| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О близости распределений последовательных сумм в метрике Прохорова А. Ю. Зайцевab a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия b Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991878 
Реферативные базы данных:
  1. Близость распределений последовательных сумм на выпуклых множествахВ этой статье мы дадим подробное доказательство результата, сформулированного в недавней работе автора [26]. Пусть $X,X_1,\dots, X_n,\dots$ — независимые одинаково распределенные $d$-мерные случайные векторы с общим распределением $F$. Тогда $S_n = X_1+\dots+X_n$ имеет распределение $F^n$ (степень понимается в смысле свертки). Мы изучаем, насколько отличается распределение $F^{n+1}$ от $F^n$, т.е. насколько может измениться распределение суммы $S_n$ после добавления к ней очередного независимого слагаемого. Будет показано, что различие между этими распределениями невелико, причем оно не просто стремится к нулю при $n\to\infty$, а имеет порядок $O(n^{-1/2})$, стандартный для оценок в предельных теоремах теории вероятностей. Суммы независимых случайных величин и векторов — классический объект теории вероятностей. Начиная с изучения биномиального распределения, появившегося в схеме Бернулли еще в восемнадцатом веке, свойства распределений сумм независимых одинаково распределенных слагаемых были одним из основных предметов исследования. При некоторых (иногда весьма ограничительных) условиях были найдены все возможные предельные распределения для центрированных и нормированных сумм (см. [2], [5], [13]). В новых результатах работы автора [26] установлена устойчивость по количеству слагаемых распределений сумм независимых одинаково распределенных векторов при произвольных распределениях слагаемых в конечномерных евклидовых пространствах. При этом полученные оценки имеют оптимальный порядок $O(n^{-1/2})$ при сравнении значений вероятностей попадания в произвольное выпуклое множество для сумм $n$ и $n+1$ слагаемых. Удивительно, но в такой простой и естественной постановке задача рассматривалась ранее только в работах автора (в том числе совместных) начиная с 1980-х годов (см. [1], [21]–[25]). Такая постановка задачи естественно возникает при рассмотрении задачи А. Н. Колмогорова [10] об оценивании точности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Л. Ле Кам [11] показал, что естественным безгранично делимым приближением для $F^n$ может быть сопровождающее обобщенное распределение Пуассона предложенное Б. В. Гнеденко (см. [5], [9]). Ясно, что при оценивании близости распределений $F^n$ и $e(nF)$ полезно уметь оценивать близость распределений $F^n$ и $F^s$.Нам потребуются некоторые обозначения. Обозначим через $\mathfrak F_d$ совокупность вероятностных распределений, определенных на борелевской $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}_d$ подмножеств евклидова пространства $\mathbf{R}^d$. Определим расстояния между распределениями $F, G\in\mathfrak F_d$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_{\mathcal{C}_d}(F, G) &= \sup_{A\in\mathcal{C}_d} |F\{A\} - G\{A\}|, \\ \rho_{\mathrm{TV}}(F, G) &= \sup_{A\in\mathcal{B}_d} |F\{A\} - G\{A\}|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{C}_d $ — совокупность выпуклых подмножеств пространства $\mathbf{R}^d$. Символами $c$ и $c(\,{\cdot}\,)$ мы обозначаем, вообще говоря, различные положительные абсолютные постоянные и величины, зависящие только от аргумента в скобках. Распределение случайного вектора $\xi$ обозначается $\mathcal L(\xi)$. Следующая теорема является основным результатом работы автора [26]. Теорема 1. Для любого нетривиального распределения $F$ найдется величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что при всех натуральных $n$. Распределение $F$ считается тривиальным, если оно сосредоточено на аффинной гиперплоскости, не содержащей начало координат. Ясно, что для таких $F$ имеет место равенство Тривиальность означает, что (2) тривиально выполняется для тривиального $F$, поскольку гиперплоскости являются выпуклыми множествами, а распределения $F^n$ и $F^{n+1}$ сосредоточены на непересекающихся гиперплоскостях. В одномерном случае тривиальными являются распределения $E_a$, сосредоточенные в точках $a\ne0$.Теорема 1 является очень общим результатом. Оценка (1) и равенство (2) дают полную информацию о близости распределений $F^n$ и $F^{n+1}$ на произвольных выпуклых множествах для произвольных распределений $F\in\mathfrak F_d$. Константа $c(F)$ в неравенстве (1) может быть сколь угодно большой, если распределение $F$ близко к некоторому тривиальному распределению. В одномерном случае утверждение теоремы 1 содержится в [1; гл. V, теорема 4.2]. Оно известно для невырожденных гауссовских распределений $\Phi\in\mathfrak F_d$, причем оценка справедлива даже для расстояния по вариации:
$$
\begin{equation}
\rho_{\mathrm{TV}}(\Phi^n, \Phi^{n+1}) \leqslant\frac{c(\Phi)}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Это неравенство можно вывести из следующей леммы (см. [18], [12; лемма 8], а также [6; неравенства (1.3), (1.7)]). Лемма 1. Пусть $\Phi_k\in\mathfrak F_d$, $k=1,2$, — гауссовские распределения с невырожденными ковариационными матрицами $\Sigma_k$ и средними значениями $b_k$. Тогда где $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathrm{F}}$ — норма Фробениуса, а $I_d$ — единичная ($d\times d)$-матрица. Для доказательства оценки (3) следует применить лемму 1 с $\Sigma_1=n\Sigma$, $\Sigma_2=(n+1)\Sigma$, $b_1=nb$, $b_2= (n+1)b$, где $\Sigma$ и $b$ — ковариационная матрица и среднее значение случайного вектора $\xi$ с распределением $\mathcal{L}(\xi)=\Phi$. Ясно, что для тривиального гауссовского распределения $\Phi$ справедливо равенство Такое распределение имеет вырожденную ковариационную матрицу и ненулевое среднее значение.В монографии [1; гл. V, § 4 и § 5] приведены и другие оценки близости $n$- и $(n+1)$-кратных сверток вероятностных распределений (см. также работы [7], [8], [25], [26]). В работе автора [26] теорема 1 сравнительно несложно выводится с помощью неравенства (3) и следующей леммы 2, принадлежащей В. В. Сазонову [15] (см. также [3], [16]). Лемма 2. Пусть $F\in\mathfrak F_d$ — вероятностное распределение, удовлетворяющее условию а $\Phi$ — гауссовское распределение с той же ковариационной матрицей и тем же средним значением, что у распределения $F$. Тогда найдется величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что при всех натуральных $n$. При $d=1$ лемма 2 вытекает из хорошо известного неравенства Берри–Эссеена. Ясно, что для распределений с конечными моментами третьего порядка утверждение теоремы 1 легко выводится из оценки (3) и леммы 2 с помощью неравенства треугольника. 2. Оценки расстояния ПрохороваВ этом разделе мы сформулируем аналог теоремы 1 для расстояния Прохорова [14], метризирующего слабую сходимость вероятностных распределений (см. теорему 3). Вопрос о возможности получения такого аналога был задан Ю. А. Давыдовым во время доклада автора, посвященного теореме 1. Расстояние Прохорова между распределениями $G,H\in\mathfrak F_d$ определяется равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi(G,H) &=\inf \bigl\{ \varepsilon>0\colon G\{A\}\leqslant H\{A^{\varepsilon}\}+\varepsilon,\, H\{A\}\leqslant G\{A^{\varepsilon}\}+\varepsilon \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad \text{для любого борелевского множества }A\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $A^{\varepsilon }=\{y\in \mathbf{R}^{d}\colon\inf_{x\in A}\|x-y\| <\varepsilon \}$ обозначает $\varepsilon$-окрестность множества $A$. Нам понадобится следующее свойство расстояния Прохорова. Лемма 3 (см. [27]). Пусть $F, G, H\in\mathfrak F_d$ — произвольные распределения. Тогда $\pi(FH, GH)\leqslant \pi(F,G)$. Следующую лемму 4 обычно называют теоремой Штрассена–Дадли (см. [4], [17], [19]). Лемма 4. Пусть $F, G\in\mathfrak F_d$ — произвольные распределения. Тогда Если $X$ — случайный вектор с распределением $F$ и $a>0$, мы будем обозначать через $F_{(a)}$ распределение нормированного случайного вектора $X/\sqrt{a}$. Следующую лемму 5 легко вывести с помощью леммы 4. Доказательство теоремы 3 проводится индукцией по размерности $d$. Остальные шаги доказательства вспомогательной теоремы 2 почти дословно повторяют доказательство теоремы 1 в [26]. Только вместо леммы 2 следует использовать следующую лемму 6, принадлежащую В. В. Юринскому [20]. Лемма 6. Пусть $F\in\mathfrak F_d$ — вероятностное распределение, удовлетворяющее условию а $\Phi$ — гауссовское распределение с той же ковариационной матрицей и тем же средним значением, что у распределения $F$. Тогда существует величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что для всех натуральных чисел $ n$. Величина $c(F)$ из формулировки леммы 6 зависит от моментов распределения $F$ до третьего порядка включительно. Изначальная формулировка леммы 6 в работе В. В. Юринского [20] немного иная. Случайные векторы нормируются не только на $\sqrt{n}$, но и на $\sigma$, где $\sigma^2$ — максимальное собственное значение ковариационной матрицы слагаемых. Чтобы получить утверждение леммы 6, следует дополнительно воспользоваться леммой 5. Биномиальное распределение с параметрами $n$, $p$ может быть представлено в виде где а $C_n^k=n!/(k!\,(n-k)!)$ — биномиальные коэффициенты. Мы будем использовать следующее утверждение о близости биномиальных распределений по вариации.Лемма 7 (см. [26; лемма 3]). При $0<p<1$ имеет место неравенство для любого натурального $n$. Эту лемму тоже можно рассматривать как оценку близости $n$- и $(n+1)$-кратных сверток, поскольку $B_{n,p}=(B_{1,p})^n$. Основным результатом статьи является теорема 3, сформулированная в работе [26]. Мы докажем эту теорему в разделе 3. Теорема 2 представляет собой вспомогательный результат, дающий оценку для невырожденных распределений $F$. Теорема 2. Предположим, что $F\in\mathfrak F_d$ — вероятностное распределение такое, что где $0<p<1$, $U\in\mathfrak F_d$ — вероятностное распределение с ограниченным носителем и невырожденной ковариационной матрицей, а $V\in\mathfrak F_d$ — некоторое вероятностное распределение. Тогда существует величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что для всех натуральных $n$. Величина $c(F)$ из формулировки теоремы 2 зависит от $p$ и моментов распределения $U$ до третьего порядка включительно. Представление распределения $F$ в виде (8) не единственно. Поэтому минимизацию величины $c(F)$ по выбору представления (8) можно рассматривать как отдельную задачу. Теорема 3. Для любого распределения $F\in\mathfrak F_d$ существует величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что для всех натуральных $n$. Правая часть неравенства (10) имеет правильный порядок по $n$. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве $F$ симметричное одномерное распределение $F=E_{-1}/2+E_{1}/2$ и четное $n$. Тогда распределения $F_{(n)}^n$ и $F_{(n)}^{n+1}$ сосредоточены соответственно на множествах $\{2k/\sqrt{n},\, k\in \mathbf{Z}\}$ и $\{(2k+1)/\sqrt{n}, \, k\in \mathbf{Z}\}$, причем
$$
\begin{equation}
\max_k\mathbf{P}\{S_{n}=k\}=\mathbf{P}\{S_{n}=0\}\geqslant\frac{c}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Последнее неравенство в формуле (11) несложно выводится с помощью формулы Стирлинга. Из сказанного следует, что
$$
\begin{equation*}
\pi\bigl(F_{(n)}^n, F_{(n)}^{n+1}\bigr) \geqslant\frac{c}{\sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В теоремах 2 и 3 мы не делим распределения на тривиальные и нетривиальные. Заметим, что для всех $G,H\in\mathfrak F_d$ Так что для невырожденных гауссовских распределений утверждение теоремы 3 следует из неравенства (3).Легко видеть, что для всех $a, b\in\mathbf{R}^d$ Ясно, что $F_{(n)}^n$ — это распределение нормированной суммы $S_n/\sqrt{n}$, которое не близко к вырожденному распределению $E_0$, если только распределение $F$ не вырождено. Действительно, используя неравенство Колмогорова–Рогозина для функций концентрации Леви (см. [1; гл. II, теорема 2.4]), можно показать, что для любого невырожденного распределения $F$ существует $c(F)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl\{\biggl\|\frac{S_n}{\sqrt{n}}\biggr\|\leqslant c(F)\biggr\}\leqslant \frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время очевидно, что можно выбрать нормирующие константы $\varphi(n)$ настолько большими, что $\pi(\mathcal{L}(S_n/\varphi(n)), \mathcal{L}(S_{n+1}/\varphi(n)))$ мало из-за того, что оба распределения близки к вырожденному распределению $E_0$. Таким образом, нормировка на $\sqrt{n}$ естественна при рассмотрении расстояния Прохорова, которое не инвариантно относительно преобразования масштаба. Для распределений ненормированных сумм утверждение теоремы 3, вообще говоря, может быть неверно. В частности, $\pi(F^n, F^{n+1})=1$ для $F=E_a$ при $\|a\|\geqslant 1$ (см. (13)). Из теоремы 3, леммы 4 и определения расстояния Прохорова легко вывести следующие теоремы 4 и 5. Теорема 4. Для любого распределения $F\in\mathfrak F_d$ найдется величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что для любого борелевского множества $A$ при всех натуральных $n$. Теорема 5. Для любого распределения $F\in\mathfrak F_d$ найдется величина $c(F)$, зависящая только от $F$ и такая, что для любого натурального $n$ можно построить на одном вероятностном пространстве случайные векторы $\xi_n$ и $\eta_n$ с распределениями $\mathcal{L}(\xi_n)=F^{n+1}$ и $\mathcal{L}(\eta_n)=F^n$ так, что Заметим, что векторы $\xi_n=S_{n+1}$ и $\eta_n=S_n$ имеют требуемые распределения, но для вектора $\xi_n -\eta_n=X_{n+1}$ в этом случае не выполняется неравенство (14) — разумеется, если распределение $F$ имеет неограниченный носитель. Если же носитель распределения $F$ ограничен, то утверждение теоремы 5 при $\xi_n=S_{n+1}$ и $\eta_n=S_n$ очевидно, причем правую часть неравенства (14) можно заменить на нуль. Теоремы 3–5 также являются очень общими утверждениями. Они описывают близость распределений $F^n$ и $F^{n+1}$ на произвольных борелевских множествах для произвольных распределений $F\in\mathfrak F_d$. На самом деле утверждения теорем 3–5 эквивалентны. Заметим при этом, что теоремы 4 и 5 говорят о близости распределений $F^{n+1}$ и $F^n$ ненормированных векторов $S_{n+1}$ и $S_n$, что еще раз указывает на естественность выбора нормировки на $\sqrt{n}$ при рассмотрении распределений $F_{(n)}^{n}$ и $F_{(n)}^{n+1}$ векторов $S_{n}/\sqrt{n}$ и $S_{n+1}/\sqrt{n}$ в формулировке теоремы 3. Пусть $\xi_1, \xi_2, \dots$ — независимые одинаково распределенные случайные векторы с общим распределением $F\in\mathfrak F_d$, и пусть $\mu$ — целочисленная неотрицательная случайная величина, не зависящая от последовательности $\{\xi_j\}_{j=1}^\infty$. Обозначим Хорошо известно, что тогда Ясно, что оценки близости распределений $F^{n+1}$ и $F^n$ могут быть полезны при сравнении между собой распределений вида (15) (см. [1; гл. V, § 5], [7], [8]).3. Доказательства Доказательство теоремы 2. Имеют место представления
Введем распределения Пусть $\Phi $ — гауссовское распределение с той же ковариационной матрицей и тем же средним, что у распределения $U$. Применяя неравенства (3), (12) и леммы 3, 5, 6, получаем, что при $k\in\mathbf{Z}$, $0\leqslant k< np(2-p)$, справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\pi\bigl(V_{(n)}^k U_{(n)}^{n-k},V_{(n)}^k U_{(n)}^{n+1-k}\bigr)\leqslant\pi\bigl(U_{(n)}^{n-k}, U_{(n)}^{n+1-k}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\pi\bigl(U_{(n)}^{n-k}, \Phi_{(n)}^{n-k}\bigr)+\pi\bigl(\Phi_{(n)}^{n-k}, \Phi_{(n)}^{n+1-k}\bigr)+\pi\bigl(\Phi_{(n)}^{n+1-k}, U_{(n)}^{n+1-k}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\pi\bigl(U_{(n-k)}^{n-k}, \Phi_{(n-k)}^{n-k}\bigr)+\pi\bigl(\Phi_{(n-k)}^{n-k}, \Phi_{(n-k)}^{n+1-k}\bigr)+c\pi\bigl(\Phi_{(n+1-k)}^{n+1-k}, U_{(n+1-k)}^{n+1-k}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{c(F)}{\sqrt{n-k}}+\frac{c(\Phi)}{\sqrt{n-k}}+\frac{c(F)}{\sqrt{n+1-k}} \leqslant\frac{c(F)}{\sqrt{n-k}}<\frac{c(F)}{\sqrt{n}}=\varepsilon_n \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
(мы воспользовались тем, что $0<p(2-p)<1$ при $0<p<1$).
Пусть $\eta_{n,p}$ — случайная величина с биномиальным распределением $B_{n,p}$. Согласно неравенству Бернштейна (см. [1; гл. I, теорема 4.1]),
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\{\eta_{n,p}\geqslant np(2-p)\}=\mathbf{P}\{\eta_{n,p}-np\geqslant np(1-p)\} \leqslant\exp\biggl(-\frac{np(1-p)}4\biggr).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Используя (17), (18), мы получаем для любого борелевского множества $A$ соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F_{(n)}^n\{A\}=\sum_{k=0}^{n}b_k(n,p)V_{(n)}^kU_{(n)}^{n-k}\{A\} \\ &\ =\sum_{np(2-p)\leqslant k\leqslant n} b_k(n,p)V_{(n)}^kU_{(n)}^{n-k}\{A\} + \sum_{0\leqslant k < np(2-p)} b_k(n,p) V_{(n)}^kU_{(n)}^{n-k}\{A\} \\ &\ \leqslant\mathbf{P}\{\eta_{n,p}\geqslant np(2-p)\} + \sum_{0\leqslant k< np(2-p)} b_k(n,p) \bigl(V_{(n)}^kU_{(n)}^{n+1-k}\{A^{\varepsilon_n}\}+\varepsilon_n\bigr) \\ &\ \leqslant\exp\biggl(-\frac{np(1-p)}4\biggr)+G_n\{A^{\varepsilon_n}\}+\varepsilon_n\leqslant G_n\{A^{\varepsilon_n}\}+\frac{c(F)}{\sqrt{n}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказывается, что
$$
\begin{equation*}
G_n\{A\}\leqslant F_{(n)}^n\{A^{\varepsilon_n}\}+\frac{c(F)}{\sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\pi\bigl(F_{(n)}^{n},G_n\bigr)\leqslant\frac{c(F)}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation}
\pi\bigl(G_n,F_{(n)}^{n+1}\bigr)\leqslant\sum_{k=0}^{n+1}|b_k(n,p)-b_k(n+1,p)| =2\rho_{\mathrm{TV}}(B_{n,p}, B_{n+1,p})
\end{equation}
\tag{20}
$$
(разумеется, мы полагаем $b_{n+1}(n,p)=0$). Остается применить неравенства (19), (20) и лемму 7. Теорема доказана. Доказательство теоремы 3. Мы воспользуемся индукцией по размерности $d$. Пусть $d=1$ и $F=E_a$, где $a\in\mathbf{R}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_{(n)}^n=E_{na/\sqrt{n}},\quad F_{(n)}^{n+1}=E_{(n+1)a/\sqrt{n}}
\end{equation*}
\notag
$$
и, используя (13), мы имеем
$$
\begin{equation*}
\pi\bigl(F_{(n)}^n, F_{(n)}^{n+1}\bigr) =\pi\bigl(E_0, E_{a/\sqrt {n}}\bigr)\leqslant \frac{|a|}{\sqrt{n}},
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает оценку (10) в этом случае. Если распределение $F$ не вырождено, $F\ne E_a$, мы можем представить $F$ в виде (8) так, чтобы $(1-p)U$ и $pV$ являлись сужениями меры $F$ соответственно на интервал $[-T,T]$ и на $\mathbf{R}\setminus[-T,T]$, дополнение к этому интервалу. Выбирая достаточно большое $T$, мы можем обеспечить отличие от нуля дисперсии случайной величины $\xi$ с распределением $\mathcal{L}(\xi)=U$. Теперь из теоремы 2 следует одномерный вариант теоремы 3.
Предположим, что теорема 3 доказана для $(d-1)$-мерных распределений $F$. Докажем ее в $d$-мерном случае. Легко понять, что мы можем представить $F$ в виде (8) с некоторым $p$ таким, что $0<p<1$, $U\in\mathfrak F_d$ — вероятностное распределение с ограниченным носителем и невырожденной ковариационной матрицей, а $V\in\mathfrak F_d$ — некоторое вероятностное распределение. Ясно, что распределения $U$ и $V$ можно выбрать так, чтобы $(1-p)U$ являлось сужением меры $F$ на центрированный шар достаточно большого радиуса, а $pV$ — на дополнение к этому шару. Кроме того, если для всех радиусов распределение $U$ имеет вырожденную ковариационную матрицу, то распределение $F$ сосредоточено на некоторой аффинной гиперплоскости $H$. Если эта гиперплоскость содержит начало координат, то она представляет собой $(d-1)$-мерное линейное подпространство в $\mathbf{R}^d$ и утверждение теоремы следует из предположения индукции. Если $H$ не содержит начала координат, то это $(d-1)$-мерное линейное подпространство $H_0$, сдвинутое на вектор $a\in\mathbf{R}^d$, т.е. $H=H_0+a$. В этом случае распределение $F$ можно представить в виде $F=GE_a$, где распределение $G$ сосредоточено на гиперплоскости $H_0$. По предположению индукции имеем
$$
\begin{equation}
\pi\bigl(G_{(n)}^n, G_{(n)}^{n+1}\bigr) \leqslant\frac{c(G)}{\sqrt{n}}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Используя равенство (13), оценку (21) и лемму 3, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi\bigl(F_{(n)}^n, F_{(n)}^{n+1}\bigr) &=\pi\bigl(G_{(n)}^nE_{na/\sqrt{n}},G_{(n)}^{n+1} E_{(n+1)a/\sqrt{n}}\bigr) \\ &\leqslant \pi\bigl(G_{(n)}^nE_{na/\sqrt{n}},G_{(n)}^{n+1} E_{na/\sqrt{n}}\bigr) +\pi\bigl(E_{na/\sqrt{n}}, E_{(n+1)a/\sqrt{n}}\bigr) \\ &\leqslant \frac{c(G)}{\sqrt{n }}+\frac{\|a\|}{\sqrt{n }} \leqslant \frac{c(F)}{\sqrt{n }}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zai24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|