания был получен в работе [9]. 2. Предварительные сведенияПусть $\boldsymbol\xi =(\xi_i,\, i>0)$ — последовательность н.о.р. невырожденных случайных величин c конечным средним $\mu:=\mathbf{E}\xi$, заданных на общем вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$, где $\xi$ — общее обозначение для величин с тем же распределением, что $\xi_1$. Предположим также, что выполнено условие Крамера $R(h)\,{:=}\,\mathbf{E} e^{h\xi}\,{<}\,\infty$, $h\in [0,h^+)$. При $h\in (0,h^+)$ положим
$$
\begin{equation*}
m(h):=(\ln R(h))',\quad \sigma^{2}(h):=m'(h)>0,\quad m^+:=\lim_{h\to h^+-0}m(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $m(h)$ непрерывна и монотонно возрастает при $h\in[0,h^+)$ и $m(0)=\mu$. Поэтому для любого $\theta\in[\mu,m^+)$ найдется такое $h_{\theta}\in[0,h^+)$, что $m(h_{\theta})=\theta$. Отметим, что $\sigma^2(h)$ также непрерывна на $(0,h^+)$ и $\sigma^2(0) =\mathbf{D}\xi$, если $\mathbf{D}\xi<\infty$. Введем функцию уклонений $\Lambda(\theta)=\theta h_{\theta}-\ln R(h_{\theta})$. При этом
$$
\begin{equation}
\Lambda'(\theta) = h_{\theta},\quad \Lambda''(\theta) = \frac{1}{\sigma^2(h_{\theta})},\quad \Lambda(\mu) =0,\quad \Lambda'(\mu)=0,\quad \Lambda''(\mu) = \frac{1}{\mathbf{D}\xi}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Введем для величин $\xi$, удовлетворяющих условию Крамера, величины $\xi^{(h)}$ с сопряженным распределением, задавая их соотношением
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\xi^{(h)}\in A) = R(h)^{-1} \int_{A} e^{hx}\, \mathbf{P}(\xi\in dx),\qquad h\in [0,h^+).
\end{equation*}
\notag
$$
Под $(\xi_1^{(h)},\dots, \xi_n^{(h)},\dots)$ при этом будем понимать последовательность н.о.р. величин с таким распределением. Введем на $\mathcal{F}$ меру
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}^{(h)}(A) = \mathbf{E}f_{A}\bigl(\xi_1^{(h)},\dots, \xi_n^{(h)},\dots\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $f_{A}(\,{\cdot}\,)$ задается соотношением
$$
\begin{equation*}
f_{A}(x_1,\dots,x_n,\dots) = \mathbf{P}(A\,|\, \xi_1=x_1,\dots, \xi_n=x_n,\dots)
\end{equation*}
\notag
$$
при п.в. $x_i$ относительно меры $\mathbf{P}_{\xi}$. Нам понадобится следующее утверждение. Лемма 1 (см. [11; тeорема 2.2.1]). Пусть н.о.р. нерешетчатые величины $\xi$ с конечной дисперсией удовлетворяют условию Крамера $R(h)< +\infty$ при $h\in [0,h^+)$. Тогда при всех достаточно медленно стремящихся к нулю последовательностях $\Delta_n$ и всех $h\in [0,h^+)$ выполнено соотношение причем $o(1)$ равномерно мало по $x\in\mathbf{R}$ и $h$ из любого подкомпакта $[0,h^+)$. Стоит отметить, что при рассмотрении подкомпактов из $(0,h^+)$ конечность дисперсии распределения не требуется. Нам также будет полезно следующее неравенство, справедливое при всех $x\in\mathbf{R}$, положительных $\Delta$ и $h\in [0,h^+)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(S_n\in [x,x+\Delta)) &= R(h)^n \int_{x}^{x+\Delta} e^{-h u}\, \mathbf{P}\bigl(S_n^{(h)}\in du\bigr) \nonumber \\ &\leqslant R(h)^n e^{-h x} \, \mathbf{P}\bigl(S^{(h)}_n\in [x,x+\Delta)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Пусть где $A_k$ — н.о.р. положительные невырожденные величины. Отметим, что при этом при любых $k\leqslant n$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
Y_{n+1} =Y_k \prod_{j=k}^n A_j + \sum_{i=k}^n B_i \prod_{j=i+1}^n A_j .
\end{equation}
\tag{4}
$$
Положим $\xi_{k+1}= \ln A_k$ и предположим, что $\mu = \mathbf{E}\xi$ и $m^*=\max(0,\mu)$. Положим $S_n =\xi_1+\dots+\xi_n$. Будем использовать краткое обозначение $\mathbf{E}(X;A)$ для величины $\mathbf{E}XI_A$, где $X$ — некоторая случайная величина, а $A$ — некоторое событие. Пусть $0\leqslant \widetilde{h}^-<\widetilde{h}^+$ — некоторые параметры. Введем следующие условия: (A1) при любом $k\geqslant 0$ вектор $(Y_0,A_0,\dots,A_k,B_0,\dots,B_k)$ не зависит от последовательности $(A_{k+2},\dots)$; (A2) величины $\xi_{k+1}=\ln A_k$ невырождены, нерешетчаты, имеют конечное математическое ожидание $\mathbf{E}\xi = \mu$ и удовлетворяют правостороннему условию Крамера
$$
\begin{equation*}
R(h)=\mathbf{E}e^{h \xi} < \infty,\qquad h\in [0,h^+),
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором таком $h^+$, что $\widetilde{h}^+<h^+$, при $\widetilde{h}^-=0$ будем также требовать конечность дисперсии $\xi$; (A3) величина $Y_0$ такова, что $\mathbf{E}|Y_0|^h<\infty$, $h\in [0,\widetilde{h}^+]$; (A4) при любом $h\in [\widetilde{h}^-,\widetilde{h}^+]$ найдется такое $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty} \mathbf{P}^{(h)}(Y_n\geqslant \delta \exp S_n) > 0;
\end{equation*}
\notag
$$
(A5) при некоторых $c$, $\delta>0$, всех $k>0$ и всех $h\in [\widetilde{h}^-,\widetilde{h}^+]$ выполнено неравенство В случае $\widetilde{h}^-=0$ введем также условия (А6), (А7): (A6) при любом $\varepsilon>0$ найдутся такие $l$, $I>0$, что при любой последовательности $t_n\to 0+0$ и всех $k>l$
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty} \bigl|\mathbf{E}^{(t_n)}(Y_k^+ e^{-S_k})^{t_n} - I\bigr|<\varepsilon;
\end{equation*}
\notag
$$
(A7) при некотором $\widetilde{\delta}\in (0,1/2)$ и любом $\varepsilon>0$ найдется такое $l$, что при любой последовательности $t_n\to 0+0$ и всех $k>l$
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty} \mathbf{E}^{(t_n)}\bigl((Y_k^+ e^{-S_k})^{t_n}; |{\ln Y_k - m(t_n) k}|> k^{1/2+\widetilde{\delta}}\bigr)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 (см. [8]) . Пусть $m^*<\theta_1<\theta_2$. Предположим, что при $\widetilde{h}^- = h_{\theta_1}$, $\widetilde{h}^+=h_{\theta_2}$ выполнены условия (А1)–(А5). Тогда при $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$ соотношение Утверждение 1. В теореме 1 последовательность $\Delta_n$ предполагается стремящейся к нулю. В случае произвольной умеренно изменяющейся последовательности верно аналогичное утверждение: Доказательство. Второе утверждение доказано в [8], а первое — напрямую вытекает из теоремы 1. Действительно, пусть $\widetilde{\Delta}_n$ — последовательность из определения достаточно медленно стремящейся к нулю последовательности, для которой верна теорема 1. Положим $\widehat{\Delta}_n = \Delta_n/M_n$, где $M_n$ — такая целочисленная последовательность, что $\widehat{\Delta}_n\in(\widetilde{\Delta}_n, 2\widetilde{\Delta}_n)$. Тогда при $\Delta_n>2\widetilde{\Delta}_n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(\ln Y_n\in [x,x+\Delta_n)) = \sum_{i=0}^{M_n-1} \mathbf{P}(\ln Y_n\in [x+i\widehat{\Delta}_n, x+(i+1)\widehat{\Delta}_n)) \\ &\qquad=(1+o(1)) \frac{I_Y(x/n) \widehat{\Delta}_n}{\sqrt{2\pi n}\sigma(h_{x/n})} \sum_{i=0}^{M_n-1} \exp\biggl(-\Lambda\biggl(\frac xn\biggr)n + h_{x/n} i \widetilde{\Delta}_n\biggr) \\ &\qquad=(1+o(1)) \frac{I_Y(x/n) \widehat{\Delta}_n}{\sqrt{2\pi n}\sigma(h_{x/n})} \exp\biggl(-\Lambda\biggl(\frac xn\biggr) n\biggr) \frac{e^{h_{x/n}M_n \widehat{\Delta}_n}-1}{e^{h_{x/n} \widehat{\Delta}_n}-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует требуемое утверждение. Здесь мы воспользовались разложением функции $\Lambda$ по формуле Тейлора: при $n\to\infty$ и $i\widetilde{\Delta}_n<c$. Утверждение доказано. Замечание 1 (см. [8]). Пусть $0<\mu<\theta_2$ и при $\widetilde{h}^- = 0$, $\widetilde{h}^+=h_{\theta_2}$ выполнены условия (А1)–(А7). Тогда в теореме 1 можно рассматривать $\theta_1=\mu$, т.е. включить в рассматриваемый диапазон нормальные и умеренные уклонения. Замечание 2. В силу тех же рассуждений, что и прежде, при выполнении условий замечания 1 справедливо соотношение (5), где $I(0;\Delta_n):=1$. Ниже мы будем рассматривать сходимость в пространстве $L^h$ случайных величин для которых $\mathbf{E}|X|^h<+\infty$, $h>0$. При этом мы считаем, что при $h\geqslant 1$ пространство снабжено нормой $(\mathbf{E}|X|^h)^{1/h}$, а при $h\in (0,1)$ — метрикой $\mathbf{E}|X|^h$. 3. Близость рекуррентной последовательности и ее сопровождающего блужданияВведем некоторые обозначения: – пусть $r_n$, $k_n$ — последовательности положительных чисел, удовлетворяющие следующим соотношениям:
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to\infty} \frac{\ln r_n}{k_n}\geqslant 0,\quad \lim_{n\to\infty} \frac{k_n}{\ln n}=+\infty,\qquad n\to\infty;
\end{equation}
\tag{8}
$$
– будем использовать обозначение $\ln^* x$ для функции со значениями в расширенной прямой $\mathbf{R}\cup\{+\infty\}$, сопоставляющей положительным $x$ значение $\ln x$, а неположительным — значение $-\infty$; – положим
$$
\begin{equation*}
D_{i,j} = \begin{cases} \ln Y_j - S_j - \ln Y_i + S_i, &Y_j, Y_i > 0, \\ +\infty, &Y_i \leqslant 0 \text{ или } Y_j\leqslant 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, чтобы не загромождать рассуждения, мы будем использовать переменную $c$ (с индексами и без) для обозначения некоторой постоянной величины, не предполагая ее одной и той же в различных формулах. Теорема 2. Пусть $m^*<\theta_1<\theta_2<m^+$, $Y_n$ — п.н. неотрицательная рекуррентная последовательность, при $\widetilde{h}^-=h_{\theta_1}$, $\widetilde{h}^+=h_{\theta_2}$ удовлетворяющая условиям (A1)–(A5). Тогда найдется такое $c$ (зависящее от $\theta_1$, $\theta_2$), что при всех $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$, любом положительном $t$, всех умеренно изменяющихся последовательностях $\Delta_n$ и всех достаточно больших $n$ Здесь в случае, если какая-то из величин $D_{i,j}$ равна $+\infty$, мы подразумеваем, что событие
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{\sup_{k_n\leqslant i< j\leqslant n} |D_{i,j}|> r_n\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
автоматически выполнено. Иначе говоря, событие в левой части (9) включает в себя две составляющих — первая соответствует тому, что хотя бы один из $Y_j$ при $k_n\leqslant j\leqslant n$ оказался неположительным, а вторая — тому, что все указанные $Y_j$ положительны и выполнено требуемое неравенство. Доказательство. Будем считать, что $r_n\leqslant 1/n$, поскольку последовательность $1/n$ удовлетворяет первому соотношению в (8). В противном случае положим $r_n=1/n$, отчего вероятность в левой части (9) лишь увеличится.
Для краткости обозначений положим $k=k_n$. Пользуясь определением умеренно изменяющейся последовательности, будем считать, что $\Delta_n>1/n$ при всех $n>0$. Пусть
$$
\begin{equation}
P_n =\frac{\Delta_n}{\sqrt{n}} \exp\biggl(-\Lambda\biggl(\frac{x}{n}\biggr) n\biggr).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Фиксируем последовательность $\{d_n=n^{-2},\, n>0\}$. Введем события
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_n =\{\ln^*Y_n\in [x,x+\Delta_n)\},\quad A_{k,n} =\Bigl\{ \sup_{k\leqslant j\leqslant n} |D_{k,j}|> r_n\Bigr\}, \\ J_{k,n}=\biggl\{\sum_{i=k}^n |B_{i-1}| e^{S_n-S_i}< d_n \exp(x)\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно показать, что $\mathbf{P}(A_{k,n}, F_n)\leqslant c n^{-t} P_n$ при любых $t$, любых рассматриваемых $k$, $r_n$ и всех $n$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(A_{k,n}, F_n)\leqslant \mathbf{P}(A_{k,n}, J_{k,n}, F_n)+\mathbf{P}(\overline{J_{k,n}}).
\end{equation}
\tag{11}
$$
При этом второе слагаемое в (11) при любом $h\in [h_{\theta_1},h_{\theta_2}]$ оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation}
\sum_{i=k}^n \mathbf{P}\biggl(|B_{i-1}| e^{S_n-S_i}\geqslant d_n \frac{\exp(x)}{n}\biggr)\leqslant \sum_{i=k}^n \mathbf{E}|B_{i-1}|^h R(h)^{n-i} d_n^{-h} \exp(-hx) n^h.
\end{equation}
\tag{12}
$$
При $h=h_{x/n}$ правая часть (12) в силу условия (А5), определения $d_n$ и условия $\Delta_n>1/n$ оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation*}
c P_n \,\frac{n^{h_{x/n}+0.5} d_n^{-h_{x/n}}}{\Delta_n} \, \frac{e^{-\delta h_{x/n} k}}{1 - e^{-\delta h_{x/n}}}\leqslant c P_n n^{3h_{\theta_2}+1.5} \frac{e^{-\delta h_{\theta_1} k}}{1 - e^{-\delta h_{\theta_1}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия (8) при любом $t>0$ и $\delta>0$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\frac{n^{h_{x/n}+0.5} d_n^{-h_{x/n}}}{\Delta_n} \, \frac{e^{-\delta h_{x/n} k}}{1 - e^{-\delta h_{x/n}}} \leqslant c_1 e^{(3 h_{\theta_2}+1.5) \ln n - \delta h_{\theta_1} k} \leqslant c_2 n^{-t},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $c_2$ можно выбрать не зависящим от $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$. Следовательно, второе слагаемое в (11) оценивается сверху величиной $c_2 n^{-t} P_n$ при всех $n$.
Фиксируем $y\in (0,1)$, положим $y_i = (1-y) r_n y^{i-k}$ при $i\leqslant n$,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{F}_{n,i,x}=\{\ln^*Y_i+S_n- S_i>x\},\quad \widetilde{A}_{i,u} = \{|D_{i,i+1}|>u\},\qquad u>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем соотношение (4) в виде
$$
\begin{equation*}
Y_n = Y_i e^{S_n - S_i} + \sum_{j=i+1}^n B_j e^{S_n - S_j}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $i\leqslant n$, откуда
$$
\begin{equation*}
J_{k,n}\cap F_n \subseteq \{Y_i e^{S_n - S_i}> (1-d_n) e^{x}\}=\widetilde{F}_{n,i,x+\ln (1-d_n)}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\leqslant i\leqslant n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
J_{k,n}\cap F_n \subseteq \bigcap_{k\leqslant i \leqslant n} \widetilde{F}_{n,i,x+\ln(1-d_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что откуда вытекает соотношение
$$
\begin{equation*}
A_{k,n}\subseteq \{\exists\, i\geqslant k\colon |D_{i,i+1}|>y_i\} =\bigcup_{i=k}^n\widetilde{A}_{i,y_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, первое слагаемое в (11) оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(A_{k,n},J_{k,n}, F_n)\leqslant \sum_{i=k}^n \mathbf{P}\bigl(\widetilde{A}_{i,y_i}, \widetilde{F}_{n,i, x + \ln(1-d_n)}\bigr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Для оценки правой части неравенства (13) используем лемму 2.
Лемма 2. При некотором положительном $\delta$, любом положительном $y$, любом вещественном $x$ и всех $h\in [h_{\theta_1}, h_{\theta_2}]$ верно неравенство где $\widetilde{y}= 1-e^{-y}$. Доказательство. Заметим, что при любых положительных $a_1$, $a_2$, $a_3$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\{\biggl|\ln \frac{a_1}{a_2}\biggr| > a_3\biggr\} &= \biggl\{\frac{a_1}{a_2}>e^{a_3}\biggr\} \cup\biggl\{\frac{a_1}{a_2}<e^{-a_3}\biggr\} \\ &\subseteq \biggl\{\biggl|\frac{a_1-a_2}{a_2}\biggr|>\min(e^{a_3}-1, 1-e^{-a_3})\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом минимум в правой части полученного выражения всегда равен $1-e^{-a_3}$. Следовательно, $\widetilde{A}_{i,y}$ вложено в
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\bigl|Y_{i+1} - Y_i e^{\xi_{i+1}}\bigr| > \widetilde{y}\, Y_i e^{\xi_{i+1}}\bigr\}=\bigl\{|B_i| >\widetilde{y}\, Y_i e^{\xi_{i+1}}\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\bigl(\widetilde{A}_{i,y}, \widetilde{F}_{n,i,x}\bigr)\leqslant \int_{\mathbf{R}} \int_{\mathbf{R}^+} \mathbf{P}(Y_i\in dv) \, \mathbf{P}(\xi_{i+1}\in du) \\ &\qquad \times \mathbf{P}(|B_i|>\widetilde{y} v e^{u}\,|\, Y_i = v,\, \xi_{i+1}=u) \, \mathbf{P}(S_n - S_{i+1}>x- \ln v - u). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства Маркова при всех $h> 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}(S_n - S_{i+1}>x- \ln v - u)\leqslant R(h)^{n-i-1} e^{-hx} e^{hu} v^h, \\ \mathbf{P}(|B_i|>\widetilde{y} v e^{u}\,|\, Y_i=v,\, \xi_{i+1}=u) \leqslant \frac{\mathbf{E}(|B_i|^h\,|\, Y_i=v,\, \xi_{i+1}=u)}{(\widetilde{y} ve^{u})^h}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, что и требовалось доказать. Отметим, что $y_i\leqslant r_n\leqslant 1/n$, откуда $1-\exp(-y_i)\geqslant y_i/2$ при всех достаточно больших $n$. Применяя к правой части соотношения (13) лемму 2 с $h=h_{x/n}$, имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(A_{k,n},J_{k,n}, F_n) &\leqslant c_1 e^{-\Lambda(x/n)n} \biggl(\frac{(1-y)r_n}2\biggr)^{-h_{x/n}} \\ &\qquad\times (1-d_n)^{-h_{x/n}} \sum_{i=k}^n e^{-\delta_2 h_{x/n} i} y^{-h_{x/n}(i-k)} \\ &\leqslant c_2 e^{-\Lambda(x/n) n} e^{-\delta_2 h_{x/n} k} \frac{((1-y)r_n)^{-h_{x/n}}}{1-(y e^{\delta_2})^{-h_{x/n}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $y$ таким образом, что $y e^{\delta_2}>1$, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(A_{k,n}, J_{k,n}, F_n) \leqslant c \Delta_n^{-1} r_n^{-h_{x/n}} \sqrt{n}\, e^{-\delta_2 h_{\theta_1} k} P_n.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия (8) при всех достаточно медленно стремящихся к нулю последовательностях $\Delta_n$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\Delta_n^{-1} r_n^{-h_{x/n}} \sqrt{n}\, e^{-\delta_2 h_{x/n} k} \leqslant \exp\biggl(-\ln \Delta_n + \frac12 \ln n - h_{\theta_1} k \biggl(\delta_2 + \frac{\ln r_n}{k}\biggr) \biggr) \leqslant c n^{-t}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $t$, достаточно больших $c$ и всех достаточно больших $n$. Следовательно, при всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\Bigl(\sup_{k\leqslant j\leqslant n} |D_{k,j}|> r_n \Bigm| \ln^*Y_n\in [x,x+\Delta_n)\Bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{c_1 P_n n^{-t}}{\mathbf{P}(\ln^*Y_n\in [x,x+\Delta_n))}\leqslant c_2 n^{-t}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Утверждение 2. Пусть $Y_n$ — рекуррентная последовательность, удовлетворяющая условиям (A1)–(A5). Тогда при $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$ и любом $t>0$ найдется такое $c$, что при всех достаточно больших $n$ Доказательство. Положим Те же рассуждения, что и прежде, показывают, что откуда и вытекает требуемая оценка. Утверждение 3. Пусть $0<\mu<\theta_2$, при $\widetilde{h}^-=0$, $\widetilde{h}^+ = h_{\theta_2}$ выполнены условия (А1)–(А7). Тогда теорема 2 остается справедливой при $\theta_1=\mu$ при замене условия (8) на Доказательство. Повторим рассуждения доказательства теоремы 2 с одним значительным изменением: положим после (12) $h=h_{x/n}+l_n$, $l_n=n^{-1/2}$. При этом оценка для (12) приобретет форму
$$
\begin{equation}
c P_n \frac{n^{h+0.5} d_n^{-h}}{\Delta_n} \exp\biggl(-\frac{x l_n}{n} + \bigl(\ln R(h)-\ln R(h_{x/n})\bigr) n\biggr) \frac{e^{-\delta l_n k}}{1-e^{-\delta h}}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
1-e^{-\delta h}\geqslant 1-e^{-\delta l_n}\sim \delta l_n,\quad \ln R(h)-\ln R(h_{x/n})=\frac{xl_n}{n} + \frac{\sigma^{2}(\zeta) l_n^2}2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\zeta\in [h_{x/n},h]$. Следовательно, величина (15) при любом $t$ оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation*}
c P_n n^{h+0.5} l_n^{-1} d_n^{-h} \Delta_n^{-1} e^{\sigma^2(\zeta) l_n^2 n/2} e^{-\delta l_n k} < c_2 n^{-t} P_n.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соотношения (13) и леммы 2 первое слагаемое в (11) при $h=h_{x/n}+l_n$ и любом $y\in (0,1)$ оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation*}
R(h)^n e^{-hx} \sum_{i=k}^n (1-d_n)^{-i h} r_n^{-h} (1-y)^{-h} y^{-h(i-k)} e^{-\delta_1 i h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное выражение оценивается сверху величиной
$$
\begin{equation*}
c_1 \frac{\sqrt{n}}{\Delta_n} P_n e^{\sigma^2(\zeta)/2} \exp\biggl(-h k_n \biggl(\delta_1 + \frac{\ln r_n}{k_n}\biggr)\biggr)\frac{1}{1-((1-d_n) y \exp(\delta_1))^{-h}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $y>e^{-\delta_1}$. Остается заметить, что при всех достаточно больших $n$, откуда
$$
\begin{equation*}
\frac{n^{t+1/2}}{\Delta_n} \exp\biggl(-\frac {h k_n \delta_1}2\biggr) \leqslant \exp\biggl(-\frac{k_n \delta_1}{2\sqrt{n}} + \biggl(t+\frac{3}{2}\biggr) \ln n\biggr) \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$ в силу условия (14). Следовательно, первое слагаемое в (11) оценивается сверху величиной $c n^{-t}$ при любом $t$ и всех достаточно больших $n$, что и требовалось доказать. Замечание 3. Отметим, что теорема 2 остается верной в случае, если вместо $\ln^*$ рассматривать $\ln^+ x$, поскольку при любом $t$ и достаточно больших $n$ 4. Функциональная предельная теорема для случайной рекуррентной последовательностиПусть $\{Y_n,\, n\geqslant 0\}$ — стохастическая рекуррентная последовательность, заданная соотношением (1). Пусть $D[0,1]$ — пространство непрерывных справа функций на отрезке $[0,1]$, имеющих в каждой точке конечный предел слева, снабженное стандартной сигма-алгеброй $\mathcal{F}$ (борелевской относительно топологии Скорохода) и равномерной нормой. Рассмотрим последовательность мер $\{\mathbf{Q}_n,\, n\geqslant 1\}$ и меру $\mathbf{Q}$ на $D[0,1]$, причем $\mathbf{Q}(C[0,1])=1$. Следуя [10], будем говорить, что $\mathbf{Q}_n$ $C$-сходится к $\mathbf{Q}$, если
$$
\begin{equation*}
\mathbf{Q}_n(f(\omega) \leqslant x)\to \mathbf{Q}(f(\omega)\leqslant x)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого функционала $f\colon D[0,1]\to \mathbf{R}$, удовлетворяющего двум свойствам: $f$ — измеримый функционал на $(D[0,1], \mathcal{F})$, непрерывный в точках из $C[0,1]$ по равномерной норме. Вместо $C$-сходимости в рассуждениях ниже можно рассматривать слабую сходимость в $D[0,1]$ с топологией Скорохода. Фиксируем последовательность $\Delta_n$ и при каждом $x$, при котором $\mathbf{P}(\ln^+ Y_n\in [x,x+\Delta_n))>0$, рассмотрим семейства мер
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{Q}_{n,1}(G) &= \mathbf{P}\biggl(\frac{\ln^+ Y_{[nt]}-xt}{\sigma(h_{x/n}) \sqrt{n}}\in G\biggm|\ln^+ Y_{n}\in [x,x+\Delta_n)\biggr), \\ \mathbf{Q}_{n,2}(G) &= \mathbf{P}\biggl(\frac{\ln^+Y_{[nt]}-xt}{\sigma(h_{x/n}) \sqrt{n}}\in G\biggm|\ln^+ Y_{n}\geqslant x\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $G$ — измеримое подмножество $D[0,1]$. Кроме того, пусть $\mathbf{Q}(\,{\cdot}\,)$ — мера, заданная на $D[0,1]$ броуновским мостом. Теорема 3. Пусть $Y_n$ удовлетворяет условиям (А1)–(А5) для $\widetilde{h}^-=h_{\theta_1}$, $\widetilde{h}^+=h_{\theta_2}$ при некоторых $\mu<\theta_1<\theta_2$. Тогда при всех умеренно изменяющихся последовательностях $\Delta_n$ последовательности $\{\mathbf{Q}_{n,1}\}$, $\{\mathbf{Q}_{n,2}\}$ $C$-сходятся к мере $\mathbf{Q}$ при $n\to\infty$, причем сходимость равномерна по $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$. Доказательство. Докажем требуемую сходимость для последовательности мер $\{\mathbf{Q}_{n,1}, n\,{\geqslant}\, 1\}$. Сходимость для последовательности $\{\mathbf{Q}_{n,2}, n\,{\geqslant}\, 1\}$ доказывается аналогично. Доказательство проведем для достаточно медленно стремящихся к нулю последовательностей $\Delta_n$. Для общего случая доказательство получается с помощью тех же рассуждений, что и при доказательстве утверждения 1.
Положим $k=k_n=[\ln^2 n]$ и введем следующие процессы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_n(t) = \frac{\ln^+Y_{[nt]} - xt}{\sigma(h_{x/n}) \sqrt{n}},\quad V_n(t) = \frac{S_{[nt]}-x t}{\sigma(h_{x/n}) \sqrt{n}},\qquad t\in [0,1], \\ R_n(t) = U_n(t),\qquad t\in \biggl[0, \frac{k}{n}\biggr), \\ R_n(t) = U_n\biggl(\frac{k}{n}\biggr)+V_n(t)-V_n\biggl(\frac{k}{n}\biggr),\qquad t\in \biggl[\frac{k}{n},n\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем положительное $\varepsilon$, положим $r_n = \varepsilon \sigma(h_{x/n}) \sqrt{n}$ и заметим, что в силу теоремы 2 где, как и прежде, $F_n$ обозначает событие $\{Y_n\in [x,x+\Delta_n)\}$,
$$
\begin{equation*}
A_{k,n} = \Bigl\{\sup_{i\in [k, n]} |D_{k,i}|>r_n\Bigr\}=\Bigl\{\sup_{t\in [0,1]} |U_n(t)-R_n(t)|>\varepsilon \Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, достаточно доказать требуемую сходимость для мер, заданных $R_n(t)$.
Отметим, что $C$-сходимость последовательности мер
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{Q}}_{n,1}(\,{\cdot}\,):=\mathbf{P}\bigl(V_n(t)\in \cdot\,|\, S_n\in [x,x+\Delta_n)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
к $\mathbf{Q}$ при $n\to\infty$ известна (см. [11; с. 145, теорема 3.2.1]), причем она равномерна по $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$. Отметим, что в случае рассмотрения мер $\mathbf{Q}_{n,2}$ нам понадобится аналогичный факт при условии $S_n\geqslant x$. Данный факт вытекает из соотношения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(S_n\geqslant x+t\,|\, S_n\geqslant x)<\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливого при достаточно больших $n$, $t$ и всех $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$, откуда
$$
\begin{equation*}
\bigl|\mathbf{P}(V_n(\,{\cdot}\,)\in A\,|\, S_n\in [x,x+t))-\mathbf{P}(V_n(\,{\cdot}\,)\in A\,|\, S_n\geqslant x)\bigr|<\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\varepsilon$ и достаточно большом $t$.
Используем стандартный подход для доказательства функциональных предельных теорем: покажем сходимость конечномерных распределений и выполнение при любом положительном $\varepsilon$ условия Нам потребуются следующие леммы.Лемма 3. Пусть $\{\mathbf{P}_h,\, h\in I\}$ — семейство мер, где $I$ — ограниченное подмножество $\mathbf{R}^+$, $\{A_{n,h},\ n\in \mathbf{N},\, h\in I\}$ — набор таких событий, что $\mathbf{P}_h(A_{n,h})\to 0$ при $n\to\infty$ равномерно по $h\in I$. Предположим, что $\{Y_{n,h},\ n\in \mathbf{N},\, h\in I\}$ — набор неотрицательных случайных величин на одном вероятностном пространстве, причем при фиксированном $n$ набор величин $\{Y_{n,h}^h,\, h\in I\}$ равномерно интегрируем по мере $\mathbf{P}_h$, последовательность $Y_{n,h}$ сходится в $L^h(\mathbf{P}_h)$ при $n\to\infty$ и сходимость равномерна по $h\in I$. Тогда причем предел равномерен по $h\in I$. Доказательство. Будем использовать $\mathbf{E}_h$ для обозначения математического ожидания по мере $\mathbf{P}_h$.
Заметим, что при любом $\varepsilon$ найдется такое $k$, что при $n\geqslant k$ и всех $h\in (0,1]\cap I$
$$
\begin{equation*}
\bigl|\mathbf{E}_h \bigl(Y_{n,h}^h; A_{n,h}\bigr) - \mathbf{E}_h \bigl(Y_{k,h}^h; A_{n,h}\bigr)\bigr| \leqslant \mathbf{E}_h |Y_{n,h} - Y_{k,h}|^h < \frac{\varepsilon}3.
\end{equation*}
\notag
$$
При $h\geqslant 1$ аналогичное соотношение вытекает из неравенства Минковского.
В свою очередь, при любом $t$
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}_h \bigl(Y_{k,h}^h; A_{n,h}\bigr) \leqslant \mathbf{E}_h\bigl(Y_{k,h}^h; Y_{k,h}> t\bigr) + t^h \mathbf{P}_h(A_{n,h}).
\end{equation}
\tag{16}
$$
В силу равномерной интегрируемости величин $\{Y_{k,h},\, h\in I\}$ первое слагаемое правой части (16) при достаточно больших $t$ может быть сделано меньше $\varepsilon/3$, второе слагаемое правой части (16) может быть сделано меньше $\varepsilon/3$ за счет выбора $n$. Таким образом, в силу определения предела имеет место требуемое утверждение. Лемма 4. Пусть $G_1{=}\,G_{1,n}(x/n)$ — некоторая последовательность событий, не зависящих при каждом $n$ от $\sigma(\xi_{k+1},\dots, \xi_n)$, $G_2=G_{2,n}(x/n)$ — последовательность событий, измеримых относительно сигма-алгебры $\sigma(\xi_{k+1},\dots, \xi_n)$ при каждом $n$. Здесь, как и ранее, $k=[\ln n]^2$. 1) Предположим, что для некоторой измеримой функции $f$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(G_2|T_{k,n}(x-y;\Delta_n))- f\biggl(\frac{x}{n}\biggr)\to 0,\qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{17}
$$
для всех достаточно медленно стремящихся к нулю $\Delta_n$, где
$$
\begin{equation*}
T_{k,n}(x;\Delta_n):= \{S_{n}-S_{k}\in [x,x+\Delta_n)\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем сходимость равномерна по $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$, $|y|\leqslant \ln u_n$, $ u_n$ — некоторая последовательность, для которой $\ln u_n/k\to +\infty$, $n\to\infty$. Тогда при любом положительном $\varepsilon_1$ и всех достаточно больших $n$ верно соотношение
$$
\begin{equation*}
\biggl|\mathbf{P}(G_{1},G_2\,|\, F_n) - f\biggl(\frac{x}{n}\biggr) \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; G_1\biggr)\biggr|<\varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Предположим, что для некоторого положительного $c$
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to\infty} \mathbf{P}(G_2\,|\, T_{k,n}(x-y;\Delta_n))\leqslant c.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Тогда при всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1, G_2\,|\, F_n)\leqslant c \,\mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; G_1\biggr)+ \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
3) Предположим, что в условиях п. 2) настоящей леммы выполнено соотношение $\mathbf{P}^{(h_{x/n})}(G_1)\to 0$, $n\to\infty$. Тогда Доказательство. 1) Проведем оценку вероятности $\mathbf{P}(G_1, G_2\,|\, F_n)$ сверху. Заметим, что вероятность $\mathbf{P}(G_{1}, G_2, F_n)$ ограничена сверху величиной
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(G_1, G_2, \widehat{F}_{n,k,x-d_n,\Delta+2d_n}\bigr) +\mathbf{P}\biggl(\bigcup_{i=k}^n \widetilde{A}_{i,d_n/n}\biggr),
\end{equation}
\tag{19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{F}_{n,k,x,y}:= \{\ln Y_k+S_n - S_k\in [x, x+y)\},
\end{equation*}
\notag
$$
последовательность $\{d_n\}$ выбирается таким же образом, как и в доказательстве теоремы 2, обозначение $\widetilde{A}_{i,u}$ сохраняется тем же, что и в доказательстве теоремы 2. Второе слагаемое в (19), как мы видели выше, представляет собой $o(P_n)$ при $n\to\infty$, где $P_n$ задается соотношением (10). Первое слагаемое в (19) представимо в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}} \, \mathbf{P}(G_1) \, \mathbf{P}(\ln Y_k\in dy\,|\, G_1)\mathbf{P}(G_2\,|\, T_{k,n}(x-y-d_n;\Delta_n+2d_n)) \\ &\qquad\times \mathbf{P}(T_{k,n}(x-y-d_n;\Delta_n+2d_n)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью неравенства (3) оценим последний множитель сверху величиной
$$
\begin{equation*}
R(h_{x/n})^{n-k} e^{-h_{x/n} (x-y-d_n)} \mathbf{P}\bigl(S^{(h_{x/n})}_n-S^{(h_{x/n})}_k\in [x-y-d_n,x-y+\Delta_n+2d_n)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к вероятности в правой части интегро-локальную теорему, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(T_{k,n}(x-y-d_n;\Delta_n+2d_n))\leqslant c P_n R(h_{x/n})^{-k} e^{h_{x/n}y},
\end{equation*}
\notag
$$
где параметр $c$ может быть выбран не зависящим от $y$. Следовательно, мы можем утверждать, что первое слагаемое в (19) не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &c P_n \mathbf{P}(G_1) R(h_{x/n})^{-k} \int_{0\leqslant y\leqslant \ln u_n} e^{h_{x/n}y} \mathbf{P}(\ln Y_k\in dy\,|\, G_1) \\ &\quad\times\mathbf{P}(G_2\,|\, T_{k,n}(x-y-d_n;\Delta_n+2d_n)) + c P_n R(h_{x/n})^{-k} \mathbf{E}\bigl((Y_k^+)^h; \overline{L_{k,\ln u_n}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при любом $\varepsilon_1>0$ и достаточно больших $n$ величина $\mathbf{P}(G_1, G_2, F_n)$ не превосходит
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &P_n\biggl(\varepsilon_1 +f\biggl(\frac xn\biggr) \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; L_{k;\ln u_n}, G_1\biggr) \nonumber \\ &\qquad + c\, \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; \overline{L_{k,\ln u_n}}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $L_{k;u}:=\{\ln^+ Y_k\leqslant u\}$. Здесь второе слагаемое возникает в силу условия (17).
Оценим третье слагаемое в (20). Проверим выполнение условий леммы 3. Как показано в [8], последовательность $Y_i^+ e^{-S_i}$ сходится в $L^h(\mathbf{P}^{(h)})$ равномерно по $h$. Покажем, что при любом $i$ эта последовательность равномерно интегрируема. Действительно, предположим противное. Тогда найдется такое положительное $\varepsilon$ и такая последовательность $\widetilde{h}_n\in [h_{\theta_1},h_{\theta_2}]$, что при всех $n\in\mathbf{N}$
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}^{(\widetilde{h}_n)} \biggl(\biggl(\frac{Y_i^+}{e^{S_i}}\biggr)^{\widetilde{h}_n}; Y_i^+ e^{-S_i}> n\biggr)>\varepsilon.
\end{equation}
\tag{21}
$$
При этом левая часть (21) представима в виде
$$
\begin{equation*}
R(\widetilde{h}_n)^i \mathbf{E}\bigl((Y_i^+)^{\widetilde{h}_n}; Y_i^+ e^{-S_i}>n\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где первый множитель ограничен, а второй стремится к нулю в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, поскольку
$$
\begin{equation*}
(Y_i^+)^{\widetilde{h}_n}\leqslant \max\bigl(1, (Y_i^+)^{h_{\theta_2}}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие показывает требуемую равномерную интегрируемость.
Наконец, покажем, что $\mathbf{P}^{(h)}(\overline{L_{k,\ln u_n}})\to 0$ при $n\to\infty$ равномерно по $h\in [h_{\theta_1},h_{\theta_2}]$. Для этого заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}^{(h)}\biggl(|{\ln Y_k - S_k}|>\frac{\ln u_n}3\biggr)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по рассматриваемым $h$ в силу равномерной сходимости $Y_k e^{-S_k}$ в $L^h(\mathbf{P}^{(h)})$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}^{(h)}\biggl(|S_k-k m(h)|>\frac{\ln u_n}{3}\biggr)\leqslant \frac{9 k\sigma^2(h)}{(\ln u_n)^2} \to 0, \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
причем сходимость равномерна по рассматриваемым $h$. Наконец, $k m(h)\,{<} (\ln u_n)/3$ при достаточно больших $n$.
Следовательно, условия леммы 3 выполнены и третье слагаемое в (20) стремится к нулю равномерно по $h\in [h_{\theta_1},h_{\theta_2}]$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1, F_n) \leqslant 2 \varepsilon_1 P_n + P_n \, \mathbf{E}^{(h_{x/n})} \biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; G_1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Проведем оценку вероятности $\mathbf{P}(G_1, G_2\,|\,F_n)$ снизу. Заметим, что при любом $\varepsilon_1$ и достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1, F_n)\geqslant \mathbf{P}\bigl(G_1,\widehat{F}_{k,n,x+d_n;\Delta_n-2d_n}, L_{k,\ln u_n}\bigr) - \varepsilon_1 P_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_n$ то же, что и прежде. При этом в силу интегро-локальной теоремы при $0<y\leqslant u_n$ при любом $\varepsilon_1$ и всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(T_{k,n}(x-y+d_n;\Delta_n-2d_n)\bigr)\geqslant (1-\varepsilon_1) P_n R(h_{x/n})^{-k} e^{h_{x/n}y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1, F_n)\geqslant P_n \, \mathbf{E}^{(h_{x/n})} \biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; L_{k,\ln u_n}, G_1\biggr) - 3\varepsilon_1 P_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что при всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\biggl(\frac{Y_k^+}{e^{S_k}}\biggr)^{h_{x/n}}; \overline{L_{k,\ln u_n}}\biggr)<\varepsilon_1
\end{equation*}
\notag
$$
в силу приведенных выше оценок.
2) Заметим, что, повторяя рассуждения первой части леммы, но используя при получении соотношения (20) неравенство (18) вместо условия (17), получаем требуемый результат. 3) Третья часть вытекает из второй в силу рассуждений леммы 3. Лемма 4 доказана. Фиксируем $u_n: = \exp(n^{1/3})$, тогда $\ln u_n/k_n \to +\infty$, $\ln u_n=o(\sqrt{n})$. Отметим, что в силу неравенства Колмогорова
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}^{(h_{x/n})}(\exists\, i\leqslant k\colon S_i > \ln \sqrt{u_n}\,) \to 0,\qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{22}
$$
В свою очередь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}^{(h_{x/n})}(\exists\, i\leqslant k\colon Y_i > u_n) &\leqslant \mathbf{P}^{(h_{x/n})}\biggl(\exists\, i\leqslant k\colon \frac{Y_i}{\exp(S_i)}>\sqrt{u_n}\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\mathbf{P}^{(h_{x/n})}(\exists\, i\leqslant k\colon S_i > \ln \sqrt{u_n}\,) \to 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
в силу сходимости $Y_i \exp(-S_i)$ по мере $\mathbf{P}^{(h_{x/n})}$. Отсюда в силу третьей части леммы 4
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(Y_k^+> u_n\bigm|\ln Y_n\in [x,x+\Delta_n)\bigr)\to 0,\qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Сходимость при любых $0<t_1<\dots<t_l<1$ вероятностей
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl(V_n\biggl(t_1-\frac{k}{n}\biggr) {\leqslant}\, x_1, \dots, V_n\biggl(t_l-\frac{k}{n}\biggr) {\leqslant}\, x_l\biggm| \!S_{n-k}{\in}\, [x-y-d_n, x-y+\Delta_n+d_n)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
к $\mathbf{P}(W^0_{t_1}\leqslant x_1, \dots, W^0_{t_l}\leqslant x_l)$ при $n\to\infty$ и ее равномерность по $|y|\leqslant u_n$ вытекает из $C$-сходимости последовательности мер $\{\widetilde{\mathbf{Q}}_{n,1},\, n>0\}$ к $\mathbf{Q}$ и равномерности этой сходимости по $(x-y)/(n-k)\in [\theta_1,\theta_2]$. Здесь мы воспользовались тем, что при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m(h_{x/n}) - m(h_{(x-y)/(n-k)}) = O\biggl( \frac{u_n}{n}\biggr)=o(n^{-1/2}), \\ \sigma(h_{x/n}) - \sigma(h_{(x-y)/(n-k)}) = O\biggl( \frac{u_n}{n}\biggr)=o(1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем набор $0<t_1<\dots<t_l<1$ и положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G &=\biggl\{R_n(t_1)-R_n\biggl(\frac kn\biggr)\leqslant x_1,\dots, R_n(t_l)-R_n\biggl(\frac kn\biggr) \leqslant x_l\biggr\}, \\ G_1 &=\{R_n(t_1)\leqslant x_1,\dots, R_n(t_l)\leqslant x_l\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, как было замечено выше,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(G\bigm| T_{k,n}(x-y;\Delta_n)\bigr) \to \mathbf{P}(W_{t_1}^0\leqslant x_1,\dots, W^0_{t_l}\leqslant x_l),\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
причем сходимость равномерна по $|y|\leqslant u_n$. Следовательно, применима лемма 4 и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G, F_n)\sim P_n \, \mathbf{P}(W_{t_1}^0\leqslant x_1,\dots, W^0_{t_l}\leqslant x_l) \lim_{l\to\infty} \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\frac{Y_l}{e^{S_l}}\biggr)^{h_{x/n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, как было замечено выше,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(Y_k^+> u_n\bigm|\ln Y_n\in [x,x+\Delta_n)\bigr)<\varepsilon_1
\end{equation*}
\notag
$$
при всех достаточно больших $n$, откуда $R_n(k/n)\to 0$ по мере $\mathbf{P}(\,{\cdot}\,|\,F_n)$ при $n\to\infty$. Отсюда при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1, F_n)\sim P_n \mathbf{P}(W_{t_1}^0\leqslant x_1,\dots, W^0_{t_l}\leqslant x_l) \lim_{j\to\infty} \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\frac{Y_j}{e^{S_j}}\biggr)^{h_{x/n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(F_n)\sim P_n \lim_{j\to\infty} \mathbf{E}^{(h_{x/n})}\biggl(\frac{Y_j}{e^{S_j}}\biggr)^{h_{x/n}},\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к сходимости конечномерных распределений
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(G_1\,|\,F_n)\to \mathbf{P}(W_{t_1}^0\leqslant x_1,\dots, W^0_{t_l}\leqslant x_l).
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем выполнение условия плотности
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0} \lim_{n\to\infty} \mathbf{P}(H_{n,1}\,|\,F_n) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{n,1} &= \Bigl\{\sup_{|t-s|\leqslant \delta} |R_n(t) - R_n(s)|>\varepsilon\Bigr\}, \\ H_{n,2} &=\biggl\{\sup_{|t-s|\leqslant \delta,\, t,s>k/n} |V_n(t) - V_n(s)|> \frac{\varepsilon}3 \biggr\}, \\ H_{n,3} &= \biggl\{\sup_{i\leqslant k} \ln^+ Y_i\geqslant \varepsilon \sigma(h_{x/n}) \frac{\sqrt{n}}6 \biggr\}, \\ H_{n,4} &= \biggl\{\sup_{i\leqslant k} |S_i|\geqslant \varepsilon \sigma(h_{x/n}) \frac{\sqrt{n}}6 \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
H_{n,1} \subseteq \biggl\{\sup_{|t-s|<\delta,\, t,s\leqslant k/n} |R_n(t)-R_s(s)|> \frac{2\varepsilon}3 \biggr\}\cup H_{n,2}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\{\sup_{|t-s|<\delta,\, t,s\leqslant k/n} |R_n(t)-R_s(s)|>\frac{2\varepsilon}3\biggr\} \\ &\qquad\subseteq \biggl\{\sup_{t\leqslant k/n} |R_n(t)|> \frac{\varepsilon}3\biggr\} \subseteq H_{n,3}\cup H_{n,4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(H_{n,1}\,|\,F_n)\leqslant \mathbf{P}(H_{n,2}\,|\,F_n) + \mathbf{P}(H_{n,3}\,|\,F_n)+\mathbf{P}(H_{n,4}\,|\,F_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем положительное $\varepsilon_1$. В силу плотности семейства мер $\{\widetilde{\mathbf{Q}}_{n,1}, n>0\}$ вероятность $\mathbf{P}(H_{n,2}|T_{k,n}(x-y;\Delta_n))$ может быть сделана сколь угодно малой (равномерно по $|y|\leqslant \ln u_n$) за счет выбора $\delta$, поэтому вторая часть леммы 4 обеспечивает оценку $\mathbf{P}(H_{n,2}\,|\,F_n)<\varepsilon_1$ при всех достаточно больших $n$. При этом $\mathbf{P}(H_{n,3}\,|\,F_n)<\varepsilon_1$, $\mathbf{P}(H_{n,4}\,|\,F_n)<\varepsilon_1$ при достаточно больших $n$ в силу третьей части леммы 4 и соотношений (22) и (23). Следовательно, при достаточно больших $n$ и достаточно малых $\delta$ $\mathbf{P}(H_{n,1}\,|\,F_n)<\varepsilon_1$, что и означает выполнение условия плотности. 5. Приложения к ветвящимся процессам в случайной средеПусть $\mathcal{Z}$ — ВПСС, $\{S_n,\, n\geqslant 0\}$ — его сопровождающее блуждание, $\xi_i$ при $i>0$ — шаги сопровождающего блуждания, $X$ — общее обозначение случайной величины, представляющей собой число потомков одной частицы. Предположим, что выполнены следующие условия: (B1) $\mu=\mathbf{E}\xi<\infty$, $R(h) = \mathbf{E}e^{h\xi}<\infty$ при $h\in [0,h^+)$ для некоторого $h^+>1$; (B2) $\mathbf{E}X^h<\infty$ при $h\in [0,h^+)$; (B3) величина $\xi$ нерешетчата. При $\mu<0$ и $R'(1)<0$ (строго докритический случай) предположим, что существует $\varkappa>1\colon R(\varkappa) = R(1)$, и пусть $\gamma = m(\varkappa)$. Положим $\widehat{m}^* = \mu$ для надкритических процессов, $\widehat{m}^*=0$ для критических процессов, слабо докритических ($R'(1)>0$) и умеренно докритических процессов ($R'(1)=0$), $\widehat{m}^* = \gamma$ для строго докритических процессов ($R'(1)<0$). В работе [6] показано, что при выполнении условий (B1)–(B3) последовательность $\{Z_n,\, n\geqslant 0\}$ может быть представлена в виде рекуррентной последовательности, удовлетворяющей условиям (А1)–(А5). Следовательно, справедливы следующие результаты. Теорема 4. Пусть $\mathcal{Z}$ — ВПСС, удовлетворяющий условиям (B1)–(B3). Пусть $[\theta_1,\theta_2]\subset (\widehat{m}^*,m^+)$. Тогда найдется такое $c$, что при всех $x/n\in [\theta_1,\theta_2]$, любом положительном $t$, всех умеренно изменяющихся последовательностях $\Delta_n$ и всех достаточно больших $n$ справедливы неравенства Теорема 5. Пусть $Z_n$ — ВПСС, удовлетворяющий условиям (B1)–(B3). Фиксируем последовательность $\Delta_n$ и при каждом $x$, при котором $\mathbf{P}(\ln^+ Z_n\in [x,x+\Delta_n))>0$, рассмотрим семейства мер Замечание 4. Из тех же соображений те же результаты справедливы для ВПСС с иммиграцией при выполнении условий, описанных в [6], а также для двуполых ветвящихся процессов в случайной среде при выполнении условий, описанных в [12]. Заключительные замечанияАвтор благодарит анонимного рецензента, чьи замечания позволили существенно улучшить данную работу. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shk24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|