| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Совместные распределения обобщенных интегрируемых возрастающих процессов и их обобщенных компенсаторов Д. А. Борзых  Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991714 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть задан стохастический базис $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}, (\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbf{R}_+})$. Согласованный случайный процесс $X=(X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ называется возрастающим процессом, если все его траектории непрерывны справа, выходят из нуля и являются нестрого возрастающими функциями. Возрастающий процесс $X=(X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ называется интегрируемым возрастающим процессом, если $\mathbf{E}[X_{\infty}]<\infty$. Класс всех интегрируемых возрастающих процессов обозначается через $\mathscr{A}^{+}$. Всякий интегрируемый возрастающий процесс $X = (X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ является субмартингалом класса ($D$) (см. [1; § 1.46]). Следовательно, для процесса $X$ справедливо разложение Дуба–Мейера (см. [1; § 3.15]), согласно которому существует единственный (с точностью до неразличимости) возрастающий интегрируемый предсказуемый процесс $A$ с $A_0=0$ такой, что процесс $X-A$ является равномерно интегрируемым мартингалом. Процесс $A$, участвующий в этом разложении, будем называть компенсатором процесса $X$. В статье [2] введен класс $\mathbb{W}$ вероятностных мер, определенных на $(\mathbf{R}_{+}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}_{+}^2))$. Он включает в себя все вероятностные меры $\mu$, удовлетворяющие следующим условиям: 1) $\int_{\mathbf{R}_{+}^2} (x+y) \, \mu(dx, dy)<\infty$; 2) $\int_{\mathbf{R}_{+}^2} x \, \mu(dx, dy)=\int_{\mathbf{R}_{+}^2} y \, \mu(dx, dy)$; 3) $\int_{\{y \leqslant c\}} x \, \mu(dx, dy) \leqslant \int_{\mathbf{R}_{+}^2} (y \wedge c) \, \mu(dx, dy)$ для любого $c \geqslant 0$. Пусть $T \in [0, \infty]$ — произвольный фиксированный момент времени. В [2] показано, что мера $\mu$ принадлежит классу $\mathbb{W}$ в том и только том случае, когда на некотором стохастическом базисе существует интегрируемый возрастающий процесс $(X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ с компенсатором $(A_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ такой, что $\operatorname{Law} (X_{T}, A_{T})=\mu$. В нашей статье мы обобщаем постановку задачи, рассмотренную в [2]. Для этого мы вводим понятие обобщенного интегрируемого возрастающего процесса и его обобщенного компенсатора. Согласованный процесс $X=(X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ будем называть обобщенным интегрируемым возрастающим процессом, если он представим в виде $X_t=\xi_0+X_t^{\circ}$, $t \in \mathbf{R}_+$, где $\xi_0$ — $\mathcal{F}_0$-измеримая интегрируемая случайная величина, а $X^{\circ}=(X_t^{\circ})_{t \in \mathbf{R}_+}$ — интегрируемый возрастающий процесс в обычном смысле. По теореме Дуба–Мейера процесс $X^{\circ}$ имеет компенсатор $A^{\circ}=(A_t^{\circ})_{t \in \mathbf{R}_+}$. Тогда обобщенным компенсатором обобщенного интегрируемого возрастающего процесса $X$ назовем случайный процесс $A=(A_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ вида $A_t=\eta_0+A_t^{\circ}$, где $\eta_0$ — произвольная $\mathcal{F}_0$-измеримая интегрируемая случайная величина. Таким образом, согласно данному определению обобщенный компенсатор обобщенного интегрируемого возрастающего процесса определен однозначно с точностью до прибавления $\mathcal{F}_0$-измеримой интегрируемой случайной величины. Отметим, что всякий компенсатор интегрируемого обобщенного возрастающего процесса сам является интегрируемым обобщенным возрастающим процессом. Зафиксируем на луче $[0, \infty]$ два момента времени $a$ и $b$. Не ограничивая общности, можно считать, что $a=1$ и $b=2$. Рассмотрим класс вероятностных мер $\Lambda$, включающий в себя все совместные распределения $\lambda := \operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right] \right)$, где $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ — обобщенный интегрируемый возрастающий процесс, а $(A_t)_{t \in [1, 2]}$ — его обобщенный компенсатор. Мы интересуемся тем, как устроен класс мер $\Lambda$. Более конкретно, в данной статье мы решаем две задачи. Первая из них — получить необходимые и достаточные условия того, что некоторая вероятностная мера $\lambda$, заданная на $\mathcal{B}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, принадлежит классу мер $\Lambda$. Вторая задача ставится следующим образом. Пусть на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2))$ заданы две вероятностные меры $\mu_1$ и $\mu_2$, удовлетворяющие условиям $\int (|x|+|y|)\, d\mu_i<\infty$, $i=1, 2$. Требуется получить необходимые и достаточные условия того, что множество $\Lambda$ содержит некоторую меру $\lambda$, для которой $\mu_1$ и $\mu_2$ являются маргинальными распределениями, т.е. $\lambda(B \times \mathbf{R}^2)=\mu_1(B)$ и $\lambda(\mathbf{R}^2 \times B)=\mu_2(B)$ для любого $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$. Ответы на поставленные вопросы читатель может найти в разделе 2 в теоремах 1 и 3 соответственно. Оставшаяся часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 сформулированы основные результаты работы. Раздел 3 содержит доказательства основных результатов. В разделе 4 приведены доказательства всех вспомогательных утверждений. Раздел 5 посвящен более конструктивной характеризации класса тестовых функций $\mathcal{K}$, который возникает в формулировке теоремы 3 из раздела 2. Заключительный раздел 6 содержит пример применения теоремы 3. 2. Основные результатыСледующие ниже теоремы 1 и 3 являются основными результатами работы. Теорема 2 носит вспомогательный характер. В ней установлены геометрические и топологические свойства множества $\Lambda$ — выпуклость и замкнутость в некоторой естественной топологии пространства вероятностных мер $\mu$ на $\mathcal{B}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, для которых $\int (|x_1|+|y_1|+|x_2|+|y_2|) \, d \mu<\infty$. Теорема 1. Вероятностная мера $\lambda$, определенная на $\mathcal{B}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, принадлежит классу $\Lambda$ в том и только том случае, когда она удовлетворяет следующим условиям: Теперь перейдем к выпуклости и замкнутости множества $\Lambda$. При изучении замкнутости нам потребуется подходящая топологическая постановка. Рассмотрим калибровочную функцию $\psi(x, y) := 1+|x|+|y|$, $x, y \in \mathbf{R}$. Определим класс $C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ непрерывных тестовых функций $f \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\forall\, f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) \ \ \exists\, c \in \mathbf{R} \ \ \forall\, x, y \in \mathbf{R} \quad |f(x, y)| \leqslant c \cdot \psi(x, y).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$ множество всех борелевских вероятностных мер на $\mathbf{R}^2$, для которых $\int_{\mathbf{R}^2} \psi(x, y) \, \mu(dx, dy)<\infty$. Грубейшая топология на $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$, в которой все отображения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2) \ni \mu \mapsto \int_{\mathbf{R}^2} f(x, y) \, \mu(dx, dy), \qquad f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2),
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывны, называется $\psi$-слабой топологией пространства $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$. Несложно видеть, что множества вида
$$
\begin{equation*}
U_{\varepsilon}^{\psi}(\mu; f_1, \dots, f_m) := \bigcap_{i=1}^{m} \biggl\{ \nu \in \mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2) \colon \biggl|\int_{\mathbf{R}^2} f_i \, d\nu- \int_{\mathbf{R}^2} f_i \, d\mu \biggr|<\varepsilon\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu \in \mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$, $\varepsilon>0$, $m \in \mathbf{N}$ и $f_1, \dots, f_m \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$, образуют базу $\psi$-слабой топологии пространства $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$. Отметим, что пространство $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$ является метризуемым и сепарабельным (см. [3; следствие A.44]). Отметим также, что сходимость мер $(\mu_n)_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$ к мере $\mu \in \mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$ в $\psi$-слабой топологии равносильна обычной слабой сходимости $(\mu_n)_{n=1}^{\infty}$ к $\mu$ вместе с условием равномерной интегрируемости мер $(\mu_n)_{n=1}^{\infty}$, т.е. $\sup_{n \in \mathbf{N}} \int_{\{|x|+|y|>c\}} (|x|+|y|) \, \mu_n(dx, dy) \to 0$ при $c \to \infty$. Подробнее о пространстве $\mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2)$ и его свойствах можно прочитать, например, в [3; § A.6]. На произведении пространств $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2$ рассмотрим калибровочную функцию
$$
\begin{equation*}
\overline{\psi}(x_1, y_1, x_2, y_2) := \psi(x_1, y_1)+\psi(x_2, y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим соответствующее множество непрерывных тестовых функций $C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$ и пространство вероятностных мер $\mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, снабженное $\overline{\psi}$-слабой топологией. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Множество $\Lambda$ является выпуклым и замкнутым в $\overline{\psi}$-слабой топологии пространства $\mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$. Для формулировки теоремы 3 нам потребуется ввести в рассмотрение еще один класс тестовых функций. Определение 1. Введем класс $\mathcal{K}$ полунепрерывных сверху тестовых функций $\varphi \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$, которые удовлетворяют следующим условиям: 1) для любой $\varphi \in \mathcal{K}$ существует $c \in \mathbf{R}$ такое, что для всех $x, y \in \mathbf{R}$ 2) для любых $x, y \in \mathbf{R}$ и любой вероятностной меры $\mu \in \mathbb{W}$ имеет место неравенство Теорема 3. Пусть на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2))$ заданы две вероятностные меры $\mu_1$ и $\mu_2$, удовлетворяющие условиям $\int (|x|+|y|)\, d\mu_i<\infty$, $i=1, 2$. Тогда следующие условия эквивалентны: (a) на некотором стохастическом базисе найдется такой обобщенный интегрируемый возрастающий процесс $X=(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с обобщенным компенсатором $A=(A_t)_{t \in [1, 2]}$, что $\operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu_1$ и $\operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu_2$; (b) существует мера $\lambda \in \Lambda$, маргинальные распределения которой есть $\mu_1$ и $\mu_2$, т.е. $\lambda(B \times \mathbf{R}^2)=\mu_1(B)$ и $\lambda(\mathbf{R}^2 \times B)=\mu_2(B)$ для любого $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$; (c) $\int \varphi(x, y) \, d\mu_1 \leqslant \int \varphi(x, y) \, d\mu_2$ для любой тестовой функции $\varphi \in \mathcal{K}$. 3. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 1. $(\Rightarrow)$ Пусть мера $\lambda$ принадлежит классу $\Lambda$. Требуется показать, что она удовлетворяет условиям (1)–(3). В самом деле, условие $\lambda \in \Lambda$ означает, что существует обобщенный интегрируемый возрастающий процесс $X=(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с обобщенным компенсатором $A=(A_t)_{t \in [1, 2]}$ такой, что $\operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right] \right)= \lambda$. Условие (1) очевидным образом выполнено. Зафиксируем произвольное множество $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$ и рассмотрим интегрируемый возрастающий процесс $Z_t := (X_t -X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}$, $t \in [1, 2]$. Легко видеть, что $(Z_t)_{t \in [1, 2]}$ имеет компенсатор $C_t := (A_t -A_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}$, $t \in [1, 2]$. Стало быть, по теореме 2.1(i) из [2] совместное распределение $\operatorname{Law}\left[\begin{smallmatrix} Z_2 \\ C_2 \end{smallmatrix}\right]$ принадлежит классу $\mathbb{W}$, откуда следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\biggl[ (X_2-X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr]=\mathbf{E}\biggl[ (A_2-A_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr],
\end{equation}
\tag{6}
$$
и для всех $c \geqslant 0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\biggl[ (X_2-X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \mathbf{1}_{\left\{ A_2-A_1 \leqslant c \right\}} \biggr] \leqslant \mathbf{E}\biggl[ \bigl( (A_2-A_1) \wedge c \bigr) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Остается заметить, что (6) и (7) сводятся к требуемым условиям (2) и (3).
$(\Leftarrow)$ Пусть теперь мера $\lambda$ удовлетворяет условиям (1)–(3). Требуется доказать, что мера $\lambda$ принадлежит классу $\Lambda$. Обозначим через $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}}\,$, $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}}$ и $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ образы меры $\lambda$ соответственно при отображениях $\left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]$, $\left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right]$ и $\left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{smallmatrix}\right] \right)$. Тогда условия (2) и (3) могут быть переписаны в виде
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}\, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} v \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \left[v \wedge c \right] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d v \\ d u \end{bmatrix}\biggr).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Теперь заметим, что мера $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ допускает марковское ядро $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ относительно меры $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$, т.е. для любых множеств $B, C \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(B \times C)= \int_{B} \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; C \biggr) \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, используя теорему Фубини для марковских ядер (см. [4; предложение III.2.1] или [5; лемма 14.20]), мы можем переписать формулы (8) и (9) в виде
$$
\begin{equation}
\int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} u \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= \int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} v \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant \int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c ] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Поскольку условия (10) и (11) выполнены для всех множеств $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$, мы приходим к тому, что $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$-п.в. имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} u \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr)= \int_{\mathbf{R}^2} v \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{12}
$$
а также для каждого фиксированного $c \geqslant 0$ $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$-п.в. справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Последнее условие означает, что для каждого $c \geqslant 0$ найдется “свое” множество $\Omega_c \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$ такое, что $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_c)=1$ и для любого $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_c$ выполнено неравенство (13). Покажем, что найдется “универсальное” множество $\Omega_{\star} \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$ с $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_{\star})=1$ такое, что для любого $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_{\star}$ и всех $c \geqslant 0$ справедливо неравенство (13). Для этого рассмотрим множество $\Omega_{\star} := \bigcap_{c \in \mathbf{Q}_+} \Omega_c$, где $\mathbf{Q}_+$ — множество всех неотрицательных рациональных чисел. Ясно, что $\Omega_{\star} \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$ и $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_{\star})\,{=}\,1$. Рассмотрим произвольную точку $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_{\star}$ и любую действительную константу $c_0 \geqslant 0$. Покажем, что для них выполнено неравенство (13). Существует нестрого убывающая последовательность неотрицательных рациональных чисел $(c_k)_{k=1}^{\infty}$ такая, что $c_k \downarrow c_0$ при $k \to \infty$. Заметим, что для каждого такого $c_k$ справедливо неравенство (13), т.е.
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{R}^2} \!u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c_k \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) {\leqslant} \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c_k] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу теоремы Беппо Леви о монотонной сходимости получаем требуемое неравенство (13) для указанной выше константы $c_0$.
Таким образом, мы установили, что для $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$-п.в. точек $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$ имеет место включение
$$
\begin{equation}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \, {\cdot}\, \biggr) \in \mathbb{W}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Значит, в соответствии с леммой 1 и замечанием 2 (см. раздел 4) на некотором стохастическом базисе можно построить обобщенный интегрируемый возрастающий процесс $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с обобщенным компенсатором $(A_t)_{t \in [1, 2]}$ такой, что $\operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \right)= \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ и, стало быть, $\operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right] \right)=\lambda$. Последнее равенство означает, что мера $\lambda$ принадлежит классу $\Lambda$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Выпуклость множества $\Lambda$ очевидным образом вытекает из теоремы 1. Для доказательства замкнутости множества $\Lambda$ рассмотрим произвольную последовательность мер $(\lambda_n)_{n=1}^{\infty}$, принадлежащих множеству $\Lambda$, сходящуюся к мере $\lambda \in \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$ в $\overline{\psi}$-слабой топологии. Покажем, что в этом случае мера $\lambda$ принадлежит множеству $\Lambda$. В соответствии с теоремой 1 для этого достаточно проверить, что мера $\lambda$ удовлетворяет условиям (1)–(3). Условие (1) выполнено, так как $\lambda \in \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$. Установим (2) и (3). Рассмотрим множества $\mathfrak{X} := \{x \in \mathbf{R} \colon \lambda(\{x\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2)>0 \}$ и $\mathfrak{Y} := \{y \in \mathbf{R} \colon \lambda(\mathbf{R} \times \{y\} \times \mathbf{R}^2)>0 \}$. Поскольку каждое из множеств $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{Y}$ не более чем счетно, оба множества $\mathbf{R} \setminus \mathfrak{X}$ и $\mathbf{R} \setminus \mathfrak{Y}$ являются всюду плотными подмножествами числовой прямой, а значит, множество $(\mathbf{R} \setminus \mathfrak{X}) \times (\mathbf{R} \setminus \mathfrak{Y})$ всюду плотно в $\mathbf{R}^2$.
Сначала мы покажем, что условия (2) и (3) выполнены в случае, когда множество $B$ является прямоугольником: $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta]$, где $\alpha, \beta \notin \mathfrak{X}$ и $\gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}$. Для краткости обозначим через $\mathcal{P}$ совокупность всех таких прямоугольников. Заметим, что если $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}$, то
$$
\begin{equation}
\lambda\bigl( (\partial B) \times \mathbf{R}^2 \bigr)=0,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\partial B$ — граница прямоугольника $B$. Это вытекает из очевидного включения
$$
\begin{equation*}
(\partial B) \times \mathbf{R}^2 \subseteq (\{\alpha\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\{\beta\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\mathbf{R} \times \{\gamma\} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\mathbf{R} \times \{\delta\} \times \mathbf{R}^2),
\end{equation*}
\notag
$$
того, что $\alpha, \beta \notin \mathfrak{X}$ и $\gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}$, а также определения множеств $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{Y}$. В частности, если $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}$ и при этом $\alpha=\beta$ или $\gamma=\delta$, то $\partial B=B$, и, следовательно, $\lambda(B \times \mathbf{R}^2)=0$. Стало быть, в этом случае условия (2) и (3) выполнены автоматически.
Покажем, что для любого прямоугольника $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}$, где $\alpha<\beta$ и $\gamma<\delta$, выполнено условие (2). Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}=\mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) \cdot \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданного параметра $0<\varepsilon<\overline{\varepsilon} := ((\beta-\alpha) \wedge (\delta- \gamma))/2$ определим непрерывные ограниченные функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_L^{\varepsilon}(x_1) &:= \frac{x_1-\alpha}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\alpha, \alpha+ \varepsilon)}(x_1)+\mathbf{1}_{[\alpha+\varepsilon, \beta-\varepsilon)}(x_1)+ \frac{\beta-x_1}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\beta-\varepsilon, \beta)}(x_1), \\ g_U^{\varepsilon}(x_1) &:= \frac{x_1-(\alpha-\varepsilon)}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\alpha- \varepsilon, \alpha)}(x_1)+\mathbf{1}_{[\alpha, \beta)}(x_1)+\frac{(\beta+ \varepsilon)-x_1}{\varepsilon} \, \mathbf{1}_{[\beta, \beta+\varepsilon)}(x_1), \\ h_L^{\varepsilon}(y_1) &:= \frac{y_1-\gamma}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\gamma, \gamma+ \varepsilon)}(y_1)+\mathbf{1}_{[\gamma+\varepsilon, \delta-\varepsilon)}(y_1)+ \frac{\delta-y_1}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\delta-\varepsilon, \delta)}(y_1), \\ h_U^{\varepsilon}(y_1) &:= \frac{y_1-(\gamma-\varepsilon)}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[c- \varepsilon, \gamma)}(y_1)+\mathbf{1}_{[\gamma, \delta)}(y_1)+\frac{(\delta+ \varepsilon)-y_1}{\varepsilon} \, \mathbf{1}_{[\delta, \delta+\varepsilon)}(y_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что функции $g_L^{\varepsilon}$, $g_U^{\varepsilon}$, $h_L^{\varepsilon}$ и $h_U^{\varepsilon}$ обладают следующими свойствами:
$\bullet$ $g_L^{\varepsilon}(x_1) \leqslant \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) \leqslant g_U^{\varepsilon}(x_1)$ для любых $0<\varepsilon<\overline{\varepsilon}$ и $x_1 \in \mathbf{R}$; $\bullet$ $h_L^{\varepsilon}(y_1) \leqslant \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1) \leqslant h_U^{\varepsilon}(y_1)$ для любых $0<\varepsilon<\overline{\varepsilon}$ и $y_1 \in \mathbf{R}$; $\bullet$ $g_L^{\varepsilon}(x_1) \uparrow \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1)$ при $\varepsilon \downarrow 0$ для всех $x_1 \in \mathbf{R} \setminus \{\alpha, \beta\}$; $\bullet$ $h_L^{\varepsilon}(y_1) \uparrow \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1)$ при $\varepsilon \downarrow 0$ для всех $y_1 \in \mathbf{R} \setminus \{\gamma, \delta\}$; $\bullet$ $g_U^{\varepsilon}(x_1) \downarrow \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1)$ при $\varepsilon \downarrow 0$ для всех $x_1 \in \mathbf{R}$; $\bullet$ $h_U^{\varepsilon}(y_1) \downarrow \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1)$ при $\varepsilon \downarrow 0$ для всех $y_1 \in \mathbf{R}$. Из этих свойств и условия (15) вытекает, что
$$
\begin{equation}
g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \leqslant \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \leqslant g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1)\quad \forall \, 0<\varepsilon<\overline{\varepsilon}, \ \ \forall \, x_1, y_1 \in \mathbf{R},
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \uparrow \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}\quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0\quad (\lambda\text{-п.в.}),
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \downarrow \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0\quad (\lambda\text{-п.в.}).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Далее, из определения множества $\Lambda$ и того, что $\lambda_n \in \Lambda$, вытекает, что $\lambda_n(\{x_1 \leqslant x_2\})=1$ и $\lambda_n(\{y_1 \leqslant y_2\})=1$. Отсюда, а также из неравенства (16) и того, что меры $\lambda_n$ удовлетворяют условию (2), получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n \nonumber \\ &\quad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \stackrel{(2)}{=} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\quad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Поскольку функции $(x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1)$ и $(y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1)$ принадлежат множеству непрерывных тестовых функций $C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, переходя к пределу при $n \to \infty$ в неравенстве (19), имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda.
\end{equation}
\tag{20}
$$
В свою очередь, учитывая условия (17) и (18) и переходя к пределу при $\varepsilon \downarrow 0$ в неравенстве (20), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказывается обратное неравенство. Таким образом, мы приходим к равенству (2), которое требовалось установить.
Теперь покажем, что для любой константы $c \geqslant 0$ и любого прямоугольника $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}$, где $\alpha<\beta$ и $\gamma<\delta$, выполнено условие (3). Сначала вместо неравенства (3) докажем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
которое отличается от неравенства (3) тем, что в левой части неравенства (21) под знаком интеграла стоит индикатор $\mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}}$ со строгим знаком неравенства. Для этого рассмотрим непрерывные ограниченные функции $f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2)$ такие, что для любого $\varepsilon>0$ и любых $y_1, y_2 \in \mathbf{R}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
0 \leqslant f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \leqslant \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}}
\end{equation}
\tag{22}
$$
и для всех $y_1, y_2 \in \mathbf{R}$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \uparrow \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}}\quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Из того, что $\lambda_n(\{x_1 \leqslant x_2\})=1$ и $\lambda_n(\{y_1 \leqslant y_2\})=1$, того, что меры $\lambda_n$ удовлетворяют условию (3), а также из неравенств (16) и (22) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\!\stackrel{(3)}{\leqslant} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Функции $(x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1)$ и $[(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1)$ принадлежат множеству непрерывных тестовых функций $C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$, поэтому, переходя к пределу при $n \to \infty$ в неравенстве (24), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
В свою очередь, учитывая (17), (18), (23) и переходя к пределу при $\varepsilon \downarrow 0$ в неравенстве (25), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем неравенство (21), из которого следует, что для любого натурального числа $m$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c+1/m \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \biggl[(y_2-y_1) \wedge \biggl(c+\frac1{m}\biggr) \biggr] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Наконец, переходя к пределу при $m \to \infty$ в неравенстве (26), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем искомое неравенство (3).
Итак, мы доказали, что для любого прямоугольника $B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}$ выполнены условия (2) и (3). Отсюда, а также из формулы (15) следует, что условия (2) и (3) будут выполнены для любого прямоугольника вида $\Pi := [\alpha, \beta) \times [\gamma, \delta)$, где $\alpha, \beta \notin \mathfrak{X}$ и $\gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}$. Покажем теперь, что условия (2) и (3) справедливы в случае, когда множество $B$ является ограниченным борелевским подмножеством в $\mathbf{R}^2$. Доказательство проведем для условия (3), поскольку для условия (2) оно такое же. По нашему предположению множество $B$ является ограниченным. Стало быть, найдется достаточно большой прямоугольник $\Pi := [\alpha, \beta) \times [\gamma, \delta)$, где $\alpha, \beta \notin \mathfrak{X}$ и $\gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}$, который содержит множество $B$. Рассмотрим полукольцо прямоугольников
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S} := \{[\alpha', \beta') \times [\gamma', \delta') \subseteq \Pi \colon \alpha', \beta' \notin \mathfrak{X} \text{ и } \gamma', \delta' \notin \mathfrak{Y} \} \cup \{\varnothing\},
\end{equation*}
\notag
$$
единицей которого является множество $\Pi$. Обозначим через $\mathcal{A}$ минимальную алгебру, порожденную полукольцом $\mathcal{S}$. Как известно, всякое множество $B$ из $\mathcal{A}$ имеет вид $B=\bigsqcup_{k=1}^{n} ([\alpha'_k, \beta'_k) \times [\gamma'_k, \delta'_k))$, где все $\alpha'_k, \beta'_k \notin \mathfrak{X}$ и $\gamma'_k, \delta'_k \notin \mathfrak{Y}$. Следовательно, условие (3) выполнено для любого множества $B \in \mathcal{A}$.
Перенесем интеграл из левой части доказываемого неравенства (3) в правую часть и рассмотрим $\sigma$-аддитивную функцию множеств
$$
\begin{equation*}
\Phi(B) :=\int_{B \times \mathbf{R}^2} \Bigl[(y_2-y_1) \wedge c-(x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1 \leqslant c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \Bigr] \, d\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)$. В силу доказанного выше функция $\Phi$ является неотрицательной $\sigma$-аддитивной мерой на алгебре $\mathcal{A}$. Тогда по пункту (iii) теоремы 2.4.6 из [6] мера $\Phi$ допускает единственное продолжение с алгебры $\mathcal{A}$ на $\sigma$-алгебру $\sigma(\mathcal{A})$. При этом из замечания, которое следует за примером 2.4.7 в [6], вытекает, что мера $\Phi$ не может иметь знакопеременных $\sigma$-аддитивных продолжений с $\mathcal{A}$ на $\sigma(\mathcal{A})$. Значит, функция $\Phi$ неотрицательна на $\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}(\Pi)$, где через $\mathcal{B}(\Pi)$ обозначена $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств прямоугольника $\Pi$. Это доказывает справедливость условия (3) в случае, когда множество $B$ является ограниченным борелевским подмножеством в $\mathbf{R}^2$. Отсюда, а также из теоремы Беппо Леви о монотонной сходимости вытекает условие (3) в случае, когда борелевское множество $B$ не является ограниченным. Теорема доказана. При доказательстве теоремы 3 нам потребуется следующая вспомогательная конструкция. Определение 2. Каждой функции $f$ из $C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ поставим в соответствие функцию $\widetilde{f} \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R} \cup\{- \infty\}$ по формуле Доказательство теоремы 3. Утверждения (a) и (b) эквивалентны, так как являются простыми переформулироваками друг друга.
Докажем импликацию (c) $\Rightarrow$ (b). Пусть меры $\mu_1$ и $\mu_2$ удовлетворяют условию (c). Покажем, что существует мера $\lambda \in \Lambda$, для которой выполнено свойство (b). Напомним, что в соответствии с теоремой 2 множество $\Lambda$ является выпуклым и замкнутым в $\overline{\psi}$-слабой топологии пространства $\mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$. Тогда в силу теоремы Штрассена (см. [3; теорема 2.88]) для доказательства условия (b) достаточно показать, что для любых непрерывных тестовых функций $f, g \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2} f(x, y) \, d\mu_1+\int_{\mathbf{R}^2} g(x, y) \, d\mu_2 \nonumber \\ &\qquad\geqslant \inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
По функции $g \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ согласно формуле (27) построим функцию $\widetilde{g}(x, y) := \inf_{X \in \mathscr{A}^{+}} \mathbf{E}[g(x+X_{\infty}, y+A_{\infty})]$. Покажем, что если в некоторой точке $(x', y') \in \mathbf{R}^2$ функция $\widetilde{g}(x', y')$ равна минус бесконечности, то правая часть доказываемого неравенства (28) также равна минус бесконечности, а значит, неравенство (28) автоматически выполнено. В самом деле, учитывая, что для любого $X \in \mathscr{A}^+$ мера $\delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty} \\ y'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]}$ принадлежит классу $\Lambda$, получаем требуемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix}\biggr) \\ &\ \ \leqslant \inf_{X \in \mathscr{A}^+} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty} \\ y'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr) \\ &\ \ = \inf_{X \in \mathscr{A}^+}\{ f(x', y')+\mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+ A_{\infty})] \} \\ &\ \ = f(x', y')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+ A_{\infty})]= f(x', y')+ \widetilde{g}(x', y')=-\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее равенство имеет место, поскольку значение $f(x', y')$ конечно, а $\widetilde{g}(x', y')= -\infty$). Стало быть, можно считать, что функция $\widetilde{g}$ конечна всюду на $\mathbf{R}^2$. Следовательно, по лемме 2(ii) (см. раздел 4) функция $\widetilde{g}$ принадлежит классу тестовых функций $\mathcal{K}$. Тогда, учитывая, что меры $\mu_1$ и $\mu_2$ удовлетворяют условию (c), имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} \widetilde{g}(x, y) \, d\mu_2 \geqslant \int_{\mathbf{R}^2} \widetilde{g}(x, y) \, d\mu_1.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Теперь перейдем непосредственно к обоснованию неравенства (28). Из очевидной оценки $g \geqslant \widetilde{g}$ и неравенства (29) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 &\geqslant \int f \, d\mu_1+\int \widetilde{g} \, d\mu_2 \geqslant \int f \, d\mu_1+\int \widetilde{g} \, d\mu_1 \nonumber \\ &=\int (f+\widetilde{g}) \, d\mu_1 \geqslant \inf(f+ \widetilde{g}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Выделим два случая: 1) $\inf(f+\widetilde{g})$ конечен; 2) $\inf(f+\widetilde{g})= -\infty$. Случай 1): величина $\inf(f+\widetilde{g})$ конечна. Зафиксируем произвольное $\varepsilon>0$. Найдется точка $(x', y') \in \mathbf{R}^2$ такая, что $\inf(f+\widetilde{g}) \geqslant f(x', y')+\widetilde{g}(x', y')-\varepsilon$. Отсюда и из неравенства (30) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 &\geqslant f(x', y')+\widetilde{g}(x', y')-\varepsilon \nonumber \\ &=f(x', y')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+A_{\infty})]- \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Далее, найдется такой $X'' \in \mathscr{A}^+$, что
$$
\begin{equation*}
\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+A_{\infty})] \geqslant \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}'', y'+A_{\infty}'')]-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим неравенство (31) с учетом этой формулы. Имеем
$$
\begin{equation}
\int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 \geqslant f(x', y')+\mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}'', y'+ A_{\infty}'')] -2 \varepsilon.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Определим меру $\lambda''' := \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty}'' \\ y'+A_{\infty}'' \end{smallmatrix}\right]}$. Тогда неравенство (32) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 \geqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda''' \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr)-2 \varepsilon.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из неравенства (33), а также из произвольности $\varepsilon>0$ и того, что мера $\lambda'''$ принадлежит множеству $\Lambda$, получаем требуемое неравенство (28).
Случай 2): $\inf(f+\widetilde{g})=- \infty$. В этом случае существует последовательность точек $\{(x_n', y_n')\}_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathbf{R}^2$ такая, что
$$
\begin{equation}
f(x_n', y_n')+\widetilde{g}(x_n', y_n') \to-\infty \quad\text{при }\ n \to \infty.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Заметим, что для каждой точки $(x_n', y_n')$ и любого процесса $X \in \mathscr{A}^+$ вероятностная мера $\delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_n' \\ y_n' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x_n'+X_{\infty} \\ y_n'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]}$ принадлежит классу $\Lambda$. С учетом этого замечания имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(x_n', y_n')+\widetilde{g}(x_n', y_n')=f(x_n', y_n')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+}\mathbf{E}[g(x_n'+X_{\infty}, y_n'+A_{\infty})] \\ &\ = \inf_{X \in \mathscr{A}^+} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl( f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2) \bigr) \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_n' \\ y_n' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x_n'+X_{\infty} \\ y_n'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr) \\ &\ \geqslant \inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу в данном неравенстве при $n \to \infty$ и учитывая (34), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr)=- \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. правая часть требуемого неравенства (28) обращается в минус бесконечность, а значит, неравенство (28) автоматически выполнено. Таким образом, импликация (c) $\Rightarrow$ (b) полностью доказана.
Перейдем к доказательству импликации (a) $\Rightarrow$ (c). Если выполнено условие (a), то на некотором стохастическом базисе найдется такой обобщенный интегрируемый возрастающий процесс $X=(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с обобщенным компенсатором $A= (A_t)_{t \in [1, 2]}$, что $\operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]=\mu_1$ и $\operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]=\mu_2$. Пусть функция $\varphi \in \mathcal{K}$. Это означает, что для любых $x, y \in \mathbf{R}$ и любой вероятностной меры $\mu \in \mathbb{W}$ выполнено неравенство (5). Определим марковское ядро
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Q}\biggl(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}; B\biggr) := \mathbf{P}\biggl(\begin{bmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{bmatrix} \in B \biggm| \begin{bmatrix} X_1 \\ A_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix} \right] \in \mathbf{R}^2$, $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}_+^2)$. В силу леммы 6 и замечания 5 (см. раздел 4) для любого $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$ мера $\operatorname{Q}\left(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; \,{\cdot} \, \right)$ принадлежит классу $\mathbb{W}$. Отсюда и из неравенства (5) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \int_{\mathbf{R}_+^2} \varphi(x+u, y+v) \, \operatorname{Q}\biggl(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Интегрируя неравенство (35) по мере $\operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}$ и учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}= \operatorname{Law} \begin{bmatrix} X_1 \\ A_1 \end{bmatrix}=\mu_1 \quad \text{и}\quad \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]}= \operatorname{Law} \begin{bmatrix} X_2 \\ A_2 \end{bmatrix}=\mu_2,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем требуемое утверждение (c). Теорема доказана. Замечание 1. Следует отметить, что поскольку оба процесса $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ и $(A_t)_{t \in [1, 2]}$ имеют нестрого возрастающие траектории, в силу теоремы 2.95 из [3], класс тестовых функций $\mathcal{K}$ должен содержать все ограниченные борелевские функции $f \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ такие, что $f(x_1, y_1) \leqslant f(x_2, y_2)$, если $x_1 \leqslant x_2$ и $y_1 \leqslant y_2$. Более того, учитывая, что $X_t-A_t$, $t \in [1, 2]$, является мартингалом, согласно следствию 2.94 из [3] класс $\mathcal{K}$ содержит все функции $g \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ вида $g(x, y)= h(x-y)$, где $h \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ — выпуклая функция. Таким образом, мы приходим к тому, что класс $\mathcal{K}$ содержит конус $\mathcal{C}$, порожденный всеми указанными выше функциями $f$ и $g$. При этом существует функция $\varphi$ (см. пример в разделе 6), которая принадлежит классу $\mathcal{K}$, но не принадлежит конусу $\mathcal{C}$. Значит, класс тестовых функций $\mathcal{K}$ шире, чем конус $\mathcal{C}$. Это замечание поясняет нетривиальность решаемой в статье задачи. 4. Вспомогательные утверждения Лемма 1. Пусть вероятностная мера $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2))$ удовлетворяет условию (i) $\operatorname{Law}\Bigl( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigr)=\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$, (ii) $\operatorname{Law}\Bigl( \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigm| \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]\!{=}\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigr){=}\,\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \bigl( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]; \, {\cdot} \, \bigr)$ для всех $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] {\in}\, \mathbf{R}^2$, (iii) $\operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \right)=\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$, где мера $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(B \times C)=\int_{B} \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}\biggl(\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \,{C} \biggr) \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для $B \times C \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2)$. Доказательство. Доказательство данной леммы практически дословно повторяет доказательство леммы 3.1 из [7]. Требуются лишь следующие незначительные модификации. Точкам $t=n$ и $t=n+1$ из [7; лемма 3.1] соответствуют точки $t=1$ и $t=2$. В доказательстве леммы 3.1 из [7] пространство $(\Omega^{[n]}, \mathcal{F}^{[n]}, \mathbf{P}^{[n]})$ надо заменить на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2), \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,})$. Вместо вектора $\left[\begin{smallmatrix} X^{[n]}_n \\ A^{[n]}_n \end{smallmatrix}\right]$ берем произвольный случайный вектор $\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]$, имеющий распределение $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$. В доказательстве леммы 3.1 из [7] пространство $(\Omega^{\mathfrak{a}}, \mathcal{F}^{\mathfrak{a}})$ надо заменить на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2))$, а вместо марковского ядра $\operatorname{Q}$ надо взять марковское ядро $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$. Лемма доказана. Замечание 2. Мера Дирака $\delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}$, сосредоточенная в точке $\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$, принадлежит классу мер $\mathbb{W}$. Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что условие (14) выполнено не для $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}$-п.в. точек $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, а для всех точек $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$. В противном случае для тех точек $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, для которых нарушено условие (14), марковское ядро $\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \bigl( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]; \, {\cdot} \, \bigr)$ надо переопределить, заменив его на меру Дирака $\delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}$. Лемма 2. Пусть $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ и функция $\widetilde{f}$ определена формулой (27). Тогда справедливы следующие утверждения: (i) функция $\widetilde{f}$ является полунепрерывной сверху; (ii) если при этом функция $\widetilde{f}$ конечна всюду на $\mathbf{R}^2$, то она принадлежит классу тестовых функций $\mathcal{K}$. Доказательство. (i) Отметим сначала, что в формуле (27) для любых заданных величин $X_{\infty}$ и $A_{\infty}$ функция $(x, y) \mapsto \widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y) := \mathbf{E}[f(x+ X_{\infty}, y+A_{\infty})]$, стоящая под знаком точной нижней грани, является непрерывной по $x, y \in \mathbf{R}$. Этот факт несложно устанавливается с помощью теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и того, что $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$. Тогда, учитывая, что непрерывные (по $x$ и $y$) функции $\widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y)$ являются полунепрерывными сверху (по $x$ и $y$), приходим к тому, что их поточечный инфимум $\widetilde{f}(x, y)=\inf_{X \in \mathscr{A}^{+}} \widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y)$ является полунепрерывной сверху функцией (см., например, [8; лемма 2.41]).
(ii) Полунепрерывность сверху функции $\widetilde{f}$ установлена в пункте (i). Условие 1) из определения класса $\mathcal{K}$ (см. определение 1) для функции $\widetilde{f}$ вытекает из очевидной оценки $\widetilde{f} \leqslant f$ и того, что $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$. Условие 2) из определения класса $\mathcal{K}$ для функции $\widetilde{f}$ вытекает из лемм 3 и 5(i) ниже. Лемма доказана. В множестве мер $\mathbb{W}$ выделим подмножество простых мер $\mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$. Будем говорить, что $\mu$ принадлежит $\mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$, если $\mu \in \mathbb{W}$, мера $\mu$ имеет вид $\mu(dx, dy)=\sum_{j \in J} p_j \cdot \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]}(dx, dy)$, а множество $J$ конечно, где $p_j \geqslant 0$, $\sum_{j \in J}p_j =1$, а $\delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]}(dx, dy)$ — мера Дирака, сосредоточенная в точке $\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$. Лемма 3. Пусть $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ и определенная формулой (27) функция $\widetilde{f}$ конечна всюду на $\mathbf{R}^2$. Тогда для любых $x, y \in \mathbf{R}$ и любой вероятностной меры $\mu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$ выполнено неравенство Доказательство. По условию леммы $\mu \,{\in}\, \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} \,{\subseteq}\, \mathbb{W}$. Следовательно, по теореме 2.1(ii) работы [2] на некотором стохастическом базисе $(\Omega^{\circ}, \mathcal{F}^{\circ}, \mathbf{P}^{\circ}, (\mathcal{F}_t^{\circ})_{t \in [0, 1]})$ найдется такой интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}$ с компенсатором $(A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}$, что $\operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu$. При этом в соответствии с доказательством теоремы 2.1(ii) из [2] компенсатор $(A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}$ можно считать непрерывным.
Далее, учитывая, что $\mu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$, заключаем, что случайный вектор $\left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right]$ принимает конечное множество значений $\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]$, $j \in J$, с вероятностями $p_j$ соответственно. Следовательно, правая часть в формуле (36) может быть переписана в виде
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv)=\sum_{j \in J} \widetilde{f}(x+x_j, y+ a_j) \cdot p_j.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Из определения функции $\widetilde{f}$ и определения точной нижней грани следует, что для каждого $j \in J$ на некотором стохастическом базисе $(\Omega^{[j]}, \mathcal{F}^{[j]}, \mathbf{P}^{[j]}, (\mathcal{F}_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)})$ найдется такой интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$ c компенсатором $(A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{f}(x+x_j, y+a_j) \geqslant \mathbf{E}^{[j]}\bigl[f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+ A_{\infty}^{[j]}\bigr)\bigr]-\varepsilon.
\end{equation}
\tag{38}
$$
При этом в соответствии с пунктами (i) и (ii) теоремы 2.1 из [2], а также доказательством пункта (ii) этой теоремы компенсатор $(A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$ можно считать непрерывным.
Из соотношений (37) и (38) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv) \geqslant \sum_{j \in J} \mathbf{E}^{[j]}\bigl[f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+A_{\infty}^{[j]}\bigr)\bigr] \cdot p_j- \varepsilon.
\end{equation}
\tag{39}
$$
По лемме 4 на некотором стохастическом базисе $(\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*, (\mathcal{F}_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+})$ можно определить интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ с непрерывным компенсатором $(A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ такой, что для любых $x, y \in \mathbf{R}$ выполнено равенство (40). Из неравенства (39), формулы (40) и определения точной нижней грани получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv) \geqslant \mathbf{E}^*[f(x+ X_{\infty}^*, y+A_{\infty}^*)]-\varepsilon \\ &\qquad \geqslant \inf_{X \in \mathscr{A}^+}\mathbf{E}[f(x+ X_{\infty}, y+A_{\infty})]-\varepsilon=\widetilde{f}(x, y)-\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которой в силу произвольности $\varepsilon>0$ получаем требуемое неравенство (36). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть на некотором стохастическом базисе $(\Omega^{\circ}, \mathcal{F}^{\circ}, \mathbf{P}^{\circ}, (\mathcal{F}_t^{\circ})_{t \in [0, 1]})$ задан интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}$ с непрерывным компенсатором $(A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}$, причем случайный вектор $\left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right]$ принимает конечное множество значений $\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]$, $j \in J$, с вероятностями $p_j$ соответственно. Пусть на каждом стохастическом базисе $(\Omega^{[j]}, \mathcal{F}^{[j]}, \mathbf{P}^{[j]}, (\mathcal{F}_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)})$, $j \in J$, задан интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$ с непрерывным компенсатором $(A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$. Тогда на некотором стохастическом базисе $(\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*, (\mathcal{F}_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+})$ можно определить интегрируемый возрастающий процесс $(X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ с непрерывным компенсатором $(A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ такой, что для любой функции $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ и любых $x, y \in \mathbf{R}$ выполнено равенство Доказательство. Разобьем множество $\Omega^{\circ}$ на части
$$
\begin{equation*}
\Omega^{\circ, [j]} := \biggl\{\omega \in \Omega^{\circ} \colon \begin{bmatrix} X_1^{\circ}(\omega) \\ A_1^{\circ}(\omega) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_j \\ a_j \end{bmatrix} \biggr\},\qquad j \in J.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\Omega^{\circ}=\bigsqcup_{j \in J} \Omega^{\circ, [j]}$ и при этом $\mathbf{P}^{\circ}(\Omega^{\circ, [j]})=p_j$, $j \in J$. Не ограничивая общности, можно считать, что $\Omega^{[i]} \cap \Omega^{[j]}=\varnothing$ при $i \neq j$. В противном случае всегда можно рассмотреть дизъюнктные “изоморфные” копии множеств $\Omega^{[i]}$ и $\Omega^{[j]}$.
Определим вспомогательный стохастический базис $\mathbb{B}^{\oplus} := (\Omega^{\oplus}, \mathcal{F}^{\oplus}, \mathbf{P}^{\oplus}, (\mathcal{F}_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)})$. Положим $\bullet$ $\Omega^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \Omega^{[j]}$; $\bullet$ $\mathcal{F}^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \mathcal{F}^{[j]}=\bigl\{\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \colon B^{[j]} \in \mathcal{F}^{[j]}, \, j \in J\bigr\}$; $\bullet$ $\mathbf{P}^{\oplus}(B^{\oplus}) := \sum_{j \in J} \mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}) \cdot p_j$, где $B^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \in \mathcal{F}^{\oplus}$; $\bullet$ $\mathcal{F}_t^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \mathcal{F}_t^{[j]}=\bigl\{\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \colon B^{[j]} \in \mathcal{F}_t^{[j]}, \, j \in J\bigr\}$, $t \in [1, \infty)$. Тот факт, что $\mathbb{B}^{\oplus}$ является стохастическим базисом, проверяется непосредственно. На стохастическом базисе $\mathbb{B}^{\oplus}$ определим следующие процессы: $\bullet$ $X^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := X_t^{[j]}(\omega^{\oplus})$ при $\omega^{\oplus} \in \Omega^{[j]}$, $j \in J$, $t \in [1, \infty)$; $\bullet$ $A^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := A_t^{[j]}(\omega^{\oplus})$ при $\omega^{\oplus} \in \Omega^{[j]}$, $j \in J$, $t \in [1, \infty)$; $\bullet$ $M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := X_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- A_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})$ при $\omega^{\oplus} \in \Omega^{\oplus}$, $t \in [1, \infty)$. Несложно проверить, что процессы $(X_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)}$ и $(A_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)}$ являются $(\mathcal{F}_t^{\oplus}$)-согласованными. Теперь определим искомое вероятностное пространство $(\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*)$. Положим $\bullet$ $\Omega^* := \Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}$; $\bullet$ $\mathcal{F}^* := \mathcal{F}^{\circ} \otimes \mathcal{F}^{\oplus}$; $\bullet$ $\operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus}) \,{:=} \sum_{j \in J} \mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}) \cdot \mathbf{1}_{\{\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}\}}$, $\omega^{\circ} {\in}\, \Omega^{\circ}$, $B^{\oplus} {:=} \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} {\in}\,\mathcal{F}^{\oplus}$. Легко видеть, что $\operatorname{Q}$ является марковским ядром из $\Omega^{\circ}$ в $\Omega^{\oplus}$. Определим вероятностную меру
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}^*(B^{\circ} \times B^{\oplus}) := \int_{B^{\circ}} \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus}) \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}), \\ B^{\circ} \in \mathcal{F}^{\circ},\qquad B^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \in \mathcal{F}^{\oplus}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На вероятностном пространстве $(\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*)$ определим фильтрацию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_t^* := \begin{cases} \mathcal{F}_t^{\circ} \otimes \{\varnothing, \Omega^{\oplus}\} &\text{при }t \in [0, 1], \\ \mathcal{F}_1^{\circ} \otimes \mathcal{F}_t^{\oplus} &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а также процессы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) &:= \begin{cases} X_t^{\circ}(\omega^{\circ}) &\text{при }t \in [0, 1], \\ X_1^{\circ}(\omega^{\circ})+X_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases} \\ A_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) &:= \begin{cases} A_t^{\circ}(\omega^{\circ}) &\text{при }t \in [0, 1], \\ A_1^{\circ}(\omega^{\circ})+A_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
M_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) := X_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus})- A_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}), \qquad t \in \mathbf{R}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega^* := (\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) \in \Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}= \Omega^*$. Непосредственно проверяется, что $(X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ и $(A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ являются $(\mathcal{F}_t^*)$-согласованными случайными процессами. По построению процесс $(X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ является возрастающим. Предсказуемость процесса $(A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ вытекает из его непрерывности.
Докажем теперь формулу (40). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}^*[f(x+X_{\infty}^*, y+A_{\infty}^*)] := \int_{\Omega^*} f\bigl(x+ X_{\infty}^*(\omega^*),\, y+A_{\infty}^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &=\int_{\Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}} f\bigl(x+X_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+A_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &=\int_{\Omega^{\circ}} \biggl[ \int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+X_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+A_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}) \nonumber \\ &=\sum_{j \in J} \int_{\Omega^{\circ, [j]}} \biggl[ \int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+x_j+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+a_j+A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Заметим, что если $\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}$, то $\operatorname{Q}\bigl(\omega^{\circ}; \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]}\bigr)=\mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]})$. Стало быть, при $\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+a_j+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr)\, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d\omega^{\oplus}) \nonumber \\ &\qquad= \int_{\Omega^{[j]}} f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}(\omega^{[j]}),\, y+a_j+ A_{\infty}^{[j]}(\omega^{[j]})\bigr) \, \mathbf{P}^{[j]} (d \omega^{[j]}) \nonumber \\ &\qquad= \mathbf{E}^{[j]}\bigl[ f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+A_{\infty}^{[j]}\bigr) \bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Подставив (42) в (41), получаем требуемую формулу (40).
Из формулы (40), интегрируемости случайных величин $X_{\infty}^{[j]}$ и конечности множества $J$ вытекает оценка $\mathbf{E}^*[X_{\infty}^*]=\sum_{j \in J} \mathbf{E}^{[j]}[x_j+X_{\infty}^{[j]}] \cdot p_j<\infty$, которая означает интегрируемость процесса $(X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$. Перейдем к доказательству того, что $(M_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}$ является $(\mathcal{F}_t^*)$-мартингалом. Требуется доказать, что для любых точек $0 \leqslant s<t<\infty$ и любого множества $B^* \in \mathcal{F}_s^*$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*)=0.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Для этого достаточно рассмотреть следующие три случая: 1) $0\,{\leqslant}\, s\,{<}\,t \,{\leqslant}\, 1$; 2) $1<s<t$; 3) $1=s<t$. Здесь мы ограничимся рассмотрением случая 2). Остальные случаи рассматриваются аналогично, только проще.
Итак, пусть $1<s<t$. Требуется доказать, что для любого $B^* \in \mathcal{F}_s^*=\mathcal{F}_1^{\circ} \otimes \mathcal{F}_s^{\oplus}$ имеет место равенство (43). В силу свойств интеграла Лебега соотношение (43) достаточно проверить для множеств вида $B^*=B^{\circ} \times B^{\oplus}$, где $B^{\circ} \in \mathcal{F}_1^{\circ}$ и $B^{\oplus} \in \mathcal{F}_s^{\oplus}$. Заметим также, что при $1<s<t$ имеет место равенство $M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)=M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})$. В силу теоремы Фубини для марковских ядер имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &\qquad= \int_{B^{\circ} \times B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) -M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &\qquad= \int_{B^{\circ}} \biggl[ \int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Разобьем множество $B^{\circ}$ на части: $B^{\circ}=\bigsqcup_{j \in J} (B^{\circ} \cap \Omega^{\circ, [j]})$. Заметим, что если $\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}$, то $\operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus})=\mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]})$, где $B^{\oplus}=\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]}$, $B^{[j]} \in \mathcal{F}_s^{[j]}$. Следовательно, при $\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})-M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr)\, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \nonumber \\ &\qquad=\int_{B^{[j]}} \bigl(M_t^{[j]}(\omega^{[j]})-M_s^{[j]}(\omega^{[j]})\bigr) \, \mathbf{P}^{[j]}(d \omega^{[j]})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Здесь последний интеграл равен нулю, так как множество $B^{[j]}$ принадлежит $\mathcal{F}_s^{[j]}$, а процесс $(M_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}$ является $(\mathcal{F}_t^{[j]})$-мартингалом. Таким образом, из формул (44) и (45) получаем требуемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \\ &\qquad= \int_{B^{\circ}} \biggl[ \int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}) \\ &\qquad= \sum_{j \in J} \int_{B^{\circ} \cap \Omega^{\circ, [j]}} \biggl[ \underbrace{\int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})-M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus})}_{= 0, \text{ см. (45)}} \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Замечание 3. Выше мы доказали, что процесс $(M^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ является мартингалом относительно фильтрации $(\mathcal{F}^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$. Несложно проверить, что в общем случае фильтрация $(\mathcal{F}^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ не является непрерывной справа. Тем не менее справедливо следующее утверждение. Если непрерывный справа процесс $M=(M_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$ является мартингалом относительно некоторой фильтрации $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$, то он также является мартингалом относительно непрерывной справа фильтрации, порожденной фильтрацией $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbf{R}_+}$, а именно фильтрации $\mathcal{H}_t :=\bigcap_{\varepsilon>0} \mathcal{F}_{t+\varepsilon}$, $t \in \mathbf{R}_+$. Данное утверждение вытекает из следствия 8.9 в [9]. Таким образом, фильтрация в лемме 4 может быть выбрана непрерывной справа. Лемма 5. Пусть полунепрерывная сверху функция $\phi \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ такова, что существует $c \in \mathbf{R}$ такое, что $\phi(u, v) \leqslant c \cdot \psi(u, v)$ для любых $u, v \in \mathbf{R}$. Тогда справедливы следующие утверждения: (i) если найдется такое $b \in \mathbf{R}$, что для любой меры $\nu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \nu(du, dv),
\end{equation}
\tag{46}
$$
то и для любой меры $\mu \in \mathbb{W}$ верно неравенство $b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \mu(du, dv)$; (ii) если последовательность мер $(\nu_k)_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{W}$ сходится к мере $\mu \in \mathbb{W}$ в $\psi$-слабой топологии и существует константа $b \in \mathbf{R}$ такая, что для всех $k \in \mathbf{N}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \nu_k(du, dv),
\end{equation*}
\notag
$$
то и для меры $\mu$ выполнено неравенство $b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \mu(du, dv)$. Доказательство. (i) Положим $h(u, v) \,{:=}\, \phi(u, v)\,{-}\,c \,{\cdot}\, \psi(u, v)$. Эта функция является полунепрерывной сверху и ограниченной сверху. Стало быть, по теореме 3.13 из [8] найдется нестрого убывающая последовательность липшицевых функций $h_n(u, v)$, $n \in \mathbf{N}$, такая, что для любых $u, v \in \mathbf{R}$ имеет место сходимость $h_n(u, v) \downarrow h(u, v)$ при $n \to \infty$. Следовательно, для любых $u, v \in \mathbf{R}$
$$
\begin{equation}
\phi_n(u, v) := h_n(u, v)+c \cdot \psi(u, v) \downarrow h(u, v)+c \cdot \psi(u, v)=\phi(u, v) \quad \text{при }\ n \to \infty.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Легко видеть, что калибровочная функция $\psi(u, v) := 1+|x|+|y|$ является липшицевой. Стало быть, каждая из функций $\phi_n(u, v)=h_n(u, v)+c \cdot \psi(u, v)$, $n \in \mathbf{N}$, является липшицевой и, в частности, принадлежит пространству $C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$.
Далее, из условия (46) и неравенства $\phi(u, v) \leqslant \phi_n(u, v)$ вытекает, что
$$
\begin{equation}
\forall\, \nu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} \quad b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi_n(u, v) \, \nu(du, dv).
\end{equation}
\tag{48}
$$
Рассмотрим теперь произвольную меру $\mu \in \mathbb{W}$. В силу теоремы 2 из работы [10] найдется последовательность мер $(\nu_k)_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$ такая, что для любой функции $f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2)$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} f(u, v) \, \nu_k(du, dv) \to \int_{\mathbf{R}^2} f(u, v) \, \mu(du, dv) \quad \text{при }\ k \to \infty.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Согласно (48) для любых $n \in \mathbf{N}$ и $k \in \mathbf{N}$ справедлива оценка $b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi_n(u, v) \, \nu_k(du, dv)$. Если в данном неравенстве сначала перейти к пределу при $k \to \infty$ и использовать условие (49), а затем перейти к пределу при $n \to \infty$ и использовать теорему о монотонной сходимости (см. [11; гл. 2, § 6, теорема 1(b)]), получим утверждение (i) леммы.
Доказательство утверждения (ii) аналогично доказательству утверждения (i). Лемма доказана. Замечание 4. В лемме 5(i) подмножество $\mathbb{W}_{\mathrm{simp}}$ можно заменить на любое другое плотное подмножество в множестве $\mathbb{W}$ в $\psi$-слабой топологии. Лемма 6. Пусть на стохастическом базисе $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}, (\mathcal{F}_t)_{t \in [1, 2]})$ задан обобщенный интегрируемый возрастающий процесс $X=(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с обобщенным компенсатором $A\,{=}\,(A_t)_{t \in [1, 2]}$. Обозначим через $\operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; B\bigr)$, где $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, $B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}_+^2)$, регулярное условное распределение вектора приращений $\left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right]$ при условии, что $\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]$. Тогда для $\operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}$-п.в. точек $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$ мера $\operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; {\cdot} \, \bigr)$ принадлежит классу $\mathbb{W}$. Доказательство леммы аналогично доказательству утверждения 4.1 из [7]. Замечание 5. Мера Дирака $\delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}$, сосредоточенная в точке $\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$, принадлежит классу мер $\mathbb{W}$. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что утверждение леммы 6 выполнено не для $\operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}$-п.в. точек $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, а для всех точек $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$. В противном случае для тех точек $\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, для которых нарушено утверждение леммы 6, марковское ядро $\operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; {\cdot}\,\bigr)$ надо переопределить, заменив его на меру Дирака $\delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}$. 5. Конструктивная характеризация класса $\mathcal{K}$Несмотря на то, что определение 1 содержит не вполне конструктивное описание класса тестовых функций $\mathcal{K}$, оно оказалось очень удобным при доказательстве теоремы 3. Следует признать, что пользоваться этим определением при проверке конкретных функций на принадлежность классу $\mathcal{K}$ достаточно затруднительно. Поэтому хотелось бы иметь описание класса $\mathcal{K}$ с более легко проверяемыми характеризующими условиями. Следующая теорема дает такое описание (см. условие (ii)). Теорема 4. Пусть полунепрерывная сверху функция $\varphi \colon \mathbf{R}^2 \,{\to}\, \mathbf{R}$ удовлетворяет условию (4) из определения класса $\mathcal{K}$. Тогда следующие условия равносильны: (i) функция $\varphi$ удовлетворяет условию (5) из определения класса $\mathcal{K}$; (ii) для любых точек $x, y \in \mathbf{R}$, любого действительного числа $k>0$ и произвольного действительного числа $h \geqslant k$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
0 \leqslant \frac{\varphi(x, y+k)-\varphi(x, y)}{k}+\frac{\varphi(x+h, y+k)-\varphi(x, y+k)}{h};
\end{equation}
\tag{50}
$$
(iii) для любых точек $x, y \in \mathbf{R}$, любого действительного числа $k>0$ и произвольных $x_j \geqslant 0$, $p_j \geqslant 0$ таких, что $\sum_{j=1}^{n}p_j=1$ и $\sum_{j=1}^{n}x_j p_j=k$, выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Иными словами, в определении класса $\mathcal{K}$ условие (5) можно заменить на любое из условий (50) или (51). Замечание 6. Условие (ii) означает, что сумма тангенсов углов в соответствующих прямоугольных треугольниках должна быть неотрицательна. В частности, из условия (ii) при $h=k$ следует, что функция $\varphi$ растет “по диагоналям”, т.е. для любых $x, y \in \mathbf{R}$ и любого действительного $k>0$ справедливо неравенство $\varphi(x, y) \leqslant \varphi(x+ k, y+k)$. Доказательство теоремы 4. Докажем импликацию (i) $\Rightarrow$ (ii). Пусть $x, y \in \mathbf{R}$, $k>0$ и $h \geqslant k$. Несложно проверить, что мера
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{k}{h}\biggr) \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ k \end{smallmatrix}\right]}+\frac{k}{h}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix}h \\ k \end{smallmatrix}\right]}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $\mathbb{W}$. Отсюда в силу (5) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \biggl(1-\frac{k}{h}\biggr) \varphi(x, y+k)+ \frac{k}{h}\, \varphi(x+h, y+k),
\end{equation}
\tag{52}
$$
которое равносильно условию (50).
Докажем импликацию (ii) $\Rightarrow$ (iii). При $n=1$ утверждение (iii) сводится к тому, что для любых точек $x, y \in \mathbf{R}$ и любого действительного числа $k>0$ выполнено неравенство Данное условие вытекает из (ii), если положить $h=k$.Докажем утверждение (iii) при $n=2$. Будем считать, что $x_1<k<x_2$. Выделим два случая: 1) $x_1=0$ и 2) $x_1>0$. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности. 1) Пусть $x_1=0$. Напомним, что условие (50) равносильно неравенству (52). Тогда если в условии (52) выбрать $k$ и $h$ так, чтобы были выполнены условия $p_1=1-k/h$, $p_2=k/h$ и $h=x_2$, то мы получим условие (iii) при $n=2$ и $x_1=0$. 2) Если же $x_1>0$, то в силу (53) мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &p_1 \varphi(x+x_1, y+k)+p_2 \varphi(x+x_2, y+k) \nonumber \\ &\qquad\geqslant p_1 \varphi(x+x_1', y+k')+p_2 \varphi(x+x_2', y+k'), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $x_1' := 0$, $x_2' := x_2-x_1$, $k' := k-x_1$. При этом $x_1' p_1+x_2' p_2=k'$. Тем самым мы свели случай 2) к случаю 1). По доказанному в случае 1) имеем
$$
\begin{equation}
p_1 \varphi(x+x_1', y+k')+p_2 \varphi(x+x_2', y+k') \geqslant \varphi(x, y).
\end{equation}
\tag{55}
$$
Соединяя вместе (54) и (55), получаем условие (iii) при $n=2$ и $x_1>0$.
Дальнейшее доказательство свойства (iii) проведем индукцией по $n$. Предположим, что свойство (iii) справедливо при $n-1$ для $n \geqslant 3$. Покажем, что свойство (iii) справедливо при $n$. Будем считать, что $x_1<x_2<\dots<x_n$. Отсюда, учитывая, что $\sum_{j=1}^{n}x_j p_j=k$, получаем, что $x_1<k$. В силу тех же аргументов, что и при доказательстве свойства (iii) для $n=2$, изначально можно считать, что $x_1=0$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \nonumber \\ &\qquad= (p_1+p_2) \biggl[\frac{p_1}{p_1+p_2} \varphi(x+x_1, y+ k)+\frac{p_2}{p_1+p_2} \varphi(x+x_2, y+k)\biggr] \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Далее, в силу (iii) при $n=2$ и $x_1=0$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{p_1}{p_1+p_2} \varphi(x+x_1, y+k)+\frac{p_2}{p_1+p_2} \varphi(x+x_2, y+k) \geqslant \varphi\biggl(x, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr).
\end{equation}
\tag{57}
$$
Продолжив соотношение (56) с учетом неравенства (57), а также используя условие (53) и предположение индукции, получаем требуемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \\ &\qquad\geqslant (p_1+p_2) \varphi\biggl(x, y+k- \frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr)+\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \\ &\qquad\!\stackrel{(53)}{\geqslant} (p_1+p_2) \varphi\biggl(x,\, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr) \\ &\qquad\qquad +\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi \biggl(x+x_j-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2},\, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr) \\ &\qquad\geqslant \varphi(x, y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для применения предположения индукции в последнем неравенстве необходимо было убедиться в том, что
$$
\begin{equation*}
(p_1+p_2) \cdot 0+\sum_{j=3}^{n} p_j \biggl(x_j-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr)=k- \frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем теперь импликацию (iii) $\Rightarrow$ (i). Зафиксируем произвольную меру $\mu \,{\in}\, \mathbb{W}$. В соответствии с доказательством теоремы 2 (см. [10; шаг 2]) на некотором вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ существуют три последовательности случайных величин $V^{[n]}$, $W^{[n]}$ и $Z^{[n]}$, $n \,{\in}\, \mathbf{N}$, на основе которых определяются случайные величины $\widehat{V}^{[n]}$, $\widehat{W}^{[n]}$ и $\widehat{Z}^{[n]}$, для которых последовательность распределений $\nu_n := \operatorname{Law}(\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, \widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]})$ сходится к $\mu$ в $\psi$-слабой топологии. Величины $\widehat{V}^{[n]}$ и $\widehat{Z}^{[n]}$ определяются равенствами $\widehat{V}^{[n]} := V^{[n]}$ и $\widehat{Z}^{[n]} := Z^{[n]}$, а случайная величина $\widehat{W}^{[n]}$ определяется как значение компенсатора интегрируемого возрастающего процесса $V^{[n]} \mathbf{1}_{\{W^{[n]} \leqslant t\}}$, $t \in \mathbf{R}_+$, в момент времени $t=\infty$ относительно так называемой “single jump”-фильтрации (см. [12]). В данном случае эта фильтрация определяется как
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}_t^{[n]} := \bigl\{ B \in \mathcal{F} \colon B \cap \{ W^{[n]}>t\}=\varnothing \text{ или } B \cap \{W^{[n]}>t\}=\{W^{[n]}>t\} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $t \in \mathbf{R}_+$.
Зафиксируем произвольный номер $n \in \mathbf{N}$. Сначала мы покажем, что для любых $x, y \in \mathbf{R}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr].
\end{equation}
\tag{58}
$$
По построению (см. [10]) дискретные случайные величины $V^{[n]}$ и $W^{[n]}$ принимают конечное множество значений. В общем случае вектор $(V^{[n]}, W^{[n]})$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} V^{[n]} \\ W^{[n]} \end{bmatrix} =\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} \begin{bmatrix} v_{i,j} \\ w_i \end{bmatrix} \cdot \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma(i)=\{1, \dots, j_i\}$, $i=1, \dots, r$, все $\left[\begin{smallmatrix} v_{i,j} \\ w_i \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2$, $w_1<\dots<w_r$, для каждого $i \in \{1, \dots, r\}$ имеем $v_{i, 1}<\dots<v_{i, j_i}$, $\bigsqcup_{i=1}^{r} \bigsqcup_{j \in \Gamma(i)} \Omega_{i,j}=\Omega$ и все $p_{i,j} := \mathbf{P}(\Omega_{i,j})>0$.
Легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\widehat{V}^{[n]}=V^{[n]}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} v_{i,j} \cdot \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
В данной простой ситуации компенсатор процесса $V^{[n]} \, \mathbf{1}_{\{W^{[n]} \leqslant t\}}$, $t \in \mathbf{R}_+$, можно найти непосредственно. Здесь мы приведем только формулу для значения компенсатора в момент времени $t=\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{W}^{[n]}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} \biggl(\sum_{s=1}^{i} \kappa_s\biggr) \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}}, \\ \text{где}\quad \kappa_s := \frac{\sum_{j \in \Gamma(s)} v_{s,j} p_{s,j}}{\sum_{l=s}^{r} P_l}\quad\text{и}\quad P_l := \sum_{j \in \Gamma(l)} p_{l,j}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Правая часть доказываемого неравенства (58) с учетом формул (59) и (60) может быть переписана в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]},\, y+ \widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] =\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+ \sum_{s=1}^{i} \kappa_s\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, перейдем непосредственно к доказательству неравенства (58). Учитывая, что $\sum_{j \in \Gamma(r)} v_{r,j} p_{r,j}/P_r=\kappa_r$, в силу условия (iii) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]},\, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] = \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j \in \Gamma(r)} p_{r,j} \varphi\biggl(x+v_{r,j},\, y+\sum_{s=1}^{r} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y +\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+P_r \sum_{j \in \Gamma(r)} \frac{p_{r,j}}{P_r} \, \varphi\biggl(x+v_{r,j},\, y+ \sum_{s=1}^{r} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &\!\stackrel{\text{(iii)}}{\geqslant} \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) +P_r \varphi\biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+ \sum_{j \in \Gamma(r-1)} p_{r-1,j} \varphi\biggl(x+v_{r-1,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s\biggr) +P_r \varphi\biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+ (P_{r-1}+P_r) \biggl[\sum_{j \in \Gamma(r-1)} \frac{p_{r-1,j}}{P_{r-1}+P_r} \, \varphi\biggl(x+v_{r-1,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\frac{P_r}{P_{r-1}+P_r}\, \varphi\biggl(x,\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j \in \Gamma(r-1)} \frac{v_{r-1, j} p_{r-1,j}}{P_{r-1}+P_r}+0 \cdot \frac{P_r}{P_{r-1}+P_r}=\kappa_{r-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и используя условие (iii), продолжим цепочку оценок (61):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] \geqslant \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggr(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggl) \\ &\quad+(P_{r-1}+P_r) \varphi\biggl(x,\, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \\ &= \sum_{i=1}^{r-3} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+ \sum_{j \in \Gamma(r-2)} p_{r-2,j} \varphi\biggl(x+v_{r-2,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s\biggr){+}\,(P_{r-1}{+}\,P_r) \varphi \biggl(x, \, y\,{+}\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \\ &= \sum_{i=1}^{r-3} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+ (P_{r-2}{+}\,P_{r-1}{+}\,P_r) \biggl[ \sum_{j \in \Gamma(r-2)} \frac{p_{r-2,j}}{P_{r-2}{+}\, P_{r-1}{+}\,P_r} \, \varphi\biggl(x\,{+}\,v_{r-2,j},\, y\,{+}\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+\frac{P_{r-1}+ P_r}{P_{r-2}+P_{r-1}+P_r}\, \varphi \biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили оценку, аналогичную последней оценке из формулы (61). Теперь становится ясно, как продолжить данную процедуру далее. В итоге мы получим неравенство (58). В силу (58), неотрицательности случайной величины $\widehat{Z}^{[n]}$ и свойства (53), которое вытекает из (iii), имеем $\varphi(x, y) \leqslant \mathbf{E}[\varphi(x+\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]})]$. Переходя к пределу при $n \to \infty$ в последнем неравенстве, используя лемму 5(ii) и учитывая, что последовательность $\nu_n=\operatorname{Law}(\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, \widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]})$ сходится к $\mu$ в $\psi$-слабой топологии, получаем требуемое неравенство (5), что завершает доказательство импликации (iii) $\Rightarrow$ (i). Теорема 4 доказана. 6. Пример применения теоремы 3В данном разделе мы строим пример двух распределений $\mu_1$ и $\mu_2$ и с помощью некоторых прямолинейных рассуждений устанавливаем тот факт, что $\mu_1$ и $\mu_2$ не могут быть краевыми распределениями обобщенного интегрируемого возрастающего процесса и его компенсатора в моменты времени $t=1$ и $t=2$ соответственно. После этого с целью иллюстрации мы устанавливаем этот же факт с использованием теоремы 3. Итак, на $(\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2))$ рассмотрим две вероятностные меры
$$
\begin{equation*}
\mu_1 := \frac{1}{3}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}+ \frac{2}{3} \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]} \quad \text{и} \quad \mu_2 := \frac{1}{3} \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]}+ \frac{1}{3}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]}+\frac{1}{3} \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что не существует обобщенного интегрируемого возрастающего процесса $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с компенсатором $(A_t)_{t \in [1, 2]}$, для которого
$$
\begin{equation}
\operatorname{Law}(X_1, A_1)=\mu_1 \quad \text{и}\quad \operatorname{Law}(X_2, A_2)=\mu_2.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Будем рассуждать от противного. Предположим, что на некотором стохастическом базисе $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}, (\mathcal{F}_t)_{t \in [1, 2]})$ существует описанная выше пара процессов $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ и $(A_t)_{t \in [1, 2]}$. Тогда процесс $M_t := X_t-A_t$, $t \in [1, 2]$, является мартингалом. Следовательно, $\mathbf{P}$-п.н. выполнено соотношение $\mathbf{E}[M_2 \,|\, \mathcal{F}_1]\,{=}\,M_1$. Отсюда и из того, что событие $\{X_1=0,\, A_1=0\}$ принадлежит $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}_1$, вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}[M_2 \,|\, \{X_1=0, \, A_1=0\}] =\mathbf{E}[M_1 \,|\, \{X_1=0, \, A_1=0\}].
\end{equation}
\tag{63}
$$
Покажем, что $\mathbf{P}$-п.н. справедливо равенство В самом деле, поскольку процесс $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ имеет нестрого возрастающие траектории, имеем $X_1 \,{\leqslant}\, X_2$ $\mathbf{P}$-п.н. Следовательно, $\mathbf{P}(\{X_1\,{=}\,1, \, A_1\,{=}\, 0\} \cap \{X_2=0, \, A_2=2\})=0$. Значит, $\mathbf{P}$-п.н.
$$
\begin{equation*}
\{X_2=0, \, A_2=2\} \subseteq \{X_1=1, \, A_1=0\}^c=\{X_1=0, \, A_1= 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $\mathbf{P}$-п.н.
$$
\begin{equation*}
\{X_2=0, A_2=2\} \cap \{X_1=0, \, A_1=0\}=\{X_2=0, \, A_2=2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\{X_2=0, \, A_2=2\} \cap \{X_1=0, \, A_1=0\})=\mathbf{P}(\{X_2=0, \, A_2=2\})=\frac13.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из того, что $\mathbf{P}(\{X_1=0, \, A_1=0\})=1/3$, получаем требуемое условие (64). Далее, из (64) вытекает, что на множестве $\{X_1=0, \, A_1=0\}$ $\mathbf{P}$-п.н. выполнено условие $M_2=X_2-A_2=-2$, откуда следует, что левая часть равенства (63) равна минус двум. С другой стороны, очевидно, что правая часть равенства (63) равна нулю. Получили противоречие. Теперь установим этот же факт с использованием теоремы 3. Для этого рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi(x, y)=\begin{cases} \bigl((y \wedge 3.5)-(x-1) \mathbf{1}_{\{y<3.5\}}\bigr) \vee (-4) &\text{при }x \geqslant 1\text{ и } y \geqslant 0, \\ -100 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тот факт, что функция $\varphi$ принадлежит классу $\mathcal{K}$, устанавливается с помощью теоремы 4(ii) непосредственной проверкой всех условий. Для такой функции $\varphi$ имеем
$$
\begin{equation*}
-33.(3)=\int \varphi(x, y) \, d\mu_1>\int \varphi(x, y) \, d\mu_2=-33.(6).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие (c) в теореме 3 нарушено, а значит, не существует обобщенного интегрируемого возрастающего процесса $(X_t)_{t \in [1, 2]}$ с компенсатором $(A_t)_{t \in [1, 2]}$, для которого выполнено условие (62). БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю проф. А. А. Гущину за постановку задачи и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|