| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Одно замечание к формуле Ито И. А. Ибрагимовab, Н. В. Смородинаacb, М. М. Фаддеевb a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия b Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия c Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T99188X 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеНаиболее общий вид формулы Ито (см. [11]) для функции от стандартного одномерного винеровского процесса $w(t)$, $w(0)=x$, таков:
$$
\begin{equation}
F(w(t))=F(x)+\int_0^t F'(w(\tau))\,dw(\tau)+\frac{1}{2}[F'(w),w]_t,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $[F'(w),w]_t$ — квадратическая ковариация процессов $F'(w)$ и $w$. В [11] показано, что в случае, когда функция $F'$ принадлежит $L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, квадратическая ковариация существует как предел по вероятности
$$
\begin{equation*}
[F'(w),w]_t= \lim_{n\to\infty} \sum_{t_j\in D_n,\,t_j<t} \bigl(F'(w(t_{j+1}))-F'(w(t_{j}))\bigr)\bigl(w(t_{j+1})-w(t_{j})\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
по последовательности разбиений $D_n$ интервала $[0,T]$. Заметим, что в этом случае стохастический интеграл в (1) может не обладать некоторыми привычными свойствами, в частности, его математическое ожидание может не равняться нулю. Если $F'$ абсолютно непрерывна с производной $F''$, то квадратическая ковариация задается формулой в этом случае (1) соответствует классической формуле Ито
$$
\begin{equation}
F(w(t))=F(x)+\int_0^t F'(w(\tau))\,dw(\tau)+ \frac{1}{2}\int_0^t F''(w(\tau))\,d\tau.
\end{equation}
\tag{3}
$$
При дополнительных условиях на функцию $F$ в литературе имеется много “неклассических” вариантов формулы Ито (см., например, [12], [8], [10], [5]), все они различаются только формой представления последнего слагаемого в (3). В частности, если функция $F'$ является функцией ограниченной вариации, т.е. ее производная $F''$ есть знакопеременная мера конечной полной вариации, то справедлива формула где через $l(t,y)$ обозначено локальное время процесса $w(t)$ в точке $y$ до момента времени $t$. В этом случае (1) соответствует формуле Ито–Танака–Мейера (см. [12]).Если $F'$ локально ограничена, то Интеграл в правой части (4) определен в работе [9]. В этом случае (1) соответствует формуле Було–Йора (см. [9]).Отметим важное преимущество (1) перед остальными формулами. Условие $F'\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, при котором справедливо (1), одновременно является необходимым и достаточным условием существования интеграла $\int_0^tF'(w(\tau))\,dw(\tau)$ и в этом смысле является неулучшаемым. Во всех других вариантах представления последнего слагаемого в (1) на функцию $F$ приходится накладывать дополнительные ограничения. Целью настоящей работы является показать, что формула (3) справедлива в самом общем случае (т.е. когда $F'$ принадлежит $L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$), но при этом производную $(F')'$ от $F'\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$) следует понимать в смысле дифференцирования обобщенных функций (все необходимые определения, относящиеся к обобщенным функциям, приведены в разделе 2). Мы покажем (пункт 1 теоремы 1), что для любой обобщенной функции $q$ такой, что она является производной (в смысле дифференцирования обобщенных функций) некоторой функции $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ (т.е. $q=v'$), можно корректно определить величину При этом выражение (5) следует понимать как единый символ, для любого фиксированного $\tau$ величина $q(w(\tau))$, вообще говоря, не определена, так как для обобщенных функций рассматриваемого класса не определено значение в точке. Тем не менее, использование знака интеграла в данном случае вполне уместно, так как (это будет видно из доказательства теоремы 1) построенный объект (5) обладает естественными свойствами линейности по $q$ и аддитивности по интервалу интегрирования. Отметим еще, что частным случаем (5) является “интеграл в смысле главного значения” Биана и Йора определенный для функций $f$ с особенностью в нуле в работе [8].Далее мы покажем (пункт 2 теоремы 1), что последнее слагаемое в формуле Ито представляется в виде где интеграл понимается в смысле (5) с $v=F'$, $q=(F')'$, при этом, как вытекает из вышесказанного, второе дифференцирование функции $F$ понимается в смысле дифференцирования обобщенных функций.Тем самым, мы получим выражение для квадратической ковариации вида по форме совпадающее с (2), но при максимально широких условиях.Указанный подход даст возможность, используя аппарат теории обобщенных функций, выразить последнее слагаемое в (3) через локальное время винеровкого процесса в тех случаях, когда стандартные формулы (Ито–Танака–Мейера, Було–Йора) не применимы. Соответствующие примеры приведены в разделе 3. Ниже мы будем использовать некоторые свойства локального времени $l(t,y)$ процесса $w(\,{\cdot}\,)$. Известно, что можно выбрать версию локального времени с вероятностью единица непрерывную по $t$, $y$. Всюду далее мы будем рассматривать только непрерывную версию, не оговаривая этого специально. Более того, из теоремы 9.1 книги [1; § 9] вытекает, что для любого $T>0$ локальное время $l(s,y)$ с вероятностью единица равномерно по $y\in\mathbf{R}$ и $s\in[0,T]$ удовлетворяет условию Гёльдера с любым показателем $\beta\in(0,1/2)$. 2. Основная теоремаПо умолчанию все обобщенные функции мы далее будем рассматривать как линейные непрерывные функционалы на пространстве $C_0^\infty(\mathbf{R})$ всех вещественных (основных) функций $\psi$, каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна. Последовательность $\{\psi_n\}$ основных функций стремится к нулю в пространстве $C_0^\infty(\mathbf{R})$, если все эти функции обращаются в нуль вне одного и того же интервала и равномерно сходятся к нулю также как и их производные любого порядка (подробнее см. [2]). Каждая функция $f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ определяет линейный функционал (обобщенную функцию), действующий на $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ как Линейный функционалы (обобщенные функции) вида (6) называют регулярными функционалами, все остальные — сингулярными. Последовательность обобщенных функций $\{h_n\}$ сходится к обобщенной функции $h$, если для любого $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ выполнено Если все обобщенные функции $h_n$ являются регулярными функционалами (т.е. функциями класса $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$), то говорят, что последовательность $\{h_n\}$ сходится в смысле обобщенных функций. Предельная обобщенная функция $h$ уже не обязана быть регулярным функционалом. Для удобства сменим обозначения в формуле (3). Функцию $F'$ обозначим через $v$ и, как и выше, предположим, что $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$. Соответственно, в формуле (3) вместо $F(x)$ будем использовать функцию $V(x)$, где $V(x)=\int_0^xv(y)\,dy$. Функцию $v$ мы будем одновременно рассматривать и как обобщенную функцию (регулярный функционал), через $q=v'$ обозначим ее производную в смысле обобщенных функций. По определению $v'$ есть обобщенная функция, действующая на $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ как Далее, пусть $\{v_\varepsilon\}$, $\varepsilon\,{>}\,0$, — это семейство абсолютно непрерывных функций, сходящееся при $\varepsilon\to 0$ в $L_2$ на любом компакте к функции $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, т.е. такое, что для любого $N>0$ выполнено
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to 0}\|v_\varepsilon-v\|_{L_2[-N,N]}=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Положим $q_\varepsilon(x){\kern1pt}{=}{\kern1pt}v_\varepsilon'(x)$. Заметим, что функции $q_\varepsilon$ принадлежат $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ и, соответственно, определяют регулярный функционал. В свою очередь $q=v'$, вообще говоря, является только линейным функционалом (обобщенной функцией), определяемым (8) сингулярным и необязательно имеющим значение в точке. Справедливо следующее утверждение. Лемма 1. Семейство функций $q_\varepsilon$ сходится в смысле обобщенных функций к обобщенной функции $q$, т.е. для каждой основной функции $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ имеет место сходимость Доказательство. Для любой функции $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ имеем
Возможность предельного перехода в последней формуле следует из (9), так как функция $\psi'$ имеет компактный носитель. Лемма доказана. Пусть, как и выше, $w(t)$, $w(0)=x$, — стандартный винеровский процесс. Мы будем предполагать, что процесс $w(t)$ определен на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$. Сформулируем основное утверждение. Теорема 1. Пусть обобщенная функция $q=v'$, где $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, а $\{v_\varepsilon\}$ — произвольное семейство абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющее (9), и пусть $q_\varepsilon=v_\varepsilon'$. Тогда справедливо следующее. 1. Существует предел по вероятности
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to 0+}\int_0^t q_\varepsilon(w(\tau))\,d\tau,
\end{equation}
\tag{10}
$$
и этот предел не зависит от выбора семейства $v_\varepsilon$. Принимая во внимание лемму 1, для данного предела мы будем использовать обозначение
$$
\begin{equation}
\int_0^tq(w(\tau))\,d\tau=\int_0^tv'(w(\tau))\,d\tau\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0+}\int_0^tq_\varepsilon(w(\tau))\,d\tau.
\end{equation}
\tag{11}
$$
2. Справедлива формула Ито Доказательство. Для каждого $\varepsilon>0$ определим функцию $V_\varepsilon$, полагая
В силу (3) для любого $\varepsilon>0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
V_\varepsilon(w(t))=V_\varepsilon(x)+\int_0^t v_\varepsilon(w(\tau))\,dw(\tau)+ \frac{1}{2}\int_0^tq_\varepsilon(w(\tau))\,d\tau.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Покажем, что в (13) можно перейти к пределу при $\varepsilon\to0+$. Так как $v_\varepsilon\to v$ в $L_2$ на любом компакте, то для любого $\widetilde{x}$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
V_\varepsilon(\widetilde{x})=\int_0^{\widetilde{x}}v_\varepsilon(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} \int_0^{\widetilde{x}}v(y)\,dy=V(\widetilde{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что для всех $\omega\in\Omega$
$$
\begin{equation}
V_\varepsilon(w(t))\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} V(w(t))\quad \text{и}\quad V_\varepsilon(x)\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} V(x).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Покажем теперь, что при фиксированном $t>0$ имеет место сходимость по вероятности
$$
\begin{equation}
\int_0^tv_\varepsilon(w(\tau))\,dw(\tau)\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} \int_0^tv(w(\tau))\,dw(\tau).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Для каждого $N>0$ через $\Omega_N\subset\Omega$ обозначим множество
$$
\begin{equation*}
\Omega_N=\Bigl\{\omega\in\Omega\colon \sup_{\tau\in[0,t]} |w(\tau)|\leqslant N\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а через $v_N$, $v_{\varepsilon,N}$ обозначим функции, заданные как
$$
\begin{equation*}
v_N(y)=v(y)\cdot\mathbf{1}_{[-N,N]}(y),\quad v_{\varepsilon,N}(y)=v_\varepsilon(y)\cdot\mathbf{1}_{[-N,N]}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (9) выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to 0+}\|v_{\varepsilon,N}-v_N\|_{L_2(\mathbf{R})}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим теперь случайный процесс $f(\tau)$, полагая Ясно, что этот процесс удовлетворяет условию и, значит, по определению стохастического интеграла
$$
\begin{equation*}
\int_0^t f(\tau) \, dw(\tau) = \lim_{n\to\infty} \int_0^t f_n(\tau) \, dw(\tau),
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_n(\tau)$ — подходящая последовательность ступенчатых процессов, а предел понимается в смысле $L_2(\Omega, \mathbf P)$. Заметим, что последовательность ступенчатых процессов $f_n(\tau)$ строится по процессу $f(\tau)$ потраекторным образом (например, можно использовать способ, предложенный в [6; гл. 12, § 12.1]). Из сходимости в $L_2(\Omega, \mathbf P)$ следует сходимость в $L_2(\Omega_N, \mathbf P)$ для любого $N > 0$, а по построению на $\Omega_N$ при всех $\tau\in [0,t]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
f(\tau) = v_N(w(\tau)) - v_{\varepsilon,N}(w(\tau)) = v(w(\tau)) - v_{\varepsilon}(w(\tau)),
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, для любого $N$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf 1_{\Omega_N} \int_0^t \bigl(v(w(\tau))- v_{\varepsilon}(w(\tau))\bigr) \, dw(\tau) \\ &\qquad= \mathbf 1_{\Omega_N} \int_0^t \bigl(v_N(w(\tau))- v_{\varepsilon, N} (w(\tau))\bigr) \, dw(\tau). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возводя последнее равенство в квадрат и вычисляя математическое ожидание, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\biggl[\mathbf{1}_{\Omega_N} \biggl(\int_0^t\bigl(v(w(\tau))-v_\varepsilon(w(\tau))\bigr)\,dw(\tau)\biggr)^2\biggr] \\ &\qquad=\mathbf{E}\biggl[\mathbf{1}_{\Omega_N} \biggl(\int_0^t\bigl(v_N(w(\tau))-v_{\varepsilon,N}(w(\tau))\bigr)\,dw(\tau)\biggr)^2\biggr] \\ &\qquad\leqslant\mathbf{E}\biggl(\int_0^t\bigl(v_N(w(\tau))-v_{\varepsilon,N}(w(\tau))\bigr) \,dw(\tau)\biggr)^2 \\ &\qquad =\mathbf{E}\int_0^t\bigl(v_N(w(\tau))-v_{\varepsilon,N}(w(\tau))\bigr)^2\,d\tau \\ &\qquad=\int_{\mathbf{R}}\bigl(v_N(y)-v_{\varepsilon,N}(y)\bigr)^2 \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi \tau}}\, e^{-(y-x)^2/(2\tau)}\,d\tau\,dy \\ &\qquad\leqslant\sqrt{\frac{2t}{\pi}}\, \|v_{\varepsilon,N}-v_N\|^2_{L_2(\mathbf{R})}\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $\gamma>0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\biggl\{ \biggl|\int_0^t v(w(\tau))\,dw(\tau)- \int_0^t v_{\varepsilon}(w(\tau))\,dw(\tau)\biggr|\geqslant\gamma\biggr\} \nonumber \\ &\qquad\leqslant 1-\mathbf{P}(\Omega_N)+ \frac1{\gamma^2} \, \mathbf{E}\,\mathbf{1}_{\Omega_N} \biggl(\int_0^t\bigl(v(w(\tau))-v_\varepsilon(w(\tau))\bigr)\,dw(\tau)\biggr)^2 \nonumber \\ &\qquad\leqslant 1-\mathbf{P}(\Omega_N)+ \frac{1}{\gamma^2}\, \sqrt{\frac{2t}{\pi}}\, \|v_{\varepsilon,N}-v_N\|^2_{L_2(\mathbf{R})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Теперь возьмем $\delta>0$ и выберем $N$ таким образом, чтобы выполнялось $1-\mathbf{P}(\Omega_N)<\delta/2$, после чего сделаем второе слагаемое в (16) меньше $\delta/2$ за счет выбора достаточно малого $\varepsilon$. Итак, мы показали, что в (13) при $\varepsilon\to 0+$ выражение в левой части и первые два слагаемых в правой части сходятся к своим предельным значениям и эти пределы не зависят от выбора $v_\varepsilon$. Значит, существует не зависящий от выбора $v_\varepsilon$ также и предел последнего слагаемого в правой части (13). Соответствующий предел мы условились обозначать как Теорема, таким образом, полностью доказана.Прежде чем переходить к примерам, сделаем важное замечание. Теорема 1 утверждает, что если у нас имеется обобщенная функция $q= v'$, которая является производной в смысле (8) функции (регулярного функционала) $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, то можно корректно определить величину $\int_0^tv'(w(\tau))\,d\tau$ как предел по вероятности величин $\int_0^tv_\varepsilon'(w(\tau))\,d\tau$. При этом для любого $\varepsilon>0$ допредельное выражение может быть переписано как
$$
\begin{equation}
\int_0^tv_\varepsilon'(w(\tau))\,d\tau=\int_\mathbf{R}v'_\varepsilon(y)\,l(t,y)\,dy,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $l(t,y)$ — локальное время процесса $w$ в точке $y$ до момента времени $t$. Из теоремы 1 не следует, что (17) справедливо также и в предельном случае. В рассматриваемых ниже примерах это так, но это надо каждый раз проверять отдельно. Более того, обобщенная функция $v'$ задана нам только как линейный функционал на $C_0^\infty(\mathbf{R})$, поэтому выражение $(v',l(t,{\cdot}\,))$ не обязано быть корректно определенным. Отметим некоторое преимущество формулы (12) перед (1). В ряде конкретных случаев производная $v'$ является обычной функцией, но она не определяет регулярный функционал, так как не лежит в классе $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$. В этом случае для регуляризованной функции (подробнее о регуляризации функций см. [2; гл. 1, § 3]) обычно используется то же самое обозначение, что и для самой функции, т.е. формула Ито принимает ее классический вид. Более того, используя методы спектрального анализа операторов (см. [7]), можно получить информацию также и о распределении случайной величины $\int_0^tq(w(\tau))\,d\tau$ для конкретных обобщенных функций $q$ (подробнее см. [4], [3]). 3. ПримерыПример 1. Пусть $v(x)=\theta(x)$ — функция Хевисайда, т.е. $\theta(x)=0$ при $x<0$ и $\theta(x)=1$ при $x\geqslant0$. В этом случае $V(x)=x_+$, где $x_+=0$ при $x<0$ и $x_+=x$ при $x\geqslant0$. Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
\theta_\varepsilon(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\varepsilon} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ \theta(x) &\text{при } x\notin[0,\varepsilon]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\theta\in L_{2,\mathrm{loc}}$ и выполнено $\|\theta-\theta_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to 0+$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\theta_\varepsilon'(x)=\frac{1}{\varepsilon}\,\mathbf{1}_{[0,\varepsilon]}(x) \xrightarrow[\varepsilon\to0+]{}\delta(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta$ — дельта-функция Дирака. При этом сходимость
$$
\begin{equation}
(\theta_\varepsilon',\psi)=\int_\mathbf{R}\theta_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to0+]{}(\delta,\psi)=\psi(0)
\end{equation}
\tag{18}
$$
имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех непрерывных функций $\psi$, в частности для локального времени. Из теоремы 1 вытекает формула
$$
\begin{equation*}
(w(t))_+=x_+ + \int_0^t\theta(w(\tau))\,dw(\tau) +\frac{1}{2}\int_0^t\delta(w(\tau))\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (18) и выражая последнее слагаемое в правой части через локальное время процесса $w$, мы получим известную формулу Танаки Пример 2. Пусть $v(x)=x_+^{-\alpha}$, т.е. $v(x)=0$ при $x<0$ и $v(x)=x^{-\alpha}$ при $x>0$ (здесь и далее, мы используем обозначения книги [2]). Параметр $\alpha$ принадлежит интервалу $(0,1/2)$. В этом случае $V(x)=0$ при $x<0$ и $V(x)=x^{1-\alpha}/(1-\alpha)$ при $x\geqslant0$. Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\varepsilon}\, \varepsilon^{-\alpha} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ v(x) &\text{при } x\notin[0,\varepsilon]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $\alpha\in(0,1/2)$ функция $v$ принадлежит классу $L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, а условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to 0$ легко проверяется непосредственным вычислением. Кроме того, ясно, что производная $v'(x)=-\alpha x_+^{-1-\alpha}$ (по определению $x_+^{-1-\alpha}=0$ при $x<0$) не принадлежит классу $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ и, соответственно, не определяет регулярный функционал. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} \varepsilon^{-1-\alpha} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ -\alpha x^{-1-\alpha} &\text{при } x>\varepsilon, \\ 0 &\text{при } x<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим теперь $\lim_{\varepsilon\to 0}v_\varepsilon'$ в смысле обобщенных функций. Пусть $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(v_\varepsilon',\psi) =\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy= -\alpha\int_\varepsilon^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}}+ \varepsilon^{-1-\alpha}\int_0^\varepsilon\psi(y)\,dy \\ &=-\alpha\biggl[ \int_\varepsilon^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}}- \int_\varepsilon^\infty\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}}\, \frac{1}{\varepsilon} \int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz\biggr] \\ &=-\alpha\int_\varepsilon^\infty\biggl(\psi(y) -\frac{1}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz\biggr) \,\frac{dy}{y^{1+\alpha}} \xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} -\alpha\int_0^\infty(\psi(y)-\psi(0))\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что правая часть последнего равенства совпадает с выражением $-\alpha(x_+^{-1-\alpha},\psi)$, т.е. (с точностью до множителя $-\alpha$) со значением линейного функционала (обобщенной функции) $x_+^{-1-\alpha}$ на элементе $\psi$ (см. [2; гл. 1, § 3]). Далее, нетрудно понять, что сходимость
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to0]{} -\alpha\int_0^\infty(\psi(y)-\psi(0))\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}}
\end{equation}
\tag{19}
$$
имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условию Гёльдера с любым показателем $\beta>\alpha$. Это в частности означает, что в (19) можно взять в качестве $\psi$ функцию $l(t,{\cdot}\,)$. Из теоремы 1 вытекает формула
$$
\begin{equation}
(w(t))_+^{1-\alpha}=x_+^{1-\alpha} +(1-\alpha)\int_0^t(w(\tau))_+^{-\alpha}\,dw(\tau) -\frac{\alpha(1-\alpha)}{2}\int_0^t(w(\tau))_+^{-1-\alpha}\,d\tau.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Важно отметить, что последнее слагаемое в (20) понимается именно в смысле обобщенных функций, хотя обозначения для функции и соответствующей обобщенной функции (см. [2; гл. 1, § 3]) совпадают. Используя (19) и замечание после него, можно выразить это последнее слагаемое через локальное время процесса $w$ как Пример 3. Пусть $v(x)=|x|^{-\alpha}$. Параметр $\alpha$ снова принадлежит интервалу $(0,1/2)$. В этом случае Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} \varepsilon^{-\alpha} &\text{при } |x|\leqslant\varepsilon, \\ v(x) &\text{при }|x|>\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $\alpha\in(0,1/2)$ функция $v$ принадлежит классу $L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, а условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to 0+$ легко проверяется. Производная $v'(x)=-\alpha |x|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(x)$ не принадлежит классу $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ и, соответственно, не определяет регулярный функционал. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} 0 &\text{при } |x|\leqslant\varepsilon, \\ -\alpha |x|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(x) &\text{при }|x|>\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим теперь $\lim_{\varepsilon\to 0+}v_\varepsilon'$ в смысле обобщенных функций. Пусть $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (v_\varepsilon',\psi) &=\int_\mathbf{R} v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy= -\alpha\int_{|y|\geqslant\varepsilon}\psi(y)\operatorname{sign}(y)\,\frac{dy}{|y|^{1+\alpha}} \\ &=-\alpha\int_{|y|\geqslant\varepsilon}(\psi(y)-\psi(0)) \operatorname{sign}(y)\,\frac{dy}{|y|^{1+\alpha}} \\ &\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{}(-\alpha)\cdot \mathrm{v.p.}\int_\mathbf{R}\psi(y)\operatorname{sign}(y)\,\frac{dy}{|y|^{1+\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что правая часть последнего равенства совпадает с выражением $-\alpha(|x|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(x),\psi)$, т.е. (с точностью до множителя $-\alpha$) со значением линейного функционала (обобщенной функции) $|x|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(x)$ на элементе $\psi$. Далее, нетрудно понять, что сходимость
$$
\begin{equation}
\int_\mathbf{R} v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to0]{} (-\alpha)\cdot \mathrm{v.p.}\int_\mathbf{R}\psi(y)\operatorname{sign}(y)\,\frac{dy}{|y|^{1+\alpha}}
\end{equation}
\tag{21}
$$
имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условию Гёльдера с любым показателем $\beta>\alpha$. Из теоремы 1 вытекает формула
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |w(t)|^{1-\alpha}\operatorname{sign}(w(t)) &=|x|^{1-\alpha}\operatorname{sign}(x) +(1-\alpha)\int_0^t|w(\tau)|^{-\alpha}\,dw(\tau) \nonumber \\ &\qquad-\frac{\alpha(1-\alpha)}{2}\int_0^t|w(\tau)|^{-1-\alpha} \operatorname{sign}(w(\tau))\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Последнее слагаемое в (22) понимается в смысле обобщенных функций, хотя обозначения для функции и соответствующей обобщенной функции совпадают. Используя (21), можно выразить это последнее слагаемое через локальное время процесса $w$ как
$$
\begin{equation*}
\int_0^t|w(\tau)|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(w(\tau))\,d\tau= \mathrm{v.p.}\int_\mathbf{R}l(t,y)\operatorname{sign}(y)\, \frac{dy}{|y|^{1+\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим еще, что в смысле нашего определения величина
$$
\begin{equation*}
\int_0^t|w(\tau)|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(w(\tau))\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает с величиной
$$
\begin{equation*}
\mathrm{v.p.}\int_0^t|w(\tau)|^{-1-\alpha}\operatorname{sign}(w(\tau))\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
в смысле определения Биана и Йора работы [8]. Отметим еще, что формула, аналогичная (22), но для нечетной функции $v(x)=|x|^{-\alpha}\operatorname{sign}(x)$, где $\alpha\in(0,1/2)$, была получена в нашей работе [3]. Эта формула имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |w(t)|^{1-\alpha} &=|x|^{1-\alpha} +(1-\alpha)\int_0^t|w(\tau)|^{-\alpha}\operatorname{sign}(w(\tau))\,dw(\tau) \nonumber \\ &\qquad-\frac{\alpha(1-\alpha)}{2}\int_0^t|w(\tau)|^{-1-\alpha}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Последнее слагаемое в (23) выражается через локальное время процесса $w$ как Пример 4. Пусть $v(x)=\ln x_+$, т.е. $v(x)=0$ при $x\leqslant0$ и $v(x)=\ln x$ при $x>0$. В этом случае $V(x)=0$ при $x<0$ и $V(x)=x(\ln x-1)$ при $x\geqslant0$. Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\varepsilon}\ln \varepsilon &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ v(x) &\text{при } x\notin[0,\varepsilon]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$. Условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon \to 0+$ также легко проверяется. Производная $v'(x)=x_+^{-1}$ (по определению $x_+^{-1}=0$ при $x<0$) не принадлежит классу $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ и, соответственно, не определяет регулярный функционал. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} \dfrac{\ln \varepsilon}{\varepsilon} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ \dfrac{1}{x} &\text{при } x>\varepsilon, \\ 0 &\text{при } x<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим теперь $\lim_{\varepsilon\to 0+}v_\varepsilon'$ в смысле обобщенных функций. Пусть $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (v_\varepsilon',\psi) &=\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy= \int_\varepsilon^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y}+ \frac{\ln\varepsilon}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(y)\,dy \\ &=\int_\varepsilon^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y}- \frac{1}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(y)\,dy\int_\varepsilon^1\frac{dy}{y} \\ &= \int_\varepsilon^\infty\biggl[\psi(y)- \frac{1}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz\, \mathbf{1}_{[0,1]}(y)\biggr]\, \frac{dy}{y} \\ &\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{}\int_0^\infty\bigl(\psi(y)-\psi(0)\,\mathbf{1}_{[0,1]}(y) \bigr)\, \frac{dy}{y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что правая часть последнего равенства совпадает с $(x_+^{-1},\psi)$, т.е. со значением линейного функционала (обобщенной функции) $x_+^{-1}$ на элементе $\psi$ (см. [2; с. 71]). Далее, нетрудно понять, что сходимость
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to0]{} \int_0^\infty \bigl(\psi(y)-\psi(0)\,\mathbf{1}_{[0,1]}(y)\bigr)\, \frac{dy}{y}
\end{equation}
\tag{24}
$$
имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условию Гёльдера с любым показателем $\beta>0$. Из теоремы 1 вытекает формула
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &[w(t)(\ln w(t)-1)]\,\mathbf{1}_{(0,\infty)}(w(t))= [x(\ln x-1)]\, \mathbf{1}_{(0,\infty)}(x) \nonumber \\ &\qquad+\int_0^t\ln(w(\tau))_+\,dw(\tau) +\frac{1}{2}\int_0^t(w(\tau))_+^{-1}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Как и выше последнее слагаемое в (25) понимается именно в смысле обобщенных функций, хотя обозначения для функции и соответствующей обобщенной функции совпадают. Используя (24), можно выразить это последнее слагаемое через локальное время процесса $w$ как Пример 5. Пусть $v(x)=\ln|{\ln(x_+)}|$, т.е. $v(x)=0$ при $x<0$ и $v(x)=\ln |{\ln x}|$ при $x>0$. В этом случае Важно отметить, что у функции $V(x)$ нет особенности при $x=1$. Обе функции $x\ln |{\ln x}|$ и $\operatorname{li}(x)$ имеют особенность при $x=1$, но эти особенности взаимно гасятся. Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\varepsilon}\ln |{\ln\varepsilon}| &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ \ln \ln(1+\varepsilon) &\text{при } x\in\biggl[\dfrac{1}{1+\varepsilon},1+\varepsilon\biggr], \\ v(x) &\text{при } x\notin\biggl([0,\varepsilon]\cup \biggl[\dfrac{1}{1+\varepsilon},1+\varepsilon\biggr]\biggr). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$. Условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to 0+$ также легко проверяется. Производная $v'(x)=(x_+\ln x_+)^{-1}$ (по определению $v'(x)=0$ при $x<0$) не принадлежит классу $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ и, соответственно, не определяет регулярный функционал. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} \dfrac{\ln|{\ln \varepsilon}|}{\varepsilon} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ 0 &\text{при } x\in\biggl[\dfrac{1}{1+\varepsilon},1+\varepsilon\biggr], \\ \dfrac{1}{x\ln x} &\text{при } x\notin\biggl((-\infty,\varepsilon]\cup \biggl[\dfrac{1}{1+\varepsilon},1+\varepsilon\biggr]\biggr), \\ 0 &\text{при } x<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим теперь $\lim_{\varepsilon\to 0}v_\varepsilon'$ в смысле обобщенных функций. Пусть $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (v_\varepsilon',\psi) &=\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \\ &= \frac{\ln|{\ln \varepsilon}|}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(y)\,dy +\int_\varepsilon^{1/e}\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} +\int_{1/e}^{1/(1+\varepsilon)}\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} \\ &\qquad +\int_{1+\varepsilon}^e\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} +\int_{e}^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} \\ &=\int_\varepsilon^{1/e}\biggl[\psi(y)- \frac{1}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz\biggr]\, \frac{dy}{y\ln y} +\int_{1/e}^{1/(1+\varepsilon)}\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} \\ &\qquad +\int_{1+\varepsilon}^e\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} +\int_{e}^\infty\psi(y)\,\frac{dy}{y\ln y} \\ &\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} \int_0^{1/e}\frac{\psi(y)-\psi(0)}{y\ln y}\,dy + \int_{1/e}^e\frac{\psi(y)-\psi(1)}{y\ln y}\,dy +\int_e^\infty\frac{\psi(y)}{y\ln y}\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что правая часть последнего соотношения совпадает с выражением $((x_+\ln x_+)^{-1},\psi)$, т.е. со значением линейного функционала (обобщенной функции) $(x_+\ln x_+)^{-1}$ на элементе $\psi$. Далее, нетрудно понять, что сходимость
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy &\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{} \int_0^{1/e}\frac{\psi(y)-\psi(0)}{y\ln y}\,dy \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{1/e}^e\frac{\psi(y)-\psi(1)}{y\ln y}\,dy +\int_e^\infty\frac{\psi(y)}{y\ln y}\,dy \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условию Гёльдера с любым показателем $\beta>0$. Из теоремы 1 вытекает формула (здесь функция $V(x)$ определяется (26))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V(w(t)) &=V(x)+ \int_0^t\ln|{\ln(w(\tau))_+}|\,dw(\tau) \nonumber \\ &\qquad+\frac{1}{2}\int_0^t(w(\tau))_+\ln((w(\tau))_+)^{-1}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Последнее слагаемое в (28) понимается в смысле обобщенных функций. Используя (27), можно выразить это последнее слагаемое через локальное время процесса $w$ как Пример 6. Пусть $N>0$, а $v(x)=x_+^{-\alpha}\, \mathbf{1}_{[0,N]}(x)$, т.е. Параметр $\alpha$ принадлежит интервалу $(0,1/2)$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
V(x)= \begin{cases} 0 &\text{при } x<0, \\ \dfrac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} &\text{при } x\in[0,N], \\ \dfrac{N^{1-\alpha}}{1-\alpha} &\text{при } x>N. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\varepsilon>0$ положим
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{\varepsilon}\, \varepsilon^{-\alpha} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ 0 &\text{при } x\notin[0,N], \\ x^{-\alpha} &\text{при } x\in(\varepsilon,N-\varepsilon), \\ -\dfrac{(N-\varepsilon)^{-\alpha}}{\varepsilon}(x-N) &\text{при } x\in[N-\varepsilon,N]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $\alpha\in(0,1/2)$ функция $v$ принадлежит классу $L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, а условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to 0+$ проверяется непосредственным вычислением. Кроме того, ясно, что производная $v'(x)$ не определяет регулярный функционал. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} \varepsilon^{-1-\alpha} &\text{при } x\in[0,\varepsilon], \\ 0 &\text{при } x\notin[0,N], \\ -\alpha x^{-1-\alpha} &\text{при } x\in(\varepsilon,N-\varepsilon), \\ -\dfrac{(N-\varepsilon)^{-\alpha}}{\varepsilon} &\text{при } x\in[N-\varepsilon,N]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим теперь $\lim_{\varepsilon\to 0}v_\varepsilon'$ в смысле обобщенных функций. Пусть $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$. Проведя вычисления, аналогичные проведенным выше, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (v_\varepsilon',\psi) &=\int_0^\infty v_\varepsilon'(y)\psi(y)\,dy \nonumber \\ &=-\alpha\int_\varepsilon^{N-\varepsilon}\biggl(\psi(y)-\frac{1}{\varepsilon} \int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz\biggr) \,\frac{dy}{y^{1+\alpha}} +\alpha\int^N_{N-\varepsilon}\psi(y)\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}} \nonumber \\ &\qquad+N^{-\alpha}\, \frac{1}{\varepsilon}\int_0^\varepsilon\psi(z)\,dz- (N-\varepsilon)^{-\alpha}\int_{N-\varepsilon}^N\psi(z)\,dz \nonumber \\ &\xrightarrow[\varepsilon\to0+]{}-\alpha\int_0^N(\psi(y)-\psi(0))\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}} -N^{-\alpha}(\psi(N)-\psi(0)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Далее, нетрудно понять, что сходимость в (30) имеет место не только для $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$, но также и для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условию Гёльдера с любым показателем $\beta>\alpha$. Из теоремы 1 вытекает, что для функции $V$, задаваемой (29), справедлива формула Ито (12), причем последнее слагаемое в (12) можно выразить через локальное время процесса $w$ как
$$
\begin{equation*}
\int_0^tv'(w(\tau))\,d\tau =-\alpha\int_0^N\bigl(l(t,y)-l(t,0)\bigr)\,\frac{dy}{y^{1+\alpha}} -N^{{-\alpha}}(l(t,N)-l(t,0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в данном примере функция $v$ имеет две точки разрыва — одну первого рода, а другую второго. На основе этого примера построим теперь пример, в котором функция $v$ имеет целую последовательность таких точек разрыва. Пусть $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ — строго убывающая к нулю последовательность положительных чисел, а $\{a_k\}_{k=1}^\infty$ — последовательность вещественных чисел, причем такая, что сходится ряд Пусть снова $\alpha\in(0,1/2)$, в этом случае из (31) вытекает, что сходится ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2}^\infty a_k^2(x_{k-1}-x_k)^{1-2\alpha}<\infty.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Определим функцию $v$, полагая
$$
\begin{equation}
v(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k(x-x_k)^{-\alpha}\, \mathbf{1}_{(x_k,x_{k-1})}(x)
\end{equation}
\tag{33}
$$
(в последней формуле мы по умолчанию полагаем $x_0=\infty$), и, как и выше, положим $V(x)=\int_0^xv(y)\,dy$. Заметим, что условие $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$ эквивалентно (32). Далее, из (30) вытекает, что обобщенная функция $v'$ действует на $\psi\in C_0^\infty(\mathbf{R})$ как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (v',\psi) &=-\alpha\sum_{k=1}^\infty a_k\int_{x_k}^{x_{k-1}}(\psi(y)-\psi(x_k))\, \frac{dy}{(y-x_k)^{1+\alpha}} \\ &\qquad-\sum_{k=1}^\infty a_k(x_{k-1}-x_k)^{-\alpha}(\psi(x_{k-1})-\psi(x_k)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1 следует, что для функции $V$ справедлива формула Ито (12), причем последнее слагаемое в (12) можно выразить через локальное время процесса $w$ как Пример 7. Покажем здесь, как из теоремы 1 выводится одно из самых известных обобщений формулы Ито — формула Ито–Танака–Мейера. В этой формуле предполагается, что функция $v$ является функцией ограниченной вариации, соответственно, ее производная $v'$ является знакопеременной мерой конечной полной вариации. При этих предположениях справедлива формула (см. [12]) Действительно, если $v$ — функция ограниченной вариации, то ее можно представить в виде линейной комбинации двух (вероятностных) функций распределения. Учитывая, что формула (34) линейна по $v$, достаточно доказать (34) только для случая, когда $v$ есть функция распределения некоторого вероятностного распределения, соответственно, ее производная в смысле обобщенных функций есть вероятностная мера. Определим функцию $v_\varepsilon$, полагая
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}}\int_\mathbf{R} v(x-y)e^{-y^2/(2\varepsilon)}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что функция $v_\varepsilon$ абсолютно непрерывна и для любого $N>0$ выполнено $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2([-N,N])}\to 0$ при $\varepsilon\to 0+$. Кроме того, в любой точке $x$, в которой функция $v$ непрерывна, выполнено
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)\xrightarrow[\varepsilon\to 0+]{} v(x),
\end{equation*}
\notag
$$
что означает слабую сходимость мер с плотностями $v_\varepsilon'$ к мере $v'$. Слабая сходимость в свою очередь означает, что для любой непрерывной ограниченной функции $\varphi$
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbf{R}\varphi(y)v_\varepsilon'(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to 0+]{} \int_\mathbf{R}\varphi(y) \, v'(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^tv_\varepsilon'(w(\tau))\,d\tau= \int_\mathbf{R}l(t,y)v_\varepsilon'(y)\,dy \xrightarrow[\varepsilon\to 0+]{} \int_\mathbf{R}l(t,y)\, v'(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, формула (34) доказана. Заметим еще, что из всех рассмотренных выше примеров формула (34) применима только к примеру 1. Пример 8. Покажем здесь, как из теоремы 1 выводится результат А. С. Чёрного [10], в котором последнее слагаемое в формуле Ито записывается в виде интегрального функционала в смысле главного значения вида В [10] рассматриваются функции $v\in L_{2,\mathrm{loc}}(\mathbf{R})$, которые являются абсолютно непрерывными на $\mathbf{R}\setminus \{0\}$, а в нуле возможно имеют сингулярность. Формулировка основного результата этой статьи довольно сложная, мы ее не будем приводить полностью. Отметим только, что если функцию $v$ представить в виде суммы четной и нечетной функций, то условия на нечетную функцию соответствуют условиям теоремы Ито–Танака–Мейера (в частности, она должна быть ограниченной), поэтому далее мы рассматриваем только четную функцию. Четная функция может быть неограниченной в окрестности нуля, но должна удовлетворять условию При выполнении этих условий последнее слагаемое в формуле Ито имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\,\mathrm{v.p.}\int_0^tv'(w(\tau))\,d\tau.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Заметим, что условиям теоремы Чёрного удовлетворяют функции $v$ из примеров 1 и 3, но к “четному варианту” примера 3 (формула (23)) эта теорема уже неприменима. Для доказательства теоремы Чёрного выберем семейство $v_\varepsilon(x)$ как
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon(x)= \begin{cases} v(x) &\text{при } |x|>\varepsilon, \\ v(\varepsilon) &\text{при } |x|\leqslant\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно,
$$
\begin{equation*}
v_\varepsilon'(x)= \begin{cases} v'(x) &\text{при } |x|>\varepsilon, \\ 0 &\text{при } |x|\leqslant\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь осталось только заметить, что условие $\|v-v_\varepsilon\|_{L_2(\mathbf{R})}\to 0$ при $\varepsilon\to0+$ в точности эквивалентно (35), а $\int_0^tv'(w(\tau))\,d\tau$ в смысле определения (11) совпадает с (36). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IbrSmoFad24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|