| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Вероятности высоких выбросов гауссовских полей на гладких многообразиях В. И. Питербаргabc a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Международная лаборатория стохастического анализа и его приложений, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия c Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, Москва, Россия
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991921 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеНастоящая работа является дальнейшим развитием метода двойных сумм для нестационарных гауссовских процессов, предложенного в работе [5] как обобщение метода Пикандса двойных сумм на нестационарные процессы. Подробное описание этих методов имеется в [10], вводная глава и гл. 2, также в [4], лекции 9 и 10. Работа является прямым продолжением работ [2], [7] и [8], где получены асимптотики вероятностей высоких выбросов для гауссовских неоднородных полей и нестационарных процессов, заданных на гладких конечномерных многообразиях и с единственной точкой достижения максимума дисперсией. Мы используем здесь тот же подход. Отличие состоит, во-первых, в рассмотрении вместо евклидова пространства гладких конечномерных многообразий и, во-вторых, максимумы дисперсий достигаются на гладких подмногообразиях меньшей размерности. Существенными условиями применения данного метода, введенными в 1978 г. в работе [5], являются поведение дисперсии и ковариации поля в точке (множестве) абсолютного максимума дисперсии. При этом условия на поведение ковариации (правильное изменение, см. ниже) являются критическими для возможности применения подхода Дж. Пикандса, и они по сути не менялись со времени работы [5], в то время как условия на дисперсию в дальнейшем были существенно ослаблены, в первую очередь в упомянутых выше работах [2], [7] и [8]. Затем, во многих исследованных позднее задачах, необходимо было рассматривать поля, для которых дисперсия достигает своего максимума на некотором подмножестве ненулевой размерности. Типичный случай — вероятность высокого выброса гауссовского векторного процесса, максимум которого очевидно связан тождеством двойственности с максимумом гауссовского поля на цилиндре, когда точка максимума модуля переходит в окружность, и задача сводится к рассмотрению максимума гауссовского поля на цилиндре. Хорошо известный пример — $\chi^2$-процесс и его обобщения (примеры и обобщения см. в [10], [13]). Новые примеры — процесс Бесселя и мост Бесселя, построенные в том числе на дробном броуновском движении, [12]. Можно также упомянуть более раннюю работу [3] в этом направлении. Пусть $X(\mathbf{t})$, $\mathbf{t}\,{\in}\, \mathcal{S}$, — гауссовское случайное почти наверное (п.н.) непрерывное поле, заданное на $d$-мерном замкнутом дифференцируемом многообразии $\mathcal{S}$. Обозначим его ковариационную функцию $R(\mathbf{s},\mathbf{t})=\mathbf E(X(\mathbf{s})X(\mathbf{t}))$, тогда $\sigma^2(\mathbf{t})=R(\mathbf{t},\mathbf{t})$ — его дисперсия. Будем считать, что она везде положительна, обозначим $r(\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2)=R(\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2)/(\sigma(\mathbf{s}_1) \sigma(\mathbf{s}_2))$ корреляционную функцию поля. Предположим следующее. Условие 1. Множество точек абсолютного максимума среднеквадратичного уклонения $\sigma (\mathbf{t})$, $\mathbf{t}\in \mathcal{S}$, является дифференцируемым конечносвязным подмногообразием многообразия $\mathcal{S}$ размерности $r<d$. Например, равенство $r=0$ означает, что $\mathcal{M}$ состоит из конечного числа точек. Замечание 1. Случай $r=0$ рассматривался в [7], [8]. Однако доказательства некоторых утверждений, относящихся к объединению различных случаев соотношения поведений дисперсии и корреляции в окрестности многообразия $\mathcal{M}$, не точны, что привело к неверной формулировке соответствующей теоремы. Подробнее это описано в начале раздела 5 ниже. Здесь будут указаны и исправлены все эти неточности. Поля, для которых $r=d$, в частности, $\sigma(\mathbf{t})$ — константа на $\mathcal{S}$, будем называть локально однородными, по аналогии с локально стационарными процессами, введенными Ю. Хюслером [6], если условие 3, приведенное ниже, выполнено. Этот случай, являющийся прямым обобщением теоремы Хюслера, также рассмотрен. Без ограничения общности будем считать, что $\sigma(\mathbf{t})\equiv1$, $\mathbf{t}\in \mathcal{M}$. К общему случаю легко перейти умножением $X$ на $\sigma$. В настоящей работе изучается асимптотическое поведение вероятности
$$
\begin{equation}
P(\mathcal{S};u):= \mathbf P\Bigl(\max_{\mathbf{t}\in \mathcal{S}}X(\mathbf{t})>u\Bigr)
\end{equation}
\tag{1}
$$
при $u\to\infty$. В разделе 2 вводятся условия на рассматриваемое поле, являющиеся развитием введенных в [6]–[8], [10], [13]. В разделе 3 вводится достаточно малая окрестность $\mathcal{M}_{\varepsilon}\subset\mathcal{S}$ многообразия $\mathcal{M}$, которая содержит полную информацию об искомом асимптотическом поведении. Утверждения и их доказательства для проекции исходного поля на карту многообразия $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ сосредоточены в разделе 4. Дается схема доказательства необходимого обобщения локальной леммы Пикандса и описание, как она здесь применяется. Последовательно рассмотрены локально-однородные поля (п. 4.1) и их перенос с карты на исходное многообразие. Почти стационарный случай и случай “острого” подхода дисперсии к точкам максимума (так называемый случай Талаграна, [10], [4]) даны в пп. 4.3–4.5. Наконец, в разделе 5 приведено описание переноса полученных утверждений на всё многообразие $\mathcal{S}$. В п. 5.1 рассматриваются комбинации трех основных случаев. Наконец, в п. 5.2 приведены некоторые примеры применения полученных результатов. 2. Другие условия и соглашенияОбозначим
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_{\varepsilon}:=\Bigl\{\mathbf{s}\in\mathcal{S} \colon \min_{\mathbf{t}\in\mathcal{M}} \|\mathbf{t}-\mathbf{s}\|< \varepsilon\Bigr\},
\end{equation}
\tag{2}
$$
$\|\,{\cdot}\,\|$ — норма в $\mathbf{R}^d$. Норма берется в произвольном атласе многообразия, расположенном по определению в $\mathbf{R}^d$, см. [1; § 2]. Определения, относящиеся к подмногообразию $\mathcal{M}_{\varepsilon}$, даны чуть ниже. В разделе 3 мы покажем, что для любого $\varepsilon>0$, в том числе стремящегося к нулю при $u\to\infty$ с определенным ограничением скорости, имеет место эквивалентность $P(\mathcal{S};u)\sim P(\mathcal{M}_{\varepsilon};u)$. Условие 2. Существует такое $\varepsilon>0$, что энтропийный интеграл Дадли множества $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ относительно естественной псевдо-полунормы поля $X(\mathbf{t})/\sigma(\mathbf{t})$, $\mathbf{t}\in\mathcal{M}_{\varepsilon}$, конечен. Определение интеграла Дадли дано, например, в [4], [10]. Из его сходимости следует п.н. непрерывность траекторий и в его терминах выписывается точная общая оценка Дмитровского для хвоста распределения максимума, определения и утверждения также даны в упомянутых двух изданиях. Атлас на $\mathcal{M}_{\varepsilon}$; см. [1]Любая точка $\mathbf{t}\in \mathcal{M}$ обладает окрестностью $\mathcal{U}\subset \mathcal{S}$, гомеоморфной $\mathbf{R}^d$, причем соответствующий гомеоморфизм $\varphi\colon\mathcal{U}\to\mathbf{R}^d$ дифференцируем. Отображение $U=\varphi(\mathcal{U})\subset\mathbf{R}^d $ называется картой окрестности $\mathcal{U}$. Мы будем также называть картой и образ $U$ данной окрестности. Поскольку $\mathcal{M}$ и $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ замкнуты, существует конечный набор таких окрестностей, которые покрывают всё многообразие $\mathcal{M}$ и такой, что для всех достаточно малых $\varepsilon$ это объединение покрывает и всё $\mathcal{M}_{\varepsilon}$. Этот набор вместе с соответствующими гомеоморфизмами образуют атлас на $\mathcal{M}_{\varepsilon}$, один из которых вместе с соответствующими гомеоморфизмами $\varphi$ зафиксируем для определенности. Далее обозначения $U$, $\mathcal{U}$ употребляются только в связи с выбранным атласом. Соглашение о координатахРассмотрим карту $U$ окрестности $\mathcal{U}$ из выбранного атласа с соответствующим $\varphi$ и выберем координатную систему в $\mathbf{R}^d$ так, чтобы
$$
\begin{equation}
M_U:=\varphi(\mathcal{U}\cap \mathcal{M})\subset \mathbf{R}^r =\{\mathbf{s}\in\mathbf{R}^d\colon s_{r+1}=\dots=s_d=0\}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Для вектора $\mathbf{s}(s_1,\dots,s_d)\in U$ обозначим — проекция точки $\mathbf{s}$ на $M$, и — ее ортогональное дополнение, $\mathbf{s}=\mathbf{s}^1+\mathbf{s}^2$. Далее зафиксируем эту координатную систему и запишем Для любой карты из зафиксированного атласа имеет место тождество
$$
\begin{equation}
P(\mathcal{U};u)=\mathbf P\Bigl(\max_{\mathbf{s}\in U}X(\mathbf{s})>u\Bigr)=P(U;u),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\mathbf{s}\in\mathbf{R}^d$ берется в выбранных координатах. В связи с тем, что окрестности $\mathcal{U}$ и их карты $U$ — открытые множества, условимся в выражении $P(A;u)$ считать, что максимум поля берется по замыканию множества $A$. Замечание 2. Заметим, что при интегрировании символ $d\mathbf{t}$ будет использоваться как для элементов объема в $U$, так и для элементов объема в $\mathcal{U}$, независимо от их размерности. Переход же от интеграла по карте к интегралу по соответствующему прообразу осуществляется стандартной заменой переменных в соответствии с гомеоморфизмом $\varphi$. Для векторов $\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_d)$, $\mathbf{b}=(b_1,\dots,b_d)\in \mathbf{R}^d$ обозначим $\mathbf{a}\mathbf{b}=(a_1b_1,\dots,a_db_d)\in\mathbf{R}^d$. Также пишем $\mathbf{a}T=\{\mathbf{a}\mathbf{t},\, \mathbf{t}\in T\}$, $T\subset\mathbf{R}^d$. Эти же обозначения будем использовать в случае необходимости и для $\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathcal{U}$, $T\subset$ $\mathcal{U}$, имея в виду выполнение этих равенств в соответствующих координатах на $U$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{a}\mathbf{b}=\varphi^{-1}\bigl(\varphi(\mathbf{a})\varphi(\mathbf{b})\bigr), \quad \mathbf{a}T=\varphi^{-1}\bigl(\varphi(\mathbf{a})\varphi(T)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Условие 3 (локальная однородность). Для всех достаточно малых $\varepsilon\,{>}\,0$ в (2), для любой карты $U$ и каждого $\mathbf{t}\in M_U$ найдется корреляционная функция $r_{\mathbf{t}}(\mathbf{s})$, $\mathbf{s}\in\mathbf{R}^d$, однородного поля, для которой $r_{\mathbf{t}}(\mathbf{s})<1$ при всех $\mathbf{s}\neq\mathbf{0}$ и имеет место соотношение Условие 4. Для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ в (2), для любой карты $U$ существуют вектор-функция $\mathbf{q}(u)=(q_1(u),\dots,q_d(u))$, $u>0$, $q_i(u)>0$, $i=1,\dots,d$, и положительная и конечная для всех $\mathbf{s}\in U\setminus M_U$ функция $h(\mathbf{s})$, $\mathbf{s}\in\mathbf{R}^d$, такие, что для каждого $\mathbf{t}\in M_U$ найдется вектор-функция $\mathbf{C}_{\mathbf{t}}=(C_{1\mathbf{t}},\dots,C_{d\mathbf{t}})$, $\mathbf{t}\in M$, причем $C_{i\mathbf{t}}\in [c,C]$, $i=1,\dots,d$, для некоторых $0<c,C<\infty$, таковы, что равномерно по $\mathbf{s}\in \mathbf{R}^d$ выполнено соотношение Для краткости будем писать иногда $\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u) =\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)$ с соответствующими компонентами $q_{i\mathbf{t}}(u)=C_{i\mathbf{t}}q_i(u)$, $i=1,\dots,d$. Из утверждения 1 ниже будет видно, что последние два условия на самом деле обобщают условия локального поведения ковариационной функции в соответствующих теоремах для нестационарных процессов и неоднородных полей в [4; лекция 10] и [10; гл. 2]. Полагая в соотношении (8) $\mathbf{s}=\mathbf{0}$, получаем, что $h(\mathbf{0})=0$. Заметим теперь, что, в силу равномерной сходимости к положительной для всех $\mathbf{s}$ вне $M_U$ функции $h$, из условия 4 следует, что $h(\mathbf{s})$ непрерывна, и для любой непрерывной $c_{\mathbf{s}}$ такой, что $\lim_{\mathbf{s}\to\mathbf{0}}c_{\mathbf{s}}=1$, имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{\mathbf{s}\to\mathbf{0}}\frac{1-r_{\mathbf{t}}(c_{\mathbf{s}}\mathbf{s})} {1-r_{\mathbf{t}}(\mathbf{s})}=1.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Из условий 3 и 4 следует свойство правильного изменения функции $r_{\mathbf{t}}(\mathbf{s})$. Доказательство следующего утверждения дано в [7]. Утверждение 1. Пусть условия 3 и 4 выполнены. Для любого вектора $\mathbf{f}\in \mathbf{R}^d$ функция $1-r_{\mathbf{t}}(s\mathbf{f})$ является правильно меняющейся в нуле с показателем $\alpha(\mathbf{f})\in(0,2]$, и Функция $\mathbf{q}(u)\mathbf{f}$ является правильно меняющейся на бесконечности, $u\to\infty$, с показателем $-2/\alpha(\mathbf{f})$. Выписав определение правильно меняющейся функции и воспользовавшись свойством (9), можно увидеть, что $\alpha(\mathbf{f})$ равно одному из $\alpha(\mathbf{e}_i)$, где $\{\mathbf{e}_i,\, i=1,\dots,d\}$ — базис в $\mathbf{R}^d$. Подробности имеются в [7], там также показано, что если $\alpha(\mathbf{f})=2$, то $\lim_{t\to0}t^{-2}(1-r(t\mathbf{f}))>0$, и для некоторого $q_{-}>0$ имеет место неравенство Введем теперь условие на поведение функции $\sigma(\mathbf{t})$ около точек из $\mathcal{M}$. Далее из доказательства леммы 2 будет видно, что поведение отношения
$$
\begin{equation}
\frac{1-\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)\mathbf{s})} {1-r_{\mathbf{t}}(\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)\mathbf{s})}
\end{equation}
\tag{11}
$$
при $u\to\infty$, $\mathbf{t}\in M$ и $\mathbf{s}\in M_{\varepsilon}$ является критическим для искомой асимптотики. Используя терминологию и обозначения условия 4, предположим следующее. Условие 5. Для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ в (2), для любого $U$, любых $\mathbf{t}\in\ M_U$ и всех $\mathbf{s}\in U \setminus M_U$ существует предел По аналогии с соответствующими условиями в [10] и [4] будем говорить о локально однородном случае, если этот предел равен нулю. Если предел равен бесконечности — говорим о случае Талаграна (“острый пик”, подробнее — в упомянутых выше публикациях). Если же предел не равен нулю или бесконечности, говорим о переходном случае. 3. Выделение информативного множестваНетрудно показать, используя неравенство Борелля–Цирельсона–Судакова (БЦС-неравенство), что для произвольного фиксированного $\varepsilon>0$ найдется $\delta\,{>}\,0$ такое, что
$$
\begin{equation}
P(\mathcal{S};u)=P(\mathcal{M}_{\varepsilon};u)\bigl(1+O\bigl(e^{-\delta u^2}\bigr)\bigr),\qquad u\to\infty.
\end{equation}
\tag{13}
$$
См., например, [10; теорема D.1]. Нам понадобится более точная окрестность $\mathcal{M}$. Из условия 2 следует неравенство В. А. Дмитровского (см. [10], [4]), дающее более точное неравенство. Следующая лемма доказана в [7] с использованием неравенства Дмитровского. Лемма 1. В вышеприведенных условиях и обозначениях найдется $\gamma(u)$, $\gamma(u)\to0$ при $u\to\infty$, такое, что при $u\to\infty$, где Иногда в доказательствах удобнее зафиксировать малое $\varepsilon>0$, даже если $u$ стремится к бесконечности. Поэтому ниже в записи $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ мы будем подразумевать, что $\varepsilon$ произвольно мало, и $u$ соответственно — достаточно большое. 4. Основные результатыУтверждения и их доказательства следуют стандартной схеме метода Пикандса двойных сумм, который постоянно развивался для его применения во все более общих и сложных схемах. Сначала будет рассмотрена лемма Пикандса, затем ее применение во всех трех случаях соотношения поведений корреляционной функции и дисперсии, (41), (42). Ввиду возможной сложности рассматриваемой модели гауссовского поля (условие 6), как уже упомянуто во введении, все утверждения здесь сформулированы и доказаны для одной карты $U$ из атласа многообразия $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ и соответствующей карты $M_U$ пересечения $\mathcal{U}$ c $\mathcal{M}$, см. (3), т.е. фактически для поля, заданного на евклидовом пространстве. По этой причине доказательства в основном даны схематически. Полные доказательства привели бы к неоправданному увеличению объема статьи, они скорее уместны для монографии. Исключением является лишь построение разбиения параметрического множества на малые подмножества оптимального размера, позволяющего, используя неравенства Бонферрони и другие простые оценки, приблизить искомую асимптотику вероятности выхода за высокий уровень суммой вероятностей выхода по этим малым множествам. Этот шаг — построение разбиения — будет рассмотрен детально. 4.1. Лемма ПикандсаВведем гауссовское п.н. непрерывное поле $\chi(\mathbf{s})$, $\chi(\mathbf{0})=0$, с параметрами
$$
\begin{equation*}
\operatorname{var}\bigl(\chi(\mathbf{s}_1)-\chi(\mathbf{s}_2)\bigr) =2h(\mathbf{s}_1-\mathbf{s}_2), \qquad \mathbf E\chi(\mathbf{s})=-h(\mathbf{s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Существование случайного поля с такими первыми двумя моментами следует из условия 4 и доказательства следующей леммы, являющейся обобщением леммы 6.1 из [10]. Для этого поля введем константу, обобщающую константу Пикандса (см. [4; лемма 9.2.1]):
$$
\begin{equation}
P_{\mathbf{q},\mathbf{t}}(T)=\mathbf E\exp\Bigl(\max_{\mathbf{s}\in T}\bigl(\chi(\mathbf{s}) -h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\bigr)\Bigr),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $T\subset\mathbf{R}^d$, $\mathbf{t}\in M_U$, см. (3). Для гауссовского стационарного процесса, введенного Пикандсом, с ковариационной функцией, удовлетворяющей условию $r(t)=1-|t|^{\alpha}(1+o(1))$, $t\to 0$, имеем $h(s)=|s|^{\alpha}$, т.е. $\chi(s)$ — дробное броуновское движение со сдвигом $-|t|^{\alpha}$, см. упомянутую выше лемму. Обозначим Лемма 2. В вышеприведенных условиях и обозначениях для любого ограниченного замкнутого множества $T\subset\mathbf{R}^d$ и любой $\mathbf{t}\in M_U$ (см. (3)) такой, что $\mathbf{t} \notin\partial U$ (внутренняя точка карты $U$), имеет место соотношение $u\to\infty$, где, как сказано выше, $\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u) =\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)$. Если $\mathbf{t}\in\partial U\cap M_U$ и $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\equiv0$, то это соотношение также имеет место. Если $\mathbf{t}\in\partial U\cap M_U $ и $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\neq0$ для некоторого $\mathbf{s}$, то множество $T$ соответственно обрезается. Схема доказательства. Зафиксируем $\varepsilon$ в (2) столь малым, чтобы все вышеприведенные условия были выполнены. Пусть сначала точка $\mathbf{t}$ — внутренняя точка. Тогда $\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)T\subset U$ для всех достаточно больших $u$. Доказательство близко следует доказательству упомянутой леммы 6.1 с очевидными дополнительными рассуждениями в случае $\mathbf{t}\in M_U\cap\partial U$, когда обрезание порождается принадлежностью множества $\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)T$ карте $U$. Наглядным примером является последнее утверждение теоремы 10.1 в [4], когда точка максимума дисперсии — конечная точка рассматриваемого отрезка. Повторим начальные шаги этого доказательства в настоящих условиях. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf P\Bigl(\max_{\mathbf{s}\in \mathbf{t}+ \mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)T}X(\mathbf{s})>u\Bigr) \nonumber \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-v^2/2} \mathbf P\Bigl( \max_{\mathbf{s}\in \mathbf{t}+ \mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)T}X(\mathbf{s})>u\Bigm| X(\mathbf{t})=v \Bigr) \, dv \nonumber \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\, u}\, e^{-u^2/2}\int_{-\infty}^{\infty} \! e^{w-w^2/(2u^2)} \mathbf P \biggl( \max_{\mathbf{s}\in \mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)T} X(\mathbf{s})\,{>}{\kern1pt}u\biggm| X(\mathbf{t})\,{=}\,u\,{-}{\kern1pt}\frac{w}{u}\biggr) \, dw, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где была произведена замена переменных $v=u-w/u$. Введем гауссовское поле
$$
\begin{equation}
\chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{s}):=u\bigl(X(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}) -u\bigr) +w.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Последний интеграл в (18) перепишем как
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{w-w^2/(2u^2)} \mathbf P\biggl( \max_{\mathbf{s}\in T} \chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{s})>w\biggm| X(\mathbf{t})=u-\frac{w}{u}\biggr)\, dw.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Далее,
$$
\begin{equation}
\mathbf E\biggl( \chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{s})\biggm| X(\mathbf{t}) =u-\frac{w}{u}\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad =-u^2\bigl(1-R(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\bigr) +w\bigl(1-R(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\bigr),
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{var}\biggl( \chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{s}_1)-\chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{s}_2)\biggm| X(\mathbf{t})=u-\frac{w}{u}\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad =u^2\bigl( \operatorname{var}[X(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1) -X(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2)] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad -[R(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1) -R(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2)]^2\bigr).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf E\biggl( \chi_{u\mathbf{t}}(\mathbf{0})\biggm| X(\mathbf{t})=u-\frac{w}{u}\biggr) = \mathbf E\biggl( \chi_{u\mathbf{t}}^2(\mathbf{0})\biggm| X(\mathbf{t})=u-\frac{w}{u}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\sigma(\mathbf{t})=1$, то, в силу условий 4 и 5,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u^2\bigl(1-R(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\bigr) = u^2\bigl(1-r(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\sigma(\mathbf{t} +\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\bigr) \nonumber \\ &\qquad =u^2\bigl(1-\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s})\bigr) +u^2\bigl(1-r(\mathbf{t},\mathbf{t}+\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)\mathbf{s})\bigr) \sigma(\mathbf{t}+\mathbf{C}_{\mathbf{t}}\mathbf{q}(u)\mathbf{s}) \nonumber \\ &\qquad =(h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})+h(\mathbf{s}))(1+o(1)) \quad \text{при} \quad u\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{var}[X(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1)) -X(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2)] =\sigma^2(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1) +\sigma^2(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2) \\ &\qquad\qquad -2\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1)\sigma (\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2)r(\mathbf{t} +\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1,\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2) \\ &\qquad =\bigl((\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1)-1) +(1-\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2))\bigr)^2 \\ &\qquad\qquad +2\sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1) \sigma(\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2) \bigl(1-r(\mathbf{t} +\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_1,\mathbf{t}+\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)\mathbf{s}_2)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 5 первое слагаемое в сумме справа есть $O(u^{-4})$, $u\to \infty$, равномерно по $\mathbf{s}_1$, $\mathbf{s}_2$. В силу условий 3 и 4 второе слагаемое в сумме справа есть $2u^{-2}h(\mathbf{s}_2-\mathbf{s}_1)(1+o(1))$ равномерно по $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2\in U $ при $u\to\infty$. Остаток доказательства полностью повторяет доказательство леммы 6.1, включая условие слабой мажорированной сходимости при $u\to\infty$ поля $\chi_{u\mathbf{t}}(\,{\cdot}\,)$ и интеграла в соотношении (18). Замечание 3. В локально однородном случае, т.е. $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\equiv0$, константу $P_{\mathbf{q},\mathbf{t}}(T)$ традиционно обозначают другой буквой: РазбиениеЛокальная лемма 2, как и все другие вспомогательные утверждения, будет применяться отдельно на каждой карте $U$ зафиксированного атласа. Поэтому построим разбиение карты $U$ на малые множества, для которых лемма применима, и асимптотику вероятности выхода на всей карте можно будет заменить суммой асимптотик, полученных в этой лемме1. Начнем строить разбиение с множества $M_U$ (карты пересечения $\mathcal{U}\cap \mathcal{M}$) и с первой координатной оси в $\mathbf{R}^d$, $\{\mathbf{t}=t\mathbf{e}_1,\, t\in\mathbf{R}\}\subset M_U$, где $\{\mathbf{e}_i,\, i=1,\dots,d\}$ — зафиксированный в (3) базис. Обозначая точки деления (решетки) $\mathbf{t}_{k_1}^1=(t_{k_1}^1,0,\dots,0)$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{t}_{k_1}^1=T\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{k_1-1}^1}(u)\mathbf{e}_1,\qquad \mathbf{t}_{0}^1=\mathbf{0},\quad T>0,\quad k_1=1,2,\dots,\ \text{где }\ \mathbf{t}_{k_1}^1\in M_U,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. следующая точка $\mathbf{t}_{k_1+1}^1 $ лежит вне $M_U$. Аналогично в отрицательную сторону, $k_1=-1,-2,\dots$, до $\mathbf{t}_{k_1}^1\in M_U$ и $\mathbf{t}_{k_1-1}^1\notin M_U$. Далее, берем
$$
\begin{equation}
\forall\, \mathbf{t}_{k_1}^1,\ \mathbf{t}_{k_2}^2=\mathbf{t}_{k_1}^1 +T\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{k_2-1}^2}(u)\mathbf{e}_2,\ \mathbf{t}_{0}^2=\mathbf{t}_{k_1}^1,\quad k_2=1,2,\dots,\ \text{где }\ \mathbf{t}_{k_2}^2\in M_U,
\end{equation}
\tag{25}
$$
и следующая точка $\mathbf{t}_{k_2+1}^1 $ лежит вне $M_U$. Аналогично в отрицательную сторону, $k_2=-1,-2,\dots$. И так далее. Наконец, берем
$$
\begin{equation}
\forall\, \mathbf{t}_{k_r}^{r-1},\ \mathbf{t}_{k_r}^r=\mathbf{t}_{k_{r-1}}^{r-1} +T\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{k_r-1}^r}(u)\mathbf{e}_r,\ \mathbf{t}_{0}^r=\mathbf{t}_{k_{r-1}}^{r-1},\quad k_r{=}\,1,2,\dots,\ \text{где }\ \mathbf{t}_{k_r}^r{\in}\, M_U,
\end{equation}
\tag{26}
$$
аналогично для $k_r=-1,-2,\dots$ вплоть до крайних точек. Чтобы продолжить построение решетки на все $U$, запишем построенные точки $\mathbf{t}_{k_r}^r$ как $d$-мерные векторы $\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r$, $\mathbf{k}=(k_1,\dots,k_r,0,\dots,0)\in\mathbf{Z}^d$, и введем обозначение $\mathcal{N}_r:=\{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r\}$ — решетка на $M_U$ соответствующей карты многообразия максимума дисперсии. Заметим, что для произвольной точки $\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r$ $2^r$ точек вида $\mathbf{t}_{\mathbf{k}+\kappa}^r$, у которых для первых $r$ координат $\kappa$ равно $0$ или $1$, а для остальных $d-r$ — только $0$, образуют $r$-мерный многогранник с параллельными гранями, в случае $r=2$ — трапецию. Обозначим их через $\Delta_{\mathbf{k}}^r$. Заметим, что некоторые вершины у некоторых $\Delta_{\mathbf{k}}^r$ расположены вне $M_U$. Дополним построенное на $M_U$ разбиение $\{\Delta_{\mathbf{k}}^r,\, \mathbf{k}\,{=}\,(k_1,\dots, k_r,0,\dots,0)\,{\in} \mathbf{Z}^d\}$ до разбиения на всем $U$. Заметим, что сейчас не требуем принадлежности $M_U$ этих многогранников. Рассмотрим для каждого многогранника $\Delta_{\mathbf{k}}^r$ подпространство $\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r+\mathbf{R}^{d-r}$ и зафиксируем в $\mathbf{R}^{d-r}$ $(d-r)$-мерную равномерную прямоугольную сеть с ребрами $T\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)\mathbf{e}_j$, $j=r+1,\dots,d$. Обозначим их соответственно
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{d-r}=\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r+T\mathbf{l} \mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)+\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)[0,T]^{d-r}, \qquad \mathbf{l}=(0,\dots,0,l_{r+1},\dots,l_d)\in\mathbf{Z}^d.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Наконец, возьмем из этих многогранников только имеющие непустое пересечение с $U$:
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d:=\Delta_{\mathbf{k}}^r\times\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{d-r}, \qquad \Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d\cap U \neq \varnothing.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Таким образом, разбиение карты $U$ построено. Лемма 2 применима для каждого многогранника разбиения с векторами $\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r+T\mathbf{l}\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)$ и $\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)$ вместо $\mathbf{t}$ и $\mathbf{q}_{\mathbf{t}}(u)$, и соответствующими множествами $[0,T]^r\times [0,T]^{d-r}$ вместо $T$. Построенное разбиение вместе с леммой 2 являются основой для применения метода двойных сумм Пикандса. Заметим, что это разбиение зависит от структуры многообразий $\mathcal{S}$ и $\mathcal{M}$ и от соответствующих условий на поле $X(\mathbf{t})$. Далее увидим, что, например, для локально однородных полей достаточно только схемы разбиения карт $M_U$ многообразия $\mathcal{M}$. Для случаев Талаграна и переходного достаточно разбиения карт $U$ только с $l_i=0$ и $l_i=-1$, т.е. только соседних с $\mathcal{M}$ элементов. Напомним, что в методе двойных сумм вводятся события
$$
\begin{equation*}
A_{\mathbf{k},\mathbf{l}}:=\Bigl\{\sup_{\mathbf{t}\in \Delta_{\mathbf{k},\mathbf{l}}^d} X(\mathbf{t)}>u \Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой карты $U$ и всех достаточно больших $u$ справедливы включения
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\Delta_{\mathbf{k},\mathbf{l}}\subset U} A_{\mathbf{k},\mathbf{l}}\subseteq \Bigl\{ \sup_{\mathbf{s}\in U}X(\mathbf{s})> u\Bigr\} \subseteq \bigcup_{\Delta_{\mathbf{k},\mathbf{l}}\cap U\neq\varnothing} A_{\mathbf{k},\mathbf{l}}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Далее вероятность события справа оценивается сверху суммой вероятностей и для вероятности события слева применяется неравенство Бонферрони. 4.2. Локально однородное гауссовское поле на всем $\mathcal{S}$Пусть $\sigma(\mathbf{t})=1$ для всех $\mathbf{t}\in\mathcal{S}$, т.е. $\mathcal{M}=\mathcal{S}$ и условие 3 выполнено для всех $\mathbf{t}$ и $\mathbf{s}$. Кроме того, условие 1 пропадает. Будем говорить в этом случае, что поле $X(\mathbf{t})$, $\mathbf{t}\in \mathcal{S}$, является локально однородным на всем многообразии $\mathcal{S}$. Это, конечно, означает, что условие 4 выполнено для любой карты $\mathcal{U}$ фиксированного атласа на $\mathcal{S}$ с соответствующими $C_{\mathbf{t}i}(u)$ и $q_i(u)$, $i=1,\dots,d$. В частности, как и везде ранее, поле $X(\mathbf{t})$, $\mathbf{t}\in\mathcal{M}$, локально однородно. Следующая теорема является обобщением известной теоремы Ю. Хюслера [6]. Первая версия теоремы 1 опубликована в [3]. Теорема 1. Пусть условия 3 и 4 выполнены для всех $\mathbf{t}\in \mathcal{S}$. Тогда для любой карты $U$ из атласа на $\mathcal{S}$ выполнено соотношение при $u\to\infty$, где $\mathcal{U}=\varphi^{-1}(U)$ и Это утверждение имеет место для любого подмногообразия $\mathcal{U}_1(u)\subset \mathcal{U}$, зависящего от $u$ таким образом, что существуют параллелепипеды $U_1^{\pm}(u)=\times_{i=1}^d[-U_{1i}^{\pm}(u),U_{1i}^{\pm}(u)]$ такие, что $U_1^{-}(u)\subset U_1(u)\subset U_1^{+}(u)$, при этом $U_{1i}^{-}(u)q_i(u)\to\infty$, $u\to\infty$, $i=1,\dots,d$, где $U_1=\varphi(\mathcal{U}_1)$. Замечание 4. Параметрическое множество $\mathcal{U}_1$ может неограниченно уменьшаться, но не слишком быстро. На самом деле утверждение теоремы также имеет место, если $\mathcal{U}_1$ неограниченно расширяется, но также не слишком быстро, чтобы доказательство оставалось в силе. Подразумевается здесь, конечно, что $\mathcal{S}$ не замкнуто. Точная формулировка достаточно очевидна, она приведена в [7; теорема 1]. Доказательство теоремы практически повторяет доказательство теоремы 7.1 в [10] для конечномерного случая, см. также теорему D.2 там же и теорему 9.15 в [4], при этом, конечно, используется построенное выше разбиение и соответственно включения (29). Условия на поведение корреляционной функции здесь существенно более общие, без структурного деления параметрического пространства, как в теореме 7.1, однако это наоборот приводит к упрощению доказательства, которое становится более похожим на одномерный случай, как в упомянутых выше теоремах D.2 и 9.15. Как сказано выше, доказательство проводится с использованием функций $C_{\mathbf{t}i}$ и $q_i(u)$, введенных для $U$. Затем, в соответствии с (7), производится замена переменных $\mathbf{t}\to\varphi(\mathbf{t})$. Заметим, что функции $C_{\mathbf{t}i}$ при этом изменятся, однако $\mathbf{q}(u)$ остается той же. Нам понадобится следствие из этой теоремы. Следствие 1. Для любого $\mathcal{M}_1\subset\mathcal{U}\cap \mathcal{M}$, являющегося замыканием открытого множества, имеет место соотношение 4.3. Локально однородное гауссовское поле на $\mathcal{M}$Рассмотрим случай, когда для всех точек из карты $U$ некоторого $\mathcal{U}$ условие 5 выполнено с нулем в правой части, т.е. $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})=0$ для любых $\mathbf{t}\in M_U$ и $\mathbf{s}\in U\setminus M_U$. Если это выполнено, скажем, что $X(\mathbf{t})$ локально однородно на $\mathcal{M}$. Обозначим и введем интеграл Лапласа
$$
\begin{equation}
L_{f}(\lambda):=\int_{U}e^{-\lambda f(\mathbf{s})}\, d\mathbf{s},\qquad \lambda>0.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Напомним, что асимптотика этого интеграла при $\lambda\to\infty$ зависит только от поведения функции $f(\mathbf{s})$ в нуле, в данном случае при приближении $\mathbf{s}$ к множеству $ M_U$. Теорема 2. Пусть для некоторого $\mathcal{U}$ из фиксированной системы окрестностей в $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ выполнены условия 2–5. Если в условии 5, кроме того, $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})=0$ для всех $ \mathbf{t}\in M_U$ и всех $ \mathbf{s}\in U\setminus M_U$, то при $u\to\infty$. Схема доказательства. Возьмем положительную возрастающую функцию $\kappa(u)$, $u>0$, такую, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{u\to\infty}\kappa(u)=\infty,\quad \text{но }\ \lim_{u\to \infty} q_i(u)\kappa(u)=0,\ i=1,\dots,d.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
B_{\mathbf{0}}:=\kappa(u)\bigotimes_{i=1}^d[0,q_i(u)]
\end{equation*}
\notag
$$
и разобьем карту на прямоугольные параллелепипеды, конгруэнтные $B_{0}$. Схема разбиения повторяет вышеприведенную, т.е. начинаем разбиение с разбиения множества $M_U$ размерности $r$ и далее движемся по оставшимся координатам. Другими словами, вместо множества $T$ берем куб с ребрами длины $\kappa(u)$ и вместо вектора $C_{\mathbf{t}}$ — единичный вектор. Таким образом, соотношение (28) заменяется на
$$
\begin{equation*}
B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d:=B_{\mathbf{k}}^r\times B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{d-r},\qquad B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d\cap M_{u}\neq\varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
где все $B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d$ конгруэнтны $B_{\mathbf{0}}$. Далее, обозначим
$$
\begin{equation*}
C_{i\mathbf{k}}^{+}:=\max_{\mathbf{t}\in B_{\mathbf{k}}^r(u)} C_{i\mathbf{t}},\quad C_{i\mathbf{k}}^{-}:=\min_{\mathbf{t}\in B_{\mathbf{k}}^r(u)}C_{i\mathbf{t}},\qquad i=1,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{+}=\max_{\mathbf{t}\in B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u)} \sigma(\mathbf{t}),\qquad \sigma_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{-}=\min_{\mathbf{t}\in B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u)}\sigma(\mathbf{t}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\xi_{\mathbf{k}}(\mathbf{s})$, $\mathbf{s}\in\mathbf{R}^d$, — гауссовские однородные поля с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариационными функциями, равными соответственно $r_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}}(\mathbf{s})$, как в условиях 3, 4. В силу монотонности относительно дисперсии и неравенства Слепяна (монотонность относительно ковариации) (см. [4], [10]) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P(B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u);u)\geqslant \mathbf P\Bigl( \max_{\mathbf{s}\in B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u)} \sigma_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^-\xi_{\mathbf{k}} (\mathbf{C}_{\mathbf{k}}^+\mathbf{s})>u\Bigr), \\ P(B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u);u) \leqslant \mathbf P\Bigl( \max_{\mathbf{s}\in B_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d(u)} \sigma_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^+\xi_{\mathbf{k}} (\mathbf{C}_{\mathbf{k}}^-\mathbf{s})>u\Bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
К вероятностям справа применяем теорему 1. Теперь к искомой вероятности применяем неравенства (29). Поскольку в силу выбора $\kappa(u)$ кубы разбиения неограниченно уменьшаются, полученные суммы асимптотик справа при $u\to\infty$ достаточно стандартным образом можно заменить на интегралы, которые к тому же неограниченно сближаются. Возникнет интеграл $L_{f}(u^2)$, см. (34). Осталось оценить двойную сумму в неравенстве Бонферрони, т.е. сумму вероятностей по объединению множеств $B_{\mathbf{k}_1\mathbf{l}_1}^d$ и $B_{\mathbf{k}_2\mathbf{l}_2}^d$. Процедура оценивания, как впрочем и все рассуждения выше, является простым прямым обобщением соответствующих процедур в [2], [7], [8]. В случае нулевой размерности многообразия $\mathcal{M}$ подробное доказательство имеется в [7; предложение 3]. 4.4. Переходный случайПредположим теперь, что все точки $\mathbf{t}\in \mathcal{M}\cap \mathcal{U}$ — переходные, т.е. $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\in (0,\infty)$ для всех $\mathbf{s}\in \mathcal{U}\setminus \mathcal{M}$. Как уже указывалось выше, в этом случае точки $\mathbf{t}$ делятся на два типа: принадлежащие границе многообразия $\mathcal{U}$ и не принадлежащие ей. Переходя к карте $U$, обозначим
$$
\begin{equation}
\Pi_{\mathbf{t}}:=[0,T]^r\times\lbrack-S,S]^{d-r}\mathbf{I}_{\mathbf{t}\notin \partial U}+[0,T]^r\times [0,S]^{d-r}\mathbf{I}_{\mathbf{t}\in \partial U}, \quad \mathbf{t}\,{\in}\, M\cap U,
\end{equation}
\tag{36}
$$
$\mathbf{I}_{(\,{\cdot}\,)}$ — индикатор множества, теперь константа (16) приобретает вид
$$
\begin{equation*}
P_{\mathbf{q},\mathbf{t}}(\Pi)=\mathbf E\exp\Bigl(\max_{\mathbf{s}\in \Pi_{\mathbf{t}}} \bigl(\chi(\mathbf{s})-h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\bigr)\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3. Пусть для некоторого $\mathcal{U}$ из фиксированной системы окрестностей в $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ выполнены условия 2–5. Если, кроме того, $ h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})\in (0,\infty)$ для любого $\mathbf{s}\in \mathcal{U}\setminus \mathcal{M}$, то при $u\to\infty$, где Схема доказательства. Построим разбиение $\{\Delta_{\mathbf{k}}^r,\, \mathbf{k}=(k_1,\dots,k_r, 0,\dots,0)\in\mathbf{Z}^d\}$ множества $M_U$, как и выше, после условия 5, но теперь модифицируем продолжение его до разбиения всего $U$, (27), следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^{d-r}=\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r +S\mathbf{l}\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u) +\mathbf{q}_{\mathbf{t}_{\mathbf{k}}^r}(u)[-S,S]^{d-r}, \\ S>0,\qquad \mathbf{l}=(0,\dots,0,l_{d-r+1},\dots,l_d)\in \mathbf{Z}^d, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{38}
$$
получая тот же вид (28) элементов разбиения. Рассмотрим случай $\mathbf{t}\notin\partial U$ для всех $\mathbf{t}$, случай расположения точек $\mathbf{t}$ на границе рассматривается аналогично. То есть первое слагаемое справа в (36) пропадает, и множество $T$ из леммы 2 имеет вид $[0,T]^r\times[-S,S]^{d-r}$. Будем использовать здесь модифицированную схему (29) оценивания искомой вероятности снизу и сверху, а именно:
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{0}}^d\subset U}A_{\mathbf{k}\mathbf{0}} \subseteq\Bigl\{ \sup_{\mathbf{s}\in U}X(\mathbf{s})>u\Bigr\} \subseteq \bigcup_{\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{0}}^d\cap U\neq\varnothing}A_{\mathbf{k},\mathbf{0}} \ \cup \bigcup_{\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d\cap U\neq\varnothing,\, \mathbf{l}\neq\mathbf{0}}A_{\mathbf{k},\mathbf{l}}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Так же, как и выше, считаем, что уровень $u$ достаточно высок, т.е. $\varepsilon$ достаточно мало. Асимптотика вероятности объединения событий слева выводится с применением стандартного метода двойных сумм, подобно предыдущему разделу, с использованием леммы 2. Как и выше, стандартно показывается, что часть двойной суммы по далеко отстоящим множествам разбиения $\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}^d$ бесконечно меньше при $u\to\infty$, чем одинарные суммы. Оставшаяся часть двойной суммы, по близким множествам $\Delta_{\mathbf{k}\mathbf{0}}^d$, становится сколь угодно меньше при $T\to\infty$, даже при фиксированном $S$. В силу аналогичной процедуры сумма вероятностей событий $A_{\mathbf{k},\mathbf{0}}$ справа при $u\to\infty$ имеет тот же порядок убывания, если положить $T\to \infty$. Эта процедура подробно описана в [4], [10] и практически здесь ничем не отличается. Вероятность события во втором объединении справа оценивается сверху суммой вероятностей событий $A_{\mathbf{k},\mathbf{l}}$ с ненулевыми $\mathbf{l}$. Оказывается, что сумма асимптотик этих вероятностей при $u\to\infty$ бесконечно меньше суммы асимптотик вероятностей $\mathbf P(A_{\mathbf{k},\mathbf{0}})$ при неограниченном росте $S$. Эта процедура слово в слово повторяет соответствующую процедуру в [7] и почти идентична тому же в [10; доказательство теоремы 8.2] и в [4; лекция 10]. 4.5. Случай ТалагранаТеперь предположим, что все $\mathbf{t}\in \mathcal{M}\cap \mathcal{U}$ являются точками Талаграна. Теорема 4. Пусть для некоторого $\mathcal{U}$ из фиксированной системы окрестностей в $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ выполнены условия 2–5. Если, кроме того, $h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})=\infty$ для любого $\mathbf{s}\in \mathcal{U}\setminus \mathcal{M}$, то То есть асимптотика рассматриваемой вероятности совпадает с асимптотикой вероятности $P(\mathcal{U}\cap \mathcal{M};u)$, данной в следствии 1. В случае, когда $\mathcal{M}$ состоит из одной точки, асимптотика равна $\Psi(u)(1+o(1))$, это доказано в [7]. Схема доказательства. Рассмотрим то же разбиение, что и в (38). В настоящем случае, для произвольно малого $S>0$ и всех достаточно больших $u$ информативное множество $\mathcal{U}\cap \mathcal{M}_{u}$ содержится в первом слое разбиения, т.е. $\mathbf{l}=\mathbf{0}$. Следовательно, в этом случае для любого множества $A\subset M_U$, являющегося замыканием открытого, любого произвольно малого $S>0$ и всех достаточно больших $u$
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\Delta_{\mathbf{k}}^r\subset M_U\cap A} A_{\mathbf{k}}^r\subseteq \Bigl\{ \max_{\mathbf{s}\in A}X(\mathbf{s})>u\Bigr\} \subseteq \bigcup_{\Delta_{\mathbf{k},\mathbf{0}}\cap A\neq\varnothing} A_{\mathbf{k},\mathbf{0}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_{\mathbf{k}}^r:=\Bigl\{\sup_{\mathbf{t}\in \Delta_{\mathbf{k}}^r} X(\mathbf{t)}>u \Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку слева используются только множества разбиения границы $M_U$, асимптотика вероятности события слева вычислена в следствии 1. Вероятность события справа не превосходит суммы вероятностей слагаемых $A_{\mathbf{k},\mathbf{0}}$. Берем в лемме 2 $S$ произвольно малым (см. (36)). Далее пользуемся непрерывностью константы $P_{\mathbf{q},\mathbf{t}}(\Pi)$ относительно размера параллелепипеда $\Pi$. При этом используется факт, что если аргумент у $\sigma(\,{\cdot}\,)$ в (12) лежит в $M_U$, то выражение под знаком предела обращается в нуль. Доказательство и здесь почти совпадает с соответствующей частью доказательства теоремы 8.2 в [10; лемма 8.4], см. также [4; лекция 10] и [7].
5. Комбинации различных случаев. ПримерыРассмотрим теперь ситуацию, когда не существует атласа на $\mathcal{M}_{\varepsilon}$, для карт $U=\varphi(\mathcal{U)}$ каждой окрестности из которого применима одна из теорем 2, 3 или 4. Так, из доказательства основной теоремы в статье [7] и ранее — в монографии [10; раздел 2.8] видно, что даже в случае одной точки абсолютного максимума дисперсии поля, $\dim\mathcal{M}=0$, формулировка результата, объединяющего все три случая, и тем более доказательство весьма громоздки. Это обстоятельство, в сочетании с недосмотром авторов, привело в [7], [8] к ошибочной формулировке теоремы, объединяющей все три случая, в то время как рассмотрение этих случаев по отдельности проведено корректно. Автор благодарен профессору Энкелейду Хашорве, который обратил внимание на это обстоятельство. В соответствии с условием 5, для точек $\mathbf{t}\in\mathcal{M}$ введем следующие множества:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{K}_{0\mathbf{t}} &:=\{\mathbf{s}\in \mathcal{M}_{\varepsilon} \setminus \mathcal{M}\colon h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s})=0\}, \\ \mathcal{K}_{c\mathbf{t}} &:=\{\mathbf{s}\in \mathcal{M}_{\varepsilon}\setminus \mathcal{M}\colon h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s)\in(}0,\infty)\}, \\ \mathcal{K}_{\infty\mathbf{t}} &:=\{\mathbf{s}\in\mathcal{M}_{\varepsilon}\setminus \mathcal{M}\colon h_{1\mathbf{t}}(\mathbf{s)=\infty}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_0:=\bigcup_{\mathbf{t}\in \mathcal{M}}\mathcal{K}_{0\mathbf{t}},\quad \mathcal{K}_c:=\bigcup_{\mathbf{t}\in\mathcal{M}}\mathcal{K}_{c\mathbf{t}},\quad K_{\infty}:=\bigcup_{\mathbf{t}\in \mathcal{M}} \mathcal{K}_{\infty\mathbf{t}}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Условие 6 (структура многообразия $\mathcal{M}_{\varepsilon}$). Для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ в (2), множества $\mathcal{K}_{0}$, $\mathcal{K}_c$ и $\mathcal{K}_{\infty}$ являются объединениями в конечном числе непересекающихся гладких связных многообразий, объем соответствующей размерности каждого из которых конечен. Очевидно, все многообразия, фигурирующие в этом условии, имеют положительные размерности. Поэтому, в связи с замечанием под соотношением (7), можно считать карты этих многообразий открытыми в своих подпространствах. Это технически удобно, что мы и делаем. В общем случае структуры, описанной условием 6, выписывание асимптотики вероятности (1) непредсказуемо громоздко, да в этом и нет необходимости. Достаточно продемонстрировать применение теорем 2–4 к относительно просто устроенным картам, содержащим точки всех трех типов. Далее будет показано, как перейти от карт ко всему многообразию. Наконец, некоторые известные результаты будут рассмотрены в рамках предложенного здесь общего подхода. Условие 7. Для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ существует атлас $\mathcal{A}$ на многообразии $\mathcal{M}_{\varepsilon}$ такой, что для любой карты $U$ выполнено следующее. В системе координат (3)–(5) для каждого вектора $\mathbf{s}\in U\setminus \partial U$ подвектор $\mathbf{s}^2$ в (5) состоит из трех подвекторов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathbf{s}^{21} &:=(0,\dots,0,s_{r+1},\dots,s_{r+k_1},0,\dots,0), \\ \mathbf{s}^{22} &:=(0,\dots,0,s_{r+k_1+1},\dots,s_{r+k_1+k_2},0,\dots,0), \\ \mathbf{s}^{23} &:=(0,\dots,0,s_{r+k_1+k_2+1},\dots,s_{r+k_1+k_2+k_3}), \end{aligned} \\ r+k_1+k_2+k_3=d. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом выполнено следующее. 1. Равенства $k_i=0$, $i=1,2,3$, означают, что отсутствуют соответствующие подвекторы $\mathbf{s}^{2i}$, $i=1,2,3$. 2. Все координаты $s_i$ непустых подвекторов могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не обращаются в нуль:
$$
\begin{equation*}
s_{r+1}\cdots s_{r+k_1}\neq0,\quad s_{r+k_1+1}\cdots s_{r+k_1+k_2}\neq 0,\quad s_{r+k_1+k_2+1}\cdots s_d\neq0.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Совокупности точек являются картами соответствующих частей многообразия $\mathcal{U}$, т.е.Замечание 5. Условие, что координаты подвекторов могут принимать значения разных знаков, означает, что многообразия $\mathcal{M}$ и $\mathcal{U}$ пересекаются только в точках границы $\mathcal{U}$. Это ограничение, как видно из теорем 2 и 3, несущественно: лишь несколько видоизменяются константы. Замечание 6. Если два из трех $k_i$, $i=1,2,3$, равны нулю, то эти случаи уже рассмотрены в теоремах 2–4. Замечание 7. Достаточно естественно было бы разбить каждое множество $S^{2i}$ на $2^{k_i}$ подмножеств с зафиксированными знаками координат $s_i$ их точек (подмножеств квадрантов соответствующих размерностей) с разными типами точек, например, для $k_i=1$ (интервал) слева от нуля — локально стационарный случай, справа — переходный. Все рассуждения ниже при этом не изменятся, лишь усложнится их запись. Конечно, возможны и более сложные схемы расположения типов точек, возможно при этом придется менять схемы построения разбиений. Например, условие 7 исключает неполные размерности (меньшие $d$) множеств $\mathcal{K}_{0}$, $\mathcal{K}_c$ или $\mathcal{K}_{\infty}$. Эта ситуация требует отдельного рассмотрения. С другой стороны, если, например, удается разбить пространство $\mathbf{R}^{d-r}$ в прямое произведение подпространств, для которых условие 7 выполнено, то схема разбиения, описанная ниже, и дальнейшее применение основных трех теорем существенно не изменятся. РазбиениеБудем считать, что все $k_i$, $i=1,2,3$, положительны. В других случаях разбиение упрощается. Разбиение, которое мы построим, является естественной комбинацией разбиений, адаптированных к трем рассмотренным случаям в теоремах 2–4. Начинаем с разбиения (25), (26) множества $M_{U}$. Далее, часть $U\cap\mathbf{R}^{k_1}$, соответствующую локально однородным точкам, разбиваем, как и выше (см. (28)), в соответствии с теоремой 2. Следующую часть $U\cap\mathbf{R}^{k_2}$, соответствующую переходному случаю, разбиваем как и выше в (38), в соответствии с теоремой 3, и переобозначив $S$ на $S_c$, здесь оно также будет стремиться к бесконечности после применения леммы 2. Наконец, часть $U\cap\mathbf{R}^{k_3}$, соответствующую точкам Талаграна, разбиваем в соответствии с теоремой 4, ограничиваясь первым слоем и переобозначив $S$ на $S_{\infty}$, которое, как и в теореме 4, будет стремиться к нулю. То есть лемма 2 применяется к точкам, построенным для этих трех теорем, но в соответствующих частях карты $U$, и к множеству
$$
\begin{equation}
\Pi=[0,T]^r\times [0,T]^{k_1}\times [-S_c,S_c]^{k_2} \times [-S_{\infty},S_{\infty}]^{k_3}
\end{equation}
\tag{43}
$$
вместо множества $T$. Напомним, что рассматривается случай, когда для любого $\mathbf{t}\,{\in}\,\partial \mathcal{U}$ выполнено $\mathbf{t}\,{\notin}\mathcal{M}$, т.е. внутренность $\mathcal{M}\,{\cap}\, \mathcal{U}$ лежит внутри $\mathcal{U}$. Теперь, в соответствии с этой комбинацией разбиений, достаточно элементарно комбинируя доказательства теорем 2–4 и переходя, как и в этих теоремах, к исходному многообразию, получаем следующее утверждение. Аналогично (34) обозначим
$$
\begin{equation}
L^1_f(\lambda):=\int_{S^{21}}e^{-\lambda f(\mathbf{s}^{21})} \, d\mathbf{s}^{21}, \qquad\lambda>0.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Теорема 5. Пусть выполнено условие 7. Тогда при $u\to\infty$, где 5.1. Переход от карт к многообразию $\mathcal{S}$Сначала рассмотрим поведение интегралов Лапласа (34), (44) с $\lambda=u^2$ в асимптотиках этих вероятностей при наличии локально стационарных точек. Из условия 5 следует, что для локально стационарных точек отношение (11) стремится к нулю при $u\to\infty$, а знаменатель в силу условия 4 и утверждения 1 с соотношением (10) стремится к нулю не быстрее положительной степени $u$, поэтому числитель в этом отношении стремится к нулю не медленнее положительной степени $u$. В силу того же утверждения функции $\mathbf{q}(u)\mathbf{f}$ правильно меняются по $u$ на бесконечности с отрицательным показателем. Отсюда получаем соответствующей заменой переменных, что функция $f(\mathbf{s})$ в интеграле (34) убывает к нулю не быстрее, чем степенная, при неограниченном приближении $\mathbf{s}$ к множеству $M_{U}$, т.е. интегралы (34), (44) стремятся к бесконечности не быстрее положительной степени $u$. Таким образом, доказано следующее. Утверждение 2. Для любой карты из атласа $\mathcal{A}$ на многообразии $\mathcal{M}_{\varepsilon}$, рассматриваемой в приведенных выше теоремах, имеет место соотношение где $C(u)$ — отделенная от нуля и растущая не быстрее степени $u$ на бесконечности функция. С целью применения неравенств Бонферрони для оценивания вероятности $P(\mathcal{M}_{\varepsilon};u)$ оценим теперь (конечную) сумму вероятностей
$$
\begin{equation*}
P_{U_1U_2}:= \mathbf P\Bigl(\sup_{\mathbf{t}\in U_1}X(\mathbf{t})>u,\, \sup_{\mathbf{t}\in U_2}X(\mathbf{t})>u\Bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
по всем парам карт $U_1$, $U_2$. Очевидно можно считать, что карты не пересекаются друг с другом, в противном случае их пересечение можно отнести к любой из этих карт. Для того, чтобы воспользоваться тривиальным неравенством
$$
\begin{equation*}
P_{U_1U_2}\leqslant \mathbf P\Bigl( \sup_{(\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2)\in U_1\times U_2} \bigl(X(\mathbf{s}_1)+X(\mathbf{s}_2)\bigr) \geqslant 2u \Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
исключим достаточно узкие внутренние окрестности границ всех карт
$$
\begin{equation}
U^{\delta}:=U\setminus\bigcup_{\mathbf{t}\in\partial U} \{ \mathbf{s}\in U\colon \|\mathbf{t}-\mathbf{s}\|\leqslant\varepsilon\},
\end{equation}
\tag{46}
$$
$\delta=\delta(u)\to0$ при $u\to\infty$, так, чтобы для любой пары карт $U_1$, $U_2$ выполнялось соотношение
$$
\begin{equation}
\sup_{\mathbf{s}_i\in U_i^{\delta},\, i=1,2} r(\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2) = 1 - O\biggl( \frac{\ln^2u}{u^2}\biggr),\qquad u\to\infty.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Тогда, так как число карт конечно, очевидно, что
$$
\begin{equation*}
P(\mathcal{M}_{\varepsilon};u)=(1+o(1)) \mathbf P\biggl( \bigcup_{U\in\mathcal{A}} \Bigl\{ \sup_{\mathbf{s}\in U^{\delta}}X(\mathbf{s})>u \Bigr\} \biggr),\qquad u\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь условием 4 и утверждением 1, можно показать, что $\delta$ здесь имеет порядок положительной степени от $u^{-2}\ln^2u$, здесь необходимости в этом нет. Оценим теперь $P_{U_1^{\delta} U_2^{\delta}}$. Поскольку максимум дисперсии поля $X(\mathbf{t})$ равен единице, то из (47) следует, что для некоторой $C>0$, всех достаточно больших $u$ и всех пар карт $U_1$, $U_2$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\sup_{\mathbf{s}_i\in U_i^{\delta},\, i=1,2} \mathbf E(X(\mathbf{s}_1)+ X(\mathbf{s}_2))^2 \leqslant 4-C\,\frac{\ln^2u}{u^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из соотношения (45), используя БЦС-неравенство, аналогично рассуждениям в доказательстве предложения 9.2.2 из [4] или в доказательстве соотношения (7.18) из [10] достаточно элементарно получаем, что для некоторого $C>0$ и всех пар карт имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
P_{U^{\delta}_1U^{\delta}_2}=O(-C\ln^2 u)e^{-u^2/2}, \qquad u\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, используя неравенство Бонферрони и утверждение 2, получаем, что
$$
\begin{equation}
P\Bigl(\bigcup_{U\in\mathcal{A}} U^{\delta};u\Bigr) =(1+o(1))\sum_{U\in\mathcal{A}}P(U^{\delta}),\qquad u\to\infty.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Поскольку условие 7 сформулировано для внутренности карты $U$ (открытого множества), то для всех достаточно малых $\delta$ размерности подвекторов $\mathbf{s}^{2i}$, $i=1,2,3$, совпадают с размерностями соответствующих подвекторов множества $ U^{\delta}$. Таким образом, правая часть равенства теоремы 5 остается в неизменном виде, поскольку Возвращаясь теперь к лемме 1, т.е. $\mathcal{M}_{\varepsilon}= \mathcal{M}_{\varepsilon(u)}$, получаем следующее утверждение. Теорема 6. Пусть для всех достаточно больших $u$ выполнено соотношение (15). Пусть также для этих $u$ и для всех карт из атласа $\mathcal{A}$ на многообразии $\mathcal{M}_{\varepsilon(u)}$ выполнены условия 1–7. Тогда Заметим, что асимптотики для карт, в которых множество $M_U$ не содержит локально стационарных точек, бесконечно меньше асимптотик для карт с такими точками. Действительно, в утверждении теоремы 5 для карт с непустым множеством $S^{21}$ в асимптотиках присутствует дополнительный множитель $L_{f}(u^2)$ ($L^1_{f}(u^2)$), стремящийся к бесконечности. Следовательно, при наличии локально стационарных точек в многообразии $\mathcal{M}$ вероятности для карт без таких точек из соотношения (49) можно исключить. Также можно оставить в этом соотношении члены с доминирующим ростом к бесконечности множителей $L_{f}(u^2)$ ($L^1_{f}(u^2)$). 5.2. Примеры. Нормы гауссовских векторных процессовПусть $\mathbf{X}(t)=(X_1(t),\dots,X_d(t))$, $t\in[0,T]$, — гауссовский векторный процесс со значениями в $d$-мерном нормированном линейном пространстве $\mathbf{L}^d$. Обозначим $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ скалярное произведение, $\|\,{\cdot}\,\|$ — соответствующую норму. Обозначим через $\mathbf{M}^d$ двойственное к $\mathbf{L}^d$ пространство. В силу двойственности, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf P\Bigl(\max_{t\in[0,T]}\|\mathbf{X}(t)\|>u\Bigr)=\mathbf P \Bigl(\max_{(t,\mathbf{v})\in[0,T]\times S_d}\langle \mathbf{v},\mathbf{X}(t)\rangle >u\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_d$ — единичная сфера в $\mathbf{M}^d$. То есть для исследования асимптотического поведения вероятности большого выброса гауссовского процесса $\mathbf{X}(t)$ можно применить полученные здесь результаты к гауссовскому полю $\mathbf{X}(t,\mathbf{v}):=\langle \mathbf{v},\mathbf{X}(t)\rangle$, заданному на цилиндре $[0,T]\times S_d$. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1 ($\chi^2$-процессы). Пусть $X_i(t)$, $t\in[0,T]$, $i=1,\dots,d$, — независимые гауссовские процессы с нулевыми средними и дисперсиями $\mathbf E X_i^2(t)=\sigma_i^2(t)$, рассмотрим обобщенный $\chi^2$-процесс: т.е. квадрат евклидовой нормы вектора ($b_iX_i(t)$, $i=1,\dots,d$) в $\mathbf{R}^d$. Для этого рассмотрим гауссовское поле $\sum_{j=1}^db_jX_j(t)v_j$ на цилиндре $[0,T]\times S_d$ в этом пространстве. Его дисперсия равна и структура соответствующего многообразия $\mathcal{M}$ зависит от $\sigma_j(t)$ и $b_j$, $j=1,\dots,d$. Если все $b_j$ равны между собой, а $X_j(t)$ — стационарные и одинаково распределенные, то это обычный $\chi^2$-процесс, и поле $\langle \mathbf{X}(t),\mathbf{v}\rangle$ однородно относительно сдвигов и поворотов. Если же все $\sigma _i^2(t)$ равны между собой, $\sigma_i^2(t)\equiv\sigma^2(t)$, $i=1,\dots,s$, и $\sigma^2(t)$ достигает своего максимального значения, скажем, в точке $t_m$, а $b_1>b_j$, $j>1$, то $\max\sigma^2(t,\mathbf{b},\mathbf{v})=b_1^2$, и многообразие $\mathcal{M}$ состоит из двух точек $(t_m,\, (\pm1,0,\dots,0))$. Поэтому можно взять атлас из двух карт $U_1=\{v_1\geqslant0\}$ и $U_2=\{v_1\leqslant0\}$. В зависимости от поведения дисперсии и корреляционной функции процесса $X_1$ в окрестности точки $t_m$, могут возникнуть все три рассмотренных случая. Поля, для которых $\dim\mathcal{M}= 0$, изучались в [2], [7], см. также [10]. Если $\sigma^2(t)\equiv 1$ с теми же $b_j$, то $\mathcal{M}=S_d$, см. [11]. Здесь различные ситуации возникают в зависимости от поведения корреляционной функции в нуле. Если же максимальных $b_j$ несколько, то $\mathcal{M}$ — цилиндр. Наконец отметим, что в недавней работе [13] также рассмотрены некоторые гауссовские поля и $\chi^2$-поля на многообразиях в евклидовом пространстве и дан обзор работ по соответствующей тематике. Кроме асимптотики вероятности (1) в ней получена предельная теорема для распределения максимума $\chi^2$-поля на неограниченно растущем многообразии. Пример 2 (процессы Бесселя и бесселевского типа). Рассмотрим теперь процесс Бесселя $\beta(t)=\|\mathbf{X}(t)\|$, где компоненты — независимые стандартные винеровские процессы $X_i(t)=W_i(t)$, $t\in[0,1]$. Имеем Мы видим, что в этих всех примерах структуры карт просты, и теоремы 2–4 применимы непосредственно.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pit24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|