| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Энергетически эффективная аппроксимация винеровского процесса при односторонних ограничениях М. А. Лифшиц, С. Е. Никитин Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T99174X 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи и основной результатОбозначим $\mathrm{AC}[0,T]$ пространство абсолютно непрерывных функций на интервале $[0,T]$. Кинетической энергией функции $h\in \mathrm{AC}[0,T]$ назовем величину В работах [1], [5]–[7], [9]–[11] рассматривались вопросы аппроксимации траекторий случайных процессов функциями $h$ наименьшей энергии при тех или иных ограничениях на близость между $h$ и траекторией. В частности, в [9] исследована энергетическая аппроксимация винеровского процесса $W$ при двусторонних равномерных ограничениях. Для $T>0$, $r>0$ определим множество допустимых аппроксимаций
$$
\begin{equation*}
M^\pm_{T, r} := \{h \in \mathrm{AC}[0, T] \mid \forall\, t \in [0, T] \colon W(t)-r \leqslant h(t) \leqslant W(t)+r;\, h(0)=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим
$$
\begin{equation*}
I^\pm_W(T,r) := \inf \{|h|_T^2 \mid h \in M^\pm_{T,r} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [9] показано, что при фиксированном $r>0$ и $T\to \infty$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
\frac{I^\pm_W(T,r)}{T} \xrightarrow{\text{п.н.}} {\mathcal C}^2\, r^{-2},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathcal C}\approx 0.63$ — некоторая абсолютная константа (точное значение ${\mathcal C}$ неизвестно), т.е. оптимальная энергия аппроксимации растет линейно по времени. В данной работе мы интересуемся поведением аналогичной величины при односторонних ограничениях, т.е. в случае, когда множество допустимых аппроксимаций имеет вид
$$
\begin{equation*}
M_{T, r} := \{h \in \mathrm{AC}[0, T] \mid \forall\, t \in [0, T]\colon h(t)\geqslant W(t)-r;\, h(0)=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и нас теперь интересует асимптотика величины Технически будет удобнее перенести начальное значение аппроксимации в точку $r$, чтобы аппроксимация находилась выше траектории аппроксимируемого процесса $W$. Положим
$$
\begin{equation*}
M_{T, r}' := \{h \in \mathrm{AC}[0, T] \mid \forall\, t \in [0, T]\colon h(t)\geqslant W(t);\, h(0)=r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку множества функций $M_{T, r}$ и $M_{T, r}'$ отличаются сдвигом на константу, то, как несложно видеть, Наш основной результат показывает, что с ростом $T$ величина $I_W(T,r)$ растет только логарифмически. В разделе 2 мы устанавливаем связь односторонней энергетически эффективной аппроксимации произвольной непрерывной функции с ее минимальной выпуклой мажорантой. В разделе 3 на основе результатов П. Гренебома [4] получены необходимые свойства минимальной выпуклой мажоранты винеровского процесса. Раздел 4 содержит доказательство теоремы 1. В разделах 5 и 6 рассмотрен класс адаптивных марковских (диффузионных) стратегий аппроксимации, опирающихся только на значения процесса $W$ в прошлом и настоящем. Показано, что в этом классе оптимальной является стратегия, определяемая формулой Для нее расход энергии на больших интервалах тоже имеет логарифмический порядок, но асимптотически вдвое превосходит аналогичную величину для оптимальной неадаптивной стратегии, использующей информацию о всей траектории $W$. А именно,2. Выпуклые мажоранты как эффективные аппроксимацииОказывается, что энергетически эффективная аппроксимация при одностороннем ограничении может быть описана в терминах минимальной выпуклой вверх мажоранты (МВМ) аппроксимируемой функции. Пусть $w\colon [0,T]\to \mathbf{R}$ — непрерывная функция. Тогда соответствующая МВМ $\overline{w}$ — это наименьшая выпуклая вверх функция, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
\overline{w} (t) \geqslant w(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Пусть $r>w(0)$. Тогда задача $|h|_T^2\to \min$ при ограничениях $h(0)=r$ и имеет единственное решение $\chi_*$ следующего вида. (a) Если $r\geqslant \max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t)$, то $\chi_*(t)\equiv r$. (b) Если $r<\max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t)$, то $\chi_*$ определяется по-разному на трех различных интервалах. На начальном участке $\chi_*$ является аффинной функцией, график которой проходит через точку $(0,r)$ и является касательной к графику $\overline{w}$. Далее $\chi_*$ совпадает с $\overline{w}$ до момента, где впервые достигается максимум $w$. Наконец, после этого момента $\chi_*$ является константой. Энергетически эффективная мажоранта $\chi_*$ изображена на рис. 1. Доказательство предложения 1. Решение задачи существует, так как для любого $M>0$ множество функций компактно в пространстве непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, а функционал $|\,{\cdot}\,|_T^2$ полунепрерывен снизу в этой топологии.
Единственность решения следует из того, что множество функций, удовлетворяющих условиям задачи, выпукло, а функционал $|\,{\cdot}\,|_T^2$ на нем — строго выпуклый. Перейдем к описанию решения. Случай (a) тривиален, поэтому рассмотрим случай (b). Пусть $\chi(\,{\cdot}\,)$ — решение нашей задачи. Покажем сначала, что $\chi$ — выпуклая вверх неубывающая функция. Действительно, положим
$$
\begin{equation*}
\chi_1(t):= r +\int_0^t g(s) \, ds, \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $g(\,{\cdot}\,)$ — невозрастающая монотонная перестройка функции $\max\{\chi'(\,{\cdot}\,),0\}$. Тогда $\chi_1$ — выпуклая вверх неубывающая функция, причем $\chi_{1}(0)=r$ и $\chi_{1}(t) \geqslant \chi(t) \geqslant w(t)$ при всех $t\in[0,T]$. Поэтому $\chi_{1}$ удовлетворяет ограничениям задачи. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
|\chi_{1}|_T^2=\int_0^T g(s)^2 \, ds=\int_0^T \bigl(\max\{\chi'(\,{\cdot}\,),0\}\bigr)^2 \, ds \leqslant |\chi|_T^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу единственности решения задачи получаем $\chi_1=\chi$. Это доказывает выпуклость и неубывание $\chi$.
Поскольку $\chi_*$ является наименьшей выпуклой вверх неубывающей функцией, удовлетворяющей ограничениям задачи, то мы имеем
$$
\begin{equation*}
\chi(t)\geqslant \chi_*(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, покажем, что $\chi(T)=\chi_*(T)=\max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t)$. Действительно, функция
$$
\begin{equation*}
\chi_2(t):= \min\{ \chi(t), \chi_*(T) \}, \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
$$
в случае (b) удовлетворяет обоим ограничениям задачи и $|\chi_{2}|_T^2\leqslant |\chi|_T^2$; в силу единственности решения задачи получаем $\chi=\chi_2$. В частности, $\chi(T)=\chi_*(T)$.
Наконец, предположим, что для некоторого $t_0\in [0,T]$ верно строгое неравенство $\chi(t_0)>\chi_*(t_0)$. Тогда в силу выпуклости и неубывания функции $\chi_*$ найдется такая неубывающая аффинная функция $\ell(\,{\cdot}\,)$, что
$$
\begin{equation*}
\chi_*(t)\leqslant \ell(t), \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
$$
но $\ell(t_0)< \chi(t_0)$. В то же время на концах интервала $[0,T]$ верно противоположное неравенство, поскольку
$$
\begin{equation*}
\chi(0)=r =\chi_*(0) \leqslant \ell(0), \qquad \chi(T) =\chi_*(T) \leqslant \ell(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому существует невырожденный интервал $[t_1,t_2]\subset[0,T]$ такой, что $t_0\in[t_1,t_2]$, $\ell(t_1)=\chi(t_1)$, $\ell(t_2)=\chi(t_2)$. Из неравенства Гёльдера следует цепочка неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(t_2-t_1) \int_{t_1}^{t_2} \chi'(t)^2 \, dt>\biggl(\int_{t_1}^{t_2} \chi'(t)\, dt\biggr)^2 = (\chi(t_2)-\chi(t_1))^2 \\ &\qquad= (\ell(t_2)-\ell(t_1))^2=\biggl(\int_{t_1}^{t_2} \ell'(t)\, dt\biggr)^2 = (t_2-t_1) \int_{t_1}^{t_2} \ell'(t)^2 \, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\ell'(\,{\cdot}\,)$ — константа, а $\chi'(\,{\cdot}\,)$ — не константа на $[t_1,t_2]$. Получаем Отсюда следует, что функция удовлетворяет ограничениям задачи и $|\chi_{3}|_T^2<|\chi|_T^2$, но это невозможно по определению $\chi$. Таким образом, предположение $\chi(t_0)>\chi_*(t_0)$ привело нас к противоречию. Предложение доказано. 3. Минимальная выпуклая мажоранта винеровского процессаВыделим важные обозначения и результаты из статьи [4], которыми мы будем далее пользоваться. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\tau(a) := \sup \biggl\{t>0 \biggm| W(t)-\frac{t}{a}=\sup_{u>0}\biggl(W(u)-\frac{u}{a}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $a\mapsto \tau(a)$ является неубывающей. Согласно следствию 2.1 работы [4] для любого $a>0$ величина $\tau(a)/a^2$ имеет плотность распределения
$$
\begin{equation*}
q(t)=2 \, \mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_+ := x \mathbf{1}_{\{x>0\}}$, а $X$ — случайная величина со стандартным нормальным распределением. Далее, пусть $\overline{W}$ — глобальная МВМ для винеровского процесса $W(t)$, $t\geqslant 0$. Определим процесс $L$ как
$$
\begin{equation*}
L(a,b) := \int_{\tau(a)}^{\tau(b)} \overline{W}^{\,\prime}(t)^2 \, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем существенно опираться на следующий результат Гренебома. Лемма 1 (см. [4; теорема 3.1]). Для каждого $a_0>0$ процесс $Y(t) := L(e^{a_0},e^{a_0+t})$, $t\geqslant 0$, является чисто скачкообразным процессом со стационарными и независимыми приращениями, причем $\mathbf{E} Y(t)=t$. Работа [4] содержит и явное описание меры Леви процесса $Y$, но здесь оно нам не понадобится. Нас интересует лишь колмогоровский усиленный закон больших чисел для $Y$, который утверждает, что при $t\to\infty$ имеет место сходимость Подставляя определение $Y$, полагая $a_0=0$ и делая замену переменной $V=e^t$, этот результат можно переформулировать в виде
$$
\begin{equation}
\frac{L(1,V)}{\ln V} \xrightarrow{\text{п.н.}} 1 \quad \text{при }\ V\to\infty.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Лемма 2. Для любого $ \delta \in (0,1/2)$ c вероятностью $1$ при всех достаточно больших $T$ выполняются неравенства Доказательство. Оценка снизу основана на следующих неравенствах:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\biggl( \tau(T^{1/2-\delta}) \geqslant \frac T2 \biggr) &= \mathbf{P}\biggl( \frac{\tau(T^{1/2-\delta})}{T^{1-2\delta}} \geqslant \frac{T^{2\delta}}2 \biggr) \\ &= \int_{T^{2\delta}/2}^\infty q(t)\, dt = \int_{T^{2\delta}/2}^\infty 2\,\mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+ \, dt \\ &=C_1 \int_{T^{2\delta}/2}^\infty \int_{\sqrt t}^\infty \biggl(\frac{x}{\sqrt t}-1\biggr)e^{-x^2/2} \, dx \, dt \\ &\leqslant C_2 \int_{T^{2\delta}/2}^\infty e^{-t/2} t^{-1/2} \, dt \leqslant C_2 \, e^{-T^{2\delta}/4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1$, $C_2$ — некоторые абсолютные положительные постоянные.
Пусть $T_n := n$, тогда для событий $D_n := \{\tau(T_n^{1/2-\delta}) \geqslant T_n/2\}$ имеем Значит, по лемме Бореля–Кантелли с вероятностью $1$ при достаточно больших $n$ событие $D_n$ не выполняется, т.е. с вероятностью $1$ при достаточно больших $n$ верно Пусть $n\geqslant 2$, для $T_n$ выполняется (2), и пусть $T \in [T_{n-1}, T_n]$. Так как $\tau(\,{\cdot}\,)$ не убывает, имеем
$$
\begin{equation*}
\tau(T^{1/2-\delta}) \leqslant \tau(T_n^{1/2-\delta}) < \frac{T_n}2=\frac{n}2 \leqslant n-1=T_{n-1} \leqslant T.
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает нам искомую нижнюю оценку для достаточно больших $T$.
Аналогично, для оценки сверху имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\bigl( \tau(T^{1/2+\delta}) \leqslant 2T \bigr) &= \int_0^{2T^{-2\delta}} 2\, \mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+ \, dt \\ &\leqslant C_3 \int^{2T^{-2\delta}}_0 e^{-t/2} t^{-1/2} \, dt \leqslant C_4 T^{-\delta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_3$, $C_4$ — некоторые абсолютные положительные постоянные.
Рассмотрим последовательность $T_n := 2^n$, тогда для событий $D'_n := \{\tau(T_n^{1/2+\delta}) \leqslant 2 T_n\}$ имеем Значит, по лемме Бореля–Кантелли с вероятностью $1$ при достаточно больших $n$ событие $D'_n$ не выполняется, т.е. с вероятностью $1$ при достаточно больших $n$ верноПусть для $T_n$ выполняется (3), и пусть $ T \in [T_n, T_{n+1}] $. Так как $\tau(\,{\cdot}\,)$ не убывает, имеем Это дает нам искомую верхнюю оценку для достаточно больших $T$. Лемма доказана.Следующая теорема описывает асимптотическое поведение энергии выпуклой мажоранты винеровского процесса. Для $r>0$ определим МВМ $\overline{W}^{\,(r)}$ винеровского процесса $W$ на всей прямой, стартующую c высоты $r$, как МВМ $W(t)$, $t\geqslant 0$, удовлетворяющую дополнительному ограничению $\overline{W}^{\,(r)}(0)=r$. Тогда на некотором начальном интервале $[0,\theta(r)]$ мажоранта $\overline{W}^{\,(r)}$ является аффинной функцией, график которой проходит через точку $(0,r)$ и является касательной к графику $\overline{W}$, а на $[\theta(r), \infty)$ мажоранта $\overline{W}^{\,(r)}$ совпадает с $\overline{W}$. Теорема 2. Пусть $\overline{W}^{\,(r)}$ — выпуклая вверх мажоранта $W$ на всей прямой, стартующая c высоты $r$. Тогда при фиксированном $r$ и $T\to\infty$ имеет место сходимость Доказательство. Сравним выражения и
Они отличаются не зависящим от $T$ слагаемым, отвечающим начальному участку $\overline{W}^{\,(r)}$, а также нижними и верхними пределами интегрирования в интегральных членах, причем нижние пределы интегрирования в обоих случаях не зависят от $T$. Пользуясь леммой 2 для сравнения верхних пределов интегрирования, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \liminf_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} &\geqslant \liminf_{T \to \infty} \frac{L(1, T^{1/2-\delta})}{\ln T}, \\ \limsup_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} &\leqslant \liminf_{T \to \infty} \frac{L(1, T^{1/2+\delta})}{\ln T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом закона больших чисел (1) имеем Переходя к пределу при $\delta\searrow 0$, получаем требуемый результат. Теорема доказана.4. Доказательство теоремы 1Оценка сверху. Ограничение глобальной МВМ, стартующей с высоты $r$, на интервал $[0,T]$ принадлежит множеству допустимых функций $\overline{W}^{\,(r)}\in M_{T, r}'$. Из теоремы 2 находим
$$
\begin{equation*}
\limsup_{T \to \infty} \frac{I_W(T,r)}{\ln T} \leqslant \limsup_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} \leqslant \frac12 \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка снизу. Для $r>0$, $T>0$ обозначим $\overline{W}^{(r,T)}$ локальную МВМ винеровского процесса $W(t)$, $t\in [0,T]$, стартующую c высоты $r$. Пусть $\chi$ — единственное решение интересующей нас задачи $|h|_T^2\,{\to} \min$, $h\,{\in}\,M'_{T,r}$, структура которого описана в предложении 1. Поскольку при больших $T$ верно неравенство $\max_{0\leqslant s\leqslant T} W(s)>r$, то для таких $T$ имеет место пункт (b) этого предложения. В частности, из него следует, что
$$
\begin{equation*}
\chi(t)=\overline{W}^{\,(r,T)}(t), \qquad 0 \leqslant t \leqslant t_{\mathrm{max}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
t_{\mathrm{max}}=t_{\mathrm{max}}(T) := \min\Bigl\{t\Bigm| W(t)= \max_{0\leqslant s\leqslant T} W(s)\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что функция $\tau(\,{\cdot}\,)$ не может принимать значения из интервала $(t_{\mathrm{max}},T)$. Поэтому если при некотором $a$ верно неравенство $\tau(a)<T$, то верно и неравенство $\tau(a)\leqslant t_{\mathrm{max}}$. В этом случае также верны соотношения
$$
\begin{equation*}
\chi(t)=\overline{W}^{\,(r,T)}(t)=\overline{W}^{\,(r)}(t), \qquad 0 \leqslant t \leqslant \tau(a).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
I_W(T,r)=|\chi|_2^2 \geqslant \int_0^{\tau(a)} \chi'(t)^2 \, dt =\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_{\tau(a)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\delta\in (0,1/2)$. Положим $a=a(T):= T^{1/2-\delta}$. Тогда в силу леммы 2 имеем
$$
\begin{equation*}
T^{(1-2\delta)/(1+2\delta)}<\tau(a)<T\quad\text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех достаточно больших $T$. Далее, из теоремы 2 следует, что при $T\to \infty$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_{\tau(a)}^2 \geqslant \frac{\ln\tau(a)}{2}(1+o(1)) \geqslant \frac{1-2\delta}{2(1+2\delta)} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
Соединяя полученные оценки, находим
$$
\begin{equation*}
I_W(T,r) \geqslant \frac{1-2\delta}{2(1+2\delta)} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, переходя к пределу при $\delta\searrow 0$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
I_W(T,r) \geqslant \frac{1}{2} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.},
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать.
5. Адаптивная марковская аппроксимацияНа практике часто бывает необходимо организовать аппроксимацию (преследование) в режиме реального времени (адаптивно), когда траектория аппроксимируемого процесса известна не на всем временно́м интервале, а только до текущего момента времени. Ввиду марковского свойства винеровского процесса разумная стратегия состоит в том, чтобы определять скорость преследования $h$ как функцию от текущего состояния процессов $h$ и $W$, не обращая внимание на прошлое, т.е. На качественном уровне рассмотрения функция $\beta(x,w,t)$ должна стремиться к бесконечности, когда $x-w\searrow 0$, т.е. при приближении аппроксимирующего процесса к допустимой границе он ускоряется, уходя из опасного положения. При этом функцию $\beta$ следует оптимизировать, добиваясь наименьшего среднего расхода энергии и стараясь получить такой же логарифмический по времени порядок расхода, как и в случае неадаптивной аппроксимации, но, возможно, с несколько худшим коэффициентом. Разница коэффициентов представляет собой “плату за незнание будущего” аппроксимируемого процесса.По аналогии с результатом для неадаптивного случая обсуждаемую здесь задачу можно поставить так:
$$
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty} \frac{\int_0^T h'(t)^2 \, dt}{\ln T} \to \min,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где минимум берется по таким случайным функциям $h$, что
Мы формально не решим здесь поставленную задачу в такой общности, а оптимизируем только стратегии специального вида
$$
\begin{equation}
\beta(h,w,t) =\frac{1}{\sqrt{t}}\, \widetilde{\beta}\biggl(\frac{1}{\sqrt{t}}(h-w) \biggr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Обоснованность выбора этого подкласса стратегий будет видна ниже. Более того, есть основания предположить, что найденная нами стратегия, оптимальная в классе (6), является также оптимальной в более широком классе стратегий (4). Интересно сравнить (4) c формой оптимальной адаптивной стратегии при двустороннем ограничении [9]: Последняя стратегия более проста, так как скорость преследования определяется только расстоянием между аппроксимируемым и аппроксимирующим процессами и не зависит от момента времени.Проведем замену времени и пространства:
$$
\begin{equation*}
U(\tau) := e^{-\tau/2} W(e^\tau), \qquad z(\tau) := e^{-\tau/2} h(e^\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $ U(\,{\cdot}\,) $ является процессом Орнштейна–Уленбека и поэтому удовлетворяет уравнению где $ \widetilde{W} $ — некоторый винеровский процесс. Для производной функции $z$ имеем следующее выражение: откуда также получаем
$$
\begin{equation}
h'(e^\tau)=e^{-\tau/2} \biggl(z'(\tau) +\frac{z(\tau)}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Рассмотрим расстояние между аппроксимируемым и аппроксимирующим процессами: Будем исследовать однородные диффузионные стратегии Из уравнений (7) и (9) следует, что откуда также получаем соотношение
$$
\begin{equation}
z'(\tau)+\frac{z(\tau)}{2}=b(Z(\tau)) + \frac{Z(\tau)}{2}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Прежде чем приступать к оптимизации, посмотрим, что дают диффузионные стратегии применительно к исходной задаче. В силу (8) и (10) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h'(e^\tau) &= e^{-\tau/2} \biggl(b(Z(\tau))+ \frac{Z(\tau)}{2}\biggr) =: e^{-\tau/2} \widetilde{b}(Z(\tau)) \\ &= e^{-\tau/2} \widetilde{b}\bigl( e^{-\tau/2}(h(e^\tau)-W(e^\tau)) \bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{b}(x):= b(x)+ x/2$. Иначе говоря, стратегия имеет вид
$$
\begin{equation}
h'(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\, \widetilde{b}\biggl( \frac{1}{\sqrt{t}} (h(t)-W(t))\biggr),
\end{equation}
\tag{11}
$$
т.е. как раз относится к классу стратегий (6), что и объясняет естественность выбора этого класса. Перейдем к поиску оптимального коэффициента сноса $b(\,{\cdot}\,)$, определяющего стратегию преследования. Воспользуемся фактами об одномерной, однородной во времени диффузии из [2; гл. IV.11] и [3; гл. 2]. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B(x) &:= 2 \int^x b(u)\, du, \\ \nonumber p_0(x) &:= e^{B(x)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Пусть выполнено условие Тогда для диффузии (9) точка $0$ является границей-входом и не является границей-выходом по классификации Феллера. Это означает, что диффузия $Z$ всегда остается на $[0,\infty)$. При этом функция где $ Q=\int_0^\infty p_0(x) \, dx $, является плотностью единственного стационарного распределения $Z$. Для энергии, используя соотношения (8) и (10), получаем (п.н., при $T\to\infty$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_1^T h'(t)^2 \, dt = \int_0^{\ln T} h'(e^\tau)^2 e^\tau\, d \tau = \int_0^{\ln T} \biggl( z'(\tau) +\frac{z(\tau)}{2} \biggr)^2\, d\tau \\ &\qquad= \int_{0}^{\ln T} \biggl( b(Z(\tau))+\frac{Z(\tau)}2\biggr)^2\, d\tau \sim \ln T \int_0^{\infty} \biggl( b(x)+\frac{x}2\biggr)^2 p(x) \, dx \\ &\qquad= \ln T \int_0^{\infty} \biggl( \biggl( \frac{\ln p}{2}\biggr)'(x)+\frac{x}2\biggr)^2 p(x) \, dx \\ &\qquad= \ln T \int_0^{\infty} \biggl( \frac{p'(x)^2}{4p(x)} + \frac{x p'(x)}{2}+\frac{x^2 p(x)}{4} \biggr) \, dx \\ &\qquad= \ln T \biggl( -\frac12+\int_0^{\infty} \biggl( \frac{p'(x)^2}{4p(x)} + \frac{x^2 p(x)}{4} \biggr) \, dx \biggr) =: -\frac{\ln T}2+\frac{\ln T}{4} J(p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом условия (13) остается решить вариационную задачу
$$
\begin{equation*}
\min \biggl\{ J(p) \biggm| \int_0^\infty p(x) \, dx=1,\, p(0)=0 \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
по множеству плотностей, сосредоточенных на полуоси $ [0, \infty)$. Сделаем замену переменных $y(x) := p(x)^{1/2}$, что преобразует вариационную задачу к виду
$$
\begin{equation*}
\min\biggl\{ \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx \biggm| \int_0^\infty y(x)^2 \, dx=1,\ y(0)=0 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В следующем разделе показано, что этот минимум равен $6$ и достигается на функции
$$
\begin{equation*}
y(x)=\biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/4} x \exp\biggl(-\frac{x^2}4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, асимптотическое поведение энергии при построенной стратегии имеет вид
$$
\begin{equation*}
\int_1^T h'(t)^2 \, dt \sim \ln T, \qquad T\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. в адаптивной постановке при оптимальном выборе сноса в классе (6) затрачивается вдвое больше энергии, чем в неадаптивной. Для вычисления оптимального сноса запишем
$$
\begin{equation*}
p(x)=y(x)^2= \biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/2} x^2 \exp\biggl(-\frac{x^2}2\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и найдем из (12)–(14) Отметим, что найденная плотность $p$ удовлетворяет необходимому условию (13). Возвращаясь к исходной задаче, находим $\widetilde{b}(x)=1/x$, так что стратегия (11) имеет вид Интересно, что оптимальная диффузионная стратегия, в отличие от произвольных стратегий этого класса, оказалась однородной не только по пространству, но и по времени. Заметим, однако, что попытки рассматривать общие однородные эргодические диффузионные стратегии по переменной $t$ (вместо $\tau$) приводят к неприемлемо большому расходу энергии порядка $T$ вместо $\ln T$.6. Решение вариационной задачи6.1. Квантовый гармонический осцилляторРассмотрим задачу Штурма–Лиувилля о поиске собственных чисел дифференциального оператора:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} -4y''(x)+x^2 y(x)=\gamma y(x), &x\geqslant 0, \\ y(0)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Она представляет собой частный случай уравнения квантового гармонического осциллятора, давно изученный физиками (см. [8; § 23]). Ее решение хорошо известно. Как правило, уравнение рассматривается на всей вещественной оси. При переходе к полуоси, с учетом краевого условия $y(0)=0$, нужно оставить только ограничения на полуось от нечетных решений уравнения на оси и домножить их на $\sqrt{2}$ для сохранения нормализации. В результате находим ортонормальный базис в $L_2[0,\infty)$, состоящий из функций $\psi_k$, $k\in 2\mathbf{N}-1$, определяемых равенствами
$$
\begin{equation*}
\psi_k(x)=(2^k k!)^{-1/2} \biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/4} H_k\biggl(\frac{x}{\sqrt{2}}\biggr) \exp\biggl(-\frac{x^2}4\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где — полиномы Эрмита, и удовлетворяющих соотношениям где $\gamma_k=2(2k+1)$.В частности, минимальное собственное число есть $\gamma_1=6$, выполнено равенство $H_1(x)=2x$, а соответствующая собственная функция имеет вид $\psi_1(x)=(2/\pi)^{1/4}x \exp(-x^2/4)$. 6.2. МинимизацияРассмотрим квадратичную форму
$$
\begin{equation*}
G(y,z) := \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)z'(x)+x^2 y(x)z(x) \bigr) \, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Для дважды дифференцируемых функций при дополнительном условии $y(0)=0$ интегрирование по частям дает
$$
\begin{equation*}
G(y,z) = \int_0^\infty\bigl( -4y''(x)+x^2 y(x)\bigr) z(x) \, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
G(\psi_k,\psi_l)=\int_0^\infty \gamma_k \psi_k(x)\psi_l(x) \, dx = \begin{cases} \gamma_k, &k=l, \\ 0,&k\ne l, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $(\psi_k)$ — ортонормированный базис. Если $y=\sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k \psi_k$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx &=G(y,y)=\sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k^2\gamma_k \geqslant \sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k^2\gamma_1 \\ &=\gamma_1 \int_0^\infty y(x)^2 \, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем для $y=\psi_1$ в этой цепочке имеет место равенство. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\min\biggl\{ \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx \biggm| \int_0^\infty y(x)^2 \, dx=1 \biggr\} =\gamma_1=6.
\end{equation*}
\notag
$$
Авторы признательны А. И. Назарову за полезные советы и рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LifNik24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|