| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
О предельных теоремах для распределения максимального элемента последовательности случайных величин А. А. Боровков, Е. И. Прокопенко Институт математики им. С Л. Соболева Сибирского отделения РАН, Новосибирск, Россия
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991854 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\xi,\xi_1,\xi_2,\dots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $F(x)=\mathbf{P}(\xi\geqslant x)$ есть “хвост” распределения $\xi$. Положим Мы будем изучать распределение величины при больших $n$. Задаче о распределении $\overline{\xi}_n$ посвящена обширная литература (см., например, [1], [2; гл. 2], [3; разд. 9.6], [4]–[8] и библиографию в этих работах).Основное содержание названных работ составляет предельная теорема Фишера–Типпета–Гнеденко о распределении последовательности $(\overline{\xi}_n-a_n)/b_n$ линейно нормированных максимумов. Для удобства читателя мы приведем формулировку этой теоремы в несколько ином, более простом, чем в названных источниках, виде без использования понятий, которые, возможно, нужны в доказательствах, но без них можно обойтись в формулировках теорем. Нам понадобится ряд обозначений. Пусть $\mathcal{R}$ и $\mathcal{R}_s$ — классы правильно меняющихся функций $F(x)$ с параметрами $-\alpha<0$ и $\alpha>0$ соответственно при $x\to\infty$ и при $x\to s<\infty$. В последнем случае, не ограничивая общности, положим $s=0$. Пусть далее $\widehat{\mathcal{E}}$ — класс хвостов $F(x)$, для которых выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to\infty}\frac{U(tx)-U(t)}{U(ty)-U(t)}=\frac{\ln x}{\ln y} \quad\text{для всех }\ x, y>0, \ \ y\neq 1,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $U$ есть обобщенная обратная функция к $1/F(x)$. Теорема A. (i) Пусть $s=\infty$. Для того чтобы существовали нормирующие последовательности $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ такие, что (ii) Пусть $s=0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{D}_{\mathcal{R}_0}(x)= \begin{cases} \exp\{-(-x)^{\alpha}\} &\textit{при }\ x < 0, \\ 1 &\textit{при }\ x \geqslant 0, \end{cases} \quad \alpha > 0 \quad (\textit{распределение Вейбулла}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедливо утверждение (i) при замене в нем $\mathcal{R}$ на $\mathcal{R}_0$ и $\mathbf{D}_{\mathcal{R}}$ на $\mathbf{D}_{\mathcal{R}_0}$, а $F^{(-1)}(1/n)$ на $-F^{(-1)}(1/n)$. (iii) Пусть $s=\infty$,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{D}_{\mathcal{E}}(x)=\exp\{-e^{-x}\}\ \textit{ при }\ x\in\mathbf{R}\quad (\textit{распределение Гумбеля})
\end{equation*}
\notag
$$
и существует положительная функция $g(t)$, удовлетворяющая соотношению
$$
\begin{equation}
\lim_{t\uparrow\infty}\frac{F(t+xg(t))}{F(t)}=e^{-x}\quad\textit{для всех }\ x\in\mathbf{R}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Тогда для того чтобы существовали нормирующие последовательности $a_n$, $b_n$ такие, что выполнено соотношение (2) при замене в нем $\mathbf{D}_\mathcal{R}$ на $\mathbf{D}_{\mathcal{E}}$, необходимо и достаточно, чтобы $F\in\widehat{\mathcal{E}}$, при этом
$$
\begin{equation}
a_n=F^{(-1)}\biggl(\frac1{n}\biggr),\qquad b_n=g\biggl(F^{(-1)}\biggl(\frac1{n}\biggr)\biggr)
\end{equation}
\tag{6}
$$
(см. [4; теорема 1.6.2]). В этом утверждении и в дальнейшем символ $\mathbf{D}$ (с индексом или без) в ряде случаев будет обозначать не одно фиксированное распределение, а целый класс распределений, зависящих от некоторых параметров. Например, $\mathbf{D}_\mathcal{R}$ может означать класс распределений вида (3), зависящих от параметра $\alpha$. Отметим также следующее. $\bullet$ Явный вид обобщенных обратных функций $F^{(-1)}(y)$ для хвостов $F$ из классов $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}_0$, $\widehat{\mathcal{E}}$ в общем случае неизвестен. Его удается найти лишь в ряде специальных случаев, когда $F(x)$ имеет простой вид. Например, если $F(x)=x^{-\alpha}$ при $x\geqslant 1$, $\alpha>0$, то $F^{(-1)}(y)=y^{-1/\alpha}$, а если $F(x)=\exp\{-cx^\alpha\}$ при $x\geqslant 0$, $\alpha>0$, то $F^{(-1)}(y)=(-(\ln y)/c)^{1/\alpha}$. $\bullet$ Так как функция $U(t)$ в условии (1) принадлежности $F(x)$ классу $\widehat{\mathcal{E}}$ в общем случае неизвестна, то это условие непроверяемо и, стало быть, остается неясным, что собой представляет класс $\widehat{\mathcal{E}}$. $\bullet$ Имеется иной, более конструктивный, но тоже весьма сложный подход к описанию класса $\widehat{\mathcal{E}}$, не требующий знания обратной функции $F^{(-1)}(y)$. При $s=\infty$ он имеет следующий вид: $F\in\widehat{\mathcal{E}}$ тогда и только тогда, когда существуют $z_0<\infty$ и абсолютно непрерывная на $(z_0,\infty)$ функция $f(u)>0$ с производной $f'(u)\to 0$, $u\uparrow\infty$, такая, что
$$
\begin{equation*}
F(x)=c(x)\exp\biggl\{-\int_{z_0}^x\frac{du}{f(u)}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c(x)\to c>0$ при $x\to\infty$ (см. [5]). Такое определение $\widehat{\mathcal{E}}$ более доступно для проверки принадлежности $F\in\widehat{\mathcal{E}}$, так как оно не использует обратные функции $F^{(-1)}(y)$. Установлено, что экспоненциальное, нормальное и ряд других быстроубывающих распределений принадлежат $\widehat{\mathcal{E}}$. $\bullet$ Вид нормирующих компонент во всех трех случаях, рассмотренных в теореме A, определяется обратной функцией $F^{(-1)}(y)$ (см. (4), (6)) и, стало быть, предельные теоремы для $\overline{\xi}_n$ в их явном виде в общем случае здесь отсутствуют, хотя они являются основной целью проводимых исследований. $\bullet$ В названных работах изучаются предельные теоремы лишь при линейной нормировке $\overline{\xi}_n$. Как будет показано ниже, это априорное ограничение существенно сужает класс хвостов $F$, для которых удается установить предельные теоремы для $\overline{\xi}_n$ (нормировка при этом будет иной). $\bullet$ Несомненным достоинством теоремы A является тот факт, что все условия, фигурирующие в ней, необходимы и достаточны. В настоящей работе предлагается значительно более простой и прозрачный (на наш взгляд) общий подход, основанный на приведенной ниже почти очевидной теореме 1, которую можно назвать основной. Этот подход обладает следующими преимуществами. (I) Для четырех широких классов распределений с неограниченным справа носителем ($s=\infty$) и четырех аналогичных классов с ограниченным носителем ($s=0$) он позволяет получить в явном виде предельные теоремы о распределении $\overline{\xi}_n$ при $n\to\infty$. При этом результаты в случае $s=0$ не требуют разработки специальной техники, а являются следствиями результатов, установленных в случае $s=\infty$. (II) При $s=\infty$ рассмотрены следующие три класса хвостов, заполняющих в какой-то мере широкий спектр скоростей убывания этих хвостов: (a) класс $\mathcal{L}$ медленно убывающих хвостов; (b) класс $\mathcal{E}$ быстро убывающих (в том числе экспоненциальных) хвостов; (c) класс $\mathcal{M}$, который в значительной мере заполняет (по скорости убывания хвостов) промежуток между $\mathcal{L}$ и $\mathcal{E}$. Полное описание классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$ будет дано ниже. Рассмотрение широкого спектра скоростей убывания хвостов позволяет получить представление о возможных формах нормировки и предельных законов для $\overline{\xi}_n$. Рассмотрен также (d) класс $\mathcal{R}$ правильно меняющихся функций, изученный в теореме A (утверждение (i)). Сужение этого класса до подкласса асимптотически степенных функций $F(x)\sim c x^{-\alpha}$, $x\to\infty$, вложено в класс $\mathcal{M}$. Мы включили класс $\mathcal{R}$ в наше изложение по двум причинам: 1) чтобы продемонстрировать существование очень простого способа доказательства утверждения (i) теоремы A с помощью нашего подхода; 2) чтобы показать, что доказательство утверждения (ii) теоремы A для класса $\mathcal{R}_0$ не требует дополнительных рассмотрений, а почти немедленно вытекает из утверждения (i). (III) Классы (a)–(c) определены в явном виде и для них получены “явные” предельные теоремы с указанием нужной нормировки (не всегда линейной). При этом каждый из классов (a)–(d) характеризуется своей нормировкой. Центрирование востребовано лишь в классе $\mathcal{E}$. Нормирующие множители присутствуют в классах $\mathcal{E}$, $\mathcal{R}$ и $\mathcal{M}$. В классе $\mathcal{L}$ нормировкой является возведение $\overline{\xi}_n$ в малую степень, зависящую от $n$ (порядка $1/n$). Возведение $\overline{\xi}_n$ в степень, но порядка $(\ln n)^\beta$ при некотором $\beta\in(-\infty,\infty)$, присутствует в классе $\mathcal{M}$ ($\beta=0$ в классе $\mathcal{R}\cap\mathcal{M}$). Таким образом, линейная нормировка присутствует лишь в классах $\mathcal{E}$ и $\mathcal{R}$. (IV) Из утверждения (iii) теоремы A и теоремы 3 будет следовать, что $\mathcal{E}\subset\widehat{\mathcal{E}}$. Основная предельная теорема и ее следствия для классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$ получены в разделах 2, 3. Классы $\mathcal{L}_0$, $\mathcal{E}_0$, $\mathcal{M}_0$, $\mathcal{R}_0$, являющиеся аналогами классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$ при $s=0$, рассмотрены в разделе 4. Теорема 1 допускает ряд обобщений, связанных, например, с пуассоновской аппроксимацией распределения числа элементов $\xi_k$, превышающих заданный уровень, а также обобщения на случай, когда $\xi_k$ связаны в цепь Маркова, и др. Этим обобщениям посвящены разделы 5, 6. Список работ [1]–[4], [6]–[8], описывающих историю и современное состояние изучаемого предмета, подготовлен Е. И. Прокопенко. 2. Асимптотически обратные функции и основная теоремаВажную роль в дальнейшем будет играть понятие асимптотически обратной функции (а.о.ф.) $G$ для хвоста $F$. Оно позволяет получить в весьма простом и максимально общем виде основное утверждение о предельных законах для $\overline{\xi}_n$ (теорема 1) в терминах а.о.ф. или в терминах $F$. Определение 1. Хвост $F$ распределения случайной величины $\xi$ назовем частично обратимым, если найдется $x_0<s$ такое, что при каждом $y\in(0, F(x_0))$ уравнение $F(x)=y$ относительно $x$ имеет единственное решение в интервале $(x_0,s)$. Необходимым и достаточным условием для частичной обратимости хвоста $F$ является непрерывность и строгая монотонность $F(x)$ на $(x_0,s)$. Везде в дальнейшем мы будем предполагать, что выполнено следующее условие. $[\mathrm{F}]$. Для хвоста $F$ существует функция $\widetilde{F}$, обладающая свойствами: 1) $\widetilde{F}$ является частично обратимой при некотором $x_0<s$; 2) $\widetilde{F}(x)\sim F(x)$ при $x\to s$. Хвосты $F$, удовлетворяющие условию $[\mathrm{F}]$, назовем асимптотически обратимыми хвостами (а.о.х.) распределения $\xi$. Решение $G(y)$ уравнения $\widetilde{F}(x)=y$ относительно $x$ при достаточно малых $y$ называется асимптотически обратной функцией (а.о.ф.) к $F(x)$ (или к $\widetilde{F}(x)$). Оно обладает свойством
$$
\begin{equation*}
F\bigl(G(y)\bigr)\sim y\quad\text{при }\ y \downarrow 0.
\end{equation*}
\notag
$$
А.о.х. ${F}$ существует не всегда. Например, рассмотрим случай, когда $F$ обладает интервалами постоянства с точками разрыва $x_1< x_2< x_3< \cdots$, $x_k\uparrow s$, в которых $F(x_k)> F(x_{k+1})(1+\delta)$ при некотором $\delta>0$ и всех $k\geqslant 1$. В этом случае не существует непрерывной функции $\widetilde{F}(x)$ такой, что $\widetilde{F}(x)\sim F(x)$ при $x\uparrow s$. В целом условия существования а.о.х. $\widetilde{F}(x)$ (и, стало быть, а.о.ф. $G(y)$) являются весьма широкими. А.о.х. $\widetilde{F}(x)$ определяется неоднозначно. Мы будем выбирать наиболее простые по форме версии. Если, например, $s=\infty$ и
$$
\begin{equation*}
F(x)=c(x+5)^{-\alpha}(1+o(1))\quad\text{при }\ \alpha>0,\ \ x\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то мы можем рассматривать функцию $\widetilde{F}(x)=x^{-\alpha}$. Если $F(x)\sim 1-e^{-\alpha/x}$ при $\alpha>0$, $x\to\infty$, то мы можем рассматривать функцию $\widetilde{F}(x)=\alpha/x$. Если $s=\infty$, то, очевидно, предельные распределения для $\overline{\xi}_n$ и $\max_{k\leqslant n}(1,\xi_k)$ будут совпадать. Поэтому в дальнейшем в случае $s=\infty$ мы, не ограничивая общности, будем считать, что $\overline{\xi}_n\geqslant 1$ при всех $n$. Если $s<\infty$, то случай $\mathbf{P}(\xi=s)>0$ исключается. В задаче об асимптотике распределения $\overline{\xi}_n$ и близких к ней задачах (см. ниже) можно различать два элемента: “качественный” и технический. Техническая часть состоит в обращении в той или иной мере функции $\widetilde{F}(x)$, а иногда и в отыскании явного вида а.о.ф. $G(y)$. “Качественный” элемент состоит в отыскании асимптотики распределения $\overline{\xi}_n$ и некоторых других функционалов от траектории $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ (см. ниже) в терминах $\widetilde{F}(x)$ или а.о.ф. $G$. Качественным элементом является следующее простое утверждение. Теорема 1. I. Пусть выполнено условие $[\mathrm{F}]$. Тогда для любого $v>0$ или, что то же, II. Если при $x>x_0$, $F(x_0)=\varepsilon>0$ существует обратная к $F(x)$ функция $G(y)$, то при $n\to\infty$, $v=o(n)$ вероятности в левых частях соотношений (7), (8) равны Доказательство теоремы 1 по существу очевидно.
I. Имеем при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n<G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr) =\biggl(1-F\biggl(G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr)\biggr)^n= \biggl(1-\frac{v}{n}(1+o(1))\biggr)^n\to e^{-v}.
\end{equation*}
\notag
$$
II. Аналогично предыдущему для $v<\varepsilon n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n<G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr) &=\biggl(1-F\biggl(G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr)\biggr)^n =\biggl(1-\frac{v}{n}\biggr)^n \\ &=\exp\biggl\{n\ln \biggl(1-\frac{v}{n}\biggr)\biggr\} =\exp\biggl\{-n\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\biggl(\frac{v}{n}\biggr)^k\biggr\} \\ &=e^{-v}\biggl(1+\frac{v^2}{2n}+O\biggl(\frac{v^3}{n^2}\biggr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $v=o(n)$, $n\to\infty$. Теорема 1 доказана. Преобразование $nF(\overline{\xi}_n)$ над $\overline{\xi}_n$ можно назвать индивидуальной нормировкой $\overline{\xi}_n$. Соотношение (8) означает, что результат индивидуальной нормировки $\overline{\xi}_n$ сходится по распределению к показательному распределению. Так как $F$ известна, то этот факт можно использовать для оценки уровня значимости статистических критериев для проверки гипотез, основанных на статистике $\overline{\xi}_n$. Рассмотрим теперь следствия теоремы 1 для классов распределений $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$ и наряду с теоремой A получим для названных классов “собирательные утверждения”, в которых для каждого из этих классов будет найдена нормировка для $\overline{\xi}_n$ (своя для каждого класса и не всегда линейная), дающая предельное распределение (известной формы) величины $\overline{\xi}_n$. 3. Классы $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$ распределений с неограниченным справа носителемВ классах $\mathcal{L}$, $\mathcal{M}$ мы будем рассматривать множества “простых” по форме хвостов, имеющих определенную скорость убывания при $x\to\infty$ и допускающих явные обратные функции. Это позволит отслеживать вид нормировки и ее изменения в зависимости от скорости убывания. 3.1. Класс $\mathcal{L}$ медленно убывающих распределенийБудем говорить, что $F$ принадлежит $\mathcal{L}$, если
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F(x)\sim\widetilde{F}(x)=c\biggl(\ln\frac{x+a}{b}\biggr)^{-\alpha}, \\ \text{где }\ c>0,\ \ b>0,\ \ \alpha>0,\ \ x\uparrow s=\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Заметим, что при изучении распределения $\overline{\xi}_n$ мы можем, не ограничивая общности, положить $c=1$, $a=0$, $b=1$. Относительно $a$ и $b$ это очевидно, так как
$$
\begin{equation*}
\ln\frac{x+a}{b}\sim \ln x\quad\text{при }\ x\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $c>0$, $c\neq 1$. Определим случайную величину $\xi^*$ так, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\xi^*\geqslant x)=(\ln x)^{-\alpha}\quad\text{при }\ x>e,
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\bigl((\xi^*)^{c^{1/\alpha}}\geqslant x\bigr) &=\mathbf{P}\bigl(\xi^*\geqslant x^{c^{-1/\alpha}}\bigr) =\bigl(\ln x^{c^{-1/\alpha}}\bigr)^{-\alpha}=(c^{-1/\alpha}\ln x)^{-\alpha} \\ &=c(\ln x)^{-\alpha}=\mathbf{P}(\xi\geqslant x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает соотношение (11), из которого следует, что
$$
\begin{equation}
\overline{\xi}_n\stackrel{d}{=}(\overline{\xi}^{\,*}_n)^{q},\quad\text{где }\ q=c^{1/\alpha},\ \ \overline{\xi}^{\,*}_n:=\max_{k\leqslant n}\xi^*_k
\end{equation}
\tag{12}
$$
($\xi^*_k$, $k\geqslant 1$, — независимые копии $\xi^*$). Соотношение (12) означает, что, зная предельное распределение $\xi^*_n$, мы будем знать предельное распределение $\overline{\xi}_n$. Более точные формулировки см. ниже в следствии 1. Теорема 2. Пусть $F\in\mathcal{L}$ при $c=1$, $a=0$, $b=1$. Тогда справедливы следующие утверждения. I. Для любого $w>1$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}_n)^{1/m}<w\bigr)\to\exp\{-(\ln w)^{-\alpha}\} \quad\textit{при }\ m=n^{1/\alpha},\ \ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{13}
$$
II. Если при некотором $\varepsilon>0$ и всех $y\leqslant\varepsilon$ существует обратная к $F(x)$ функция, то для $w>1$ Соотношение (13) означает, в частности, что при $\alpha=1$ ($m=n$) значения $\overline{\xi}_n$ растут, грубо говоря, как геометрическая прогрессия, а нормировка не линейна, а представляет собой извлечение корня из $\overline{\xi}_n$ порядка $n$. При этом
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}_n)^{1/n}<w\bigr)\to\exp\biggl\{-\frac{1}{\ln w}\biggr\} \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это предельное распределение не относится к распределениям вида $\mathbf{D}_{\mathcal{R}}$, $\mathbf{D}_{\mathcal{R}_0}$ или $\mathbf{D}_{\mathcal{E}}$. Вернемся к замечанию перед теоремой 2 по поводу случая $c\neq 1$. Доказательство. В силу (13) и (12) получаем, что при $c\neq 1$, $q^\alpha=c$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}_n)^{1/m}<w\bigr) =\mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}^{\,*}_n)^{q/m}<w\bigr) \\ &\qquad= \mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}^{\,*}_n)^{1/m}<w^{1/q}\bigr)\to \exp\{-(\ln w^{1/q})^{-\alpha}\}=\exp\{-c(\ln w)^{-\alpha}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 1 доказано. Доказательство теоремы 2. I. Согласно (8), для $v>0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(n(\ln\overline{\xi}_n)^{-\alpha}>v\bigr)\to e^{-v}\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $u=v^{-1/\alpha}$, т.е. $v=u^{-\alpha}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(n^{-1/\alpha}\ln\overline{\xi}_n<u\bigr)\to\exp\{-u^{-\alpha}\},
\end{equation*}
\notag
$$
что при $m:=n^{1/\alpha}$ и $w:=e^{u}$, т.е. $u=\ln w$, дает соотношение (13).
II. Согласно (9), имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(nF(\overline{\xi}_n)>v\bigr)=e^{-v}\biggl(1+\frac{v^2}{2 n} +O\biggl(\frac{v^3}{n^2}\biggr)\biggr)\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично предыдущему это дает при $u=v^{-1/\alpha}$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl(\frac{1}{m}\ln\overline{\xi}_n<u\biggr)= e^{-u^{-\alpha}} \biggl(1+\frac{u^{-2\alpha}}{2n}+O\biggl(\frac{u^{-3\alpha}}{n^2}\biggr)\biggr) \quad\text{при }\ n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что при $u=\ln w$ приводит к (14). Теорема 2 доказана. 3.2. Класс $\mathcal{E}$ быстро убывающих хвостовРассмотрим теперь класс $\mathcal{E}$ быстро убывающих а.о.х., имеющих вид
$$
\begin{equation}
F(x)\sim\widetilde{F}(x)=r(x) \exp\{-b x^\alpha\}\quad\text{при }\ b>0, \ \ \alpha>0, \ \ x\to s=\infty,
\end{equation}
\tag{15}
$$
так что $F(x)$ имеет а.о.ф. Здесь функция $r(x)>0$ такова, что $|{\ln r(x)}|<N \ln x$ при некотором фиксированном $N<\infty$ и
$$
\begin{equation*}
r\bigl(x(1+o(1))\bigr)=r(x)(1+o(1))\quad\text{при }\ x\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Всем этим условиям удовлетворяет, например, функция $r\in \mathcal{R}$. Поиски а.о.ф. $G(y)$ здесь — технически весьма сложная задача, и рассматривать ее мы не будем. Мы найдем предельное распределение $\overline{\xi}_n$, не используя явного вида а.о.ф. Рассмотрим сначала случай $b=1$. Теорема 3. Если $F\in\mathcal{E}$, то для $b=1$ и любого $u\in \mathbf{R}$ при $n\to\infty$ где В отличие от утверждения (iii) теоремы A, здесь рассматриваемый класс хвостов $\mathcal{E}$ и нормирующие последовательности указаны в явном виде. Отметим “двухуровневый” характер центрирующей последовательности в (16), в которой второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым (при $r(x)\equiv 1$ оно исчезает). Мы выбрали такую форму нормировки, чтобы несколько упростить запись результата. Доказательство теоремы 3. В силу (8) имеем при $v>0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(n\widetilde{F}(\overline{\xi}_n)>v\bigr)\to e^{-v}\quad\text{при }\ n\to\infty
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же,
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(-(\overline{\xi}_n)^\alpha +\ln n+\ln r(\overline{\xi}_n)>\ln v\bigr)\to e^{-v}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Ясно, что $\overline{\xi}_n\xrightarrow{p}\infty$ при $n\to\infty$, так что с высокой вероятностью
$$
\begin{equation}
\ln r(\overline{\xi}_n)=o_p\bigl((\overline{\xi}_n)^\alpha\bigr).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Здесь и в дальнейшем случайные величины, сходящиеся по вероятности к нулю при $n\to\infty$, мы будем обозначать через $o_p(1)$. Из (18), (19) вытекает, что распределение $(\overline{\xi}_n)^\alpha(1+o_p(1))-\ln n$ сходится к собственному распределению и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{(\overline{\xi}_n)^{\alpha}}{\ln n} \xrightarrow{p} 1
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же,
$$
\begin{equation*}
\overline{\xi}_n=(\ln n)^{1/\alpha}(1+o_p(1)),\qquad r(\overline{\xi}_n)=L(n)(1+o_p(1)),
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$, где есть медленно меняющаяся при $n\to\infty$ функция. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\ln r(\overline{\xi}_n)=\ln L(n)+\ln(1+o_p(1))=\ln L(n)+o_p(1)\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что порядок роста $|{\ln L(n)}|$ не превышает $\ln\ln n$. Если положить то из (18) при $u=-\ln v$ (т.е. при $v=e^{-u}$) получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}_n)^\alpha-L_1(n)<u\bigr)\to \exp\{-e^{-u}\} \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Левая часть этого соотношения равна
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(\overline{\xi}_n<(L_1(n)+u)^{1/\alpha}\bigr).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Здесь при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (L_1(n)+u)^{1/\alpha} &=L_1(n)^{1/\alpha}\biggl(1+\frac{u}{L_1(n)}\biggr)^{1/\alpha} \\ &=L_1(n)^{1/\alpha}+\frac{u}{\alpha}\,L_1(n)^{1/\alpha-1}(1+o(1)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (21) получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n-L_1(n)^{1/\alpha}<\frac{u}{\alpha}\,L_1(n)^{1/\alpha-1} \biggr) \to\exp\{-e^{-u}\},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $L_1(n)\sim\ln n$ при $n\to\infty$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_1(n)^{1/\alpha} &=(\ln n)^{1/\alpha}\biggl(1+\frac{\ln L(n)}{\ln n}\biggr)^{1/\alpha} \\ &=(\ln n)^{1/\alpha}+\frac{1}{\alpha}\,\frac{\ln L(n)}{(\ln n)^{1-1/\alpha}} +O\biggl(\frac{(\ln L(n))^2}{(\ln n)^{2-1/\alpha}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя полученные соотношения в (22), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}\biggl(\biggl[\overline{\xi}_n-(\ln n)^{1/\alpha}-\frac{1}{\alpha}\bigl(\ln L(n)\bigr)(\ln n)^{1/\alpha-1}\biggr]\alpha(\ln n)^{1-1/\alpha}<u\biggr) \nonumber \\ &\qquad\to\exp\{-e^{-u}\}\quad\text{при }\ n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Отсюда вытекает (16). Теорема 3 доказана. Рассмотрим теперь случай $b>0$, $b\neq 1$ и определим случайную величину Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(\xi^*\geqslant x) &=\mathbf{P}(\xi\geqslant x b^{-1/\alpha}) \\ &\sim r(x b^{-1/\alpha})\exp\{-b(xb^{-1/\alpha})^\alpha\}=r(x b^{-1/\alpha}) \exp\{-x^\alpha\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы пришли к случаю $b=1$, но при этом множитель $r(x)$ в (15) заменился на множитель $r^*(x)=r(xb^{-1/\alpha})$, который удовлетворяет всем предположениям относительно $r(x)$, сформулированным перед теоремой 3. Поэтому в силу теоремы 3 для $\mathbf{P}(\overline{\xi}^{\,*}_n\geqslant x)$ справедливо представление (16), в котором функцию $L(n)$ надо заменить на функцию
$$
\begin{equation}
L^*(n)=r^*\bigl((\ln n)^{1/\alpha}\bigr)=r\bigl(b^{-1/\alpha}(\ln n)^{1/\alpha}\bigr).
\end{equation}
\tag{24}
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\overline{\xi}^{\,*}_n=\overline{\xi}_n b^{1/\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получаем следующее утверждение. Следствие 2. Если $F\in \mathcal{E}$, $b\neq 1$, то при $u\in \mathbf{R}$ Перенормировку в этом соотношении с целью получить более стандартную его форму мы предоставляем читателю. Нетрудно убедиться, что функция $F$ из класса $\mathcal{E}$ удовлетворяет условию (5) при $g(t) = t^{1-\alpha}/(\alpha b)$. С другой стороны, согласно пункту (iii) теоремы A при выполнении условия (5) принадлежность $F$ к классу $\widehat{\mathcal{E}}$ необходима и достаточна для выполнения соотношения (2) при замене в нем $\mathbf{D}_{\mathcal{R}}$ на $\mathbf{D}_{\mathcal{E}}$. Поэтому из следствия 2 вытекает, что $\mathcal{E}\subset\widehat{\mathcal{E}}$.
$$
\begin{equation*}
r(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\,,\quad \alpha=2,\quad b=\frac{1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
получим предельное распределение для нормированной величины $\overline{\xi}_n$, соответствующей стандартному нормальному распределению. (В [4] отыскание нормирующих последовательностей для нормального закона занимает около трех страниц текста.) 3.3. “Промежуточный” между $\mathcal{L}$ и $\mathcal{E}$ класс $\mathcal{M}$Определим класс $\mathcal{M}$ как совокупность хвостов $F(x)$, обладающих свойством
$$
\begin{equation}
F(x)\sim\exp\{-\alpha(\ln x)^\beta\}\quad\text{при }\ \alpha>0,\ \ \beta>0,\ \ x\to\infty.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Класс $\mathcal{M}$ в какой-то мере “заполняет” промежуток (в смысле скоростей убывания хвостов $F(x)$) между классами $\mathcal{L}$ и $\mathcal{E}$. Обозначим Теорема 4. Пусть выполнено (26). Тогда для $u> 0$ при $n\to\infty$ В (28) нормировка $\overline{\xi}_n$ состоит в возведении $\overline{\xi}_n$ в степень $h(n)$ с последующим умножением на нормирующий множитель $n^{-\beta}$. При $\beta=1$ выполняется равенство $h=\alpha$ и соотношение (28) превращается в утверждение (i) теоремы A для степенных хвостов $F(x)\sim x^{-\alpha}$ при $x\to\infty$. Доказательство теоремы 4. В силу (8) при $v>0$, $n\to\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\bigl(n \exp\{-\alpha(\ln\overline{\xi}_n)^{\beta}\}>v\bigr)= \mathbf{P}\bigl(\ln n-\alpha(\ln\overline{\xi}_n)^\beta>\ln v\bigr)\to e^{-v}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Здесь неравенство под знаком вероятности можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
(\ln\overline{\xi}_n)^\beta<\frac{1}{\alpha}\,(\ln n-\ln v)
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же, где $b=\alpha^{-1/\beta}$. Если положить то из (30) при $n\to\infty$ получаем
$$
\begin{equation*}
\ln\overline{\xi}_n<m-\frac{m}{\beta}\,\frac{\ln v}{\ln n}\,(1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\ln(\overline{\xi}_n e^{-m})<-\frac{m}{\beta}\,\frac{\ln v}{\ln n}\,(1+o(1)).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
h=\frac{\beta}{m}\ln n=\frac{\beta}{b}\,(\ln n)^{1-1/\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (31) и (29) получаем при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(\ln (\overline{\xi}_n e^{-m})h<-(\ln v)(1+o(1))\bigr)\to e^{-v}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же (если положить $m h=\beta\ln n$),
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}\biggl((\overline{\xi}_n)^h e^{-\beta\ln n}<\frac{1}{v}\,(1+o(1))\biggr) \to e^{-v}, \\ \mathbf{P}\bigl((\overline{\xi}_n)^h n^{-\beta}<u\bigr) \to \exp\biggl\{-\frac1{u}\biggr\} \quad\text{при }\ u=\frac{1}{v},\ \ n\to\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. 3.4. Класс $\mathcal{R}$ правильно меняющихся на бесконечности хвостовПусть $G(y)$, как и прежде, есть а.о.ф. к $F(x)\in \mathcal{R}$. Теорема 5. I. Для того чтобы при $u>0$ выполнялось соотношение необходимо и достаточно, чтобы $F\in\mathcal{R}$ и хвост $F$ имел показатель $-\alpha$. II. Если
$$
\begin{equation}
\widetilde{F}(x)=x^{-\alpha}L(x)\quad\textit{при }\ \alpha>0,\ \ x\to s=\infty,
\end{equation}
\tag{33}
$$
где $L(x)$ — медленно меняющаяся на бесконечности функция такая, что
$$
\begin{equation}
L(x L^{1/\alpha}(x))\sim L(x)\quad\textit{при }\ x\to \infty,
\end{equation}
\tag{34}
$$
то можно положить
$$
\begin{equation}
G\biggl(\frac{1}{n}\biggr)=n^{1/\alpha} L^{-1/\alpha}(n^{1/\alpha}).
\end{equation}
\tag{35}
$$
III. Если при некотором $x_0>0$ и всех $x> x_0$ выполняется равенство то хвост $F(x)$ при $x>x_0$ имеет обратную функцию и при $n\to\infty$, $u\gg n^{-\alpha}$ справедливо соотношение Доказательство. I. Достаточность. Известно (см. теорему 1.1.3(v) в [9]), что при выполнении условий (33) и (34) функция $G(y)$ также является правильно меняющейся функцией, но при $y\to 0$ и с показателем $-1/\alpha$, так что для любого фиксированного $v>0$
$$
\begin{equation}
G(vy)\sim v^{-1/\alpha} G(y)\quad\text{при }\ y\to 0.
\end{equation}
\tag{37}
$$
В силу (7) и (37) имеем при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n<G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr)\to e^{-v}, \\ \mathbf{P}\biggl(\frac{\overline{\xi}_n}{G(1/n)}< v^{-1/\alpha}(1+o(1))\biggr) \to e^{-v}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $u=v^{-1/\alpha}$ получаем (32).
Необходимость. Из (7) и (32) после замены $u=v^{-1/\alpha}$ получаем $G(v/n)\sim v^{-1/\alpha} G(1/n)$ при $n\to\infty$. Но это есть характеристическое свойство правильно меняющихся функций с показателем $-1/\alpha$. Это в свою очередь означает, что $F$ принадлежит $\mathcal{R}$ и имеет показатель $-\alpha$. II. Доказательство соотношения (35) см. в [9; теорема 1.1.3 (v)]. III. Доказательство (36) очевидным образом вытекает из (9) после замены $v=u^{-\alpha}$. Теорема 5 доказана. Основное утверждение теоремы 5 совпадает с утверждением (i) теоремы A. Но, в отличие от доказательства теоремы A, здесь утверждение немедленно вытекает из почти очевидной теоремы 1 и очевидного соотношения (37). Условию (34) удовлетворяет, например, функция $L(t)=(\ln t)^\theta$ при любом фиксированном $\theta$ и при растущих $\theta=\theta(t)$ таких, что
$$
\begin{equation}
\theta^2(t)=o\biggl(\frac{\ln t}{\ln\ln t}\biggr)\quad\text{при }\ t\to\infty.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Действительно, в этом случае при выполнении (38)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L\bigl(t L^{1/\alpha}(t)\bigr) &=\bigl[\ln\bigl(t(\ln t)^{\theta/\alpha}\bigr)\bigr]^\theta =\biggl[\ln t+\frac{\theta}{\alpha}\,\ln\ln t\biggr]^\theta =(\ln t)^\theta\biggl[1+\frac{\theta}{\alpha}\,\frac{\ln\ln t}{\ln t}\biggr]^\theta \\ &=(\ln t)^\theta\biggl[1+\frac{\theta^2}{\alpha}\,\frac{\ln\ln t}{\ln t}\,(1+o(1))\biggr]\sim L(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $t\to\infty$.
4. Классы распределений $\mathcal{L}_0$, $\mathcal{E}_0$, $\mathcal{M}_0$, $\mathcal{R}_0$ с ограниченным справа носителем и двойное обращение аргументаРассмотрим теперь случай $s<\infty$. Не ограничивая общности, положим $s=0$, так что $\xi\in(-\infty,0)$. Чтобы упростить изложение, класс $\mathcal{L}_0$ определим как аналог класса хвостов $\mathcal{L}$ (см. (10)) при $c=1$, $a=0$, $b=1$. Точнее, класс $\mathcal{L}_0$ определяется как класс хвостов $F^{(0)}(x)$, для которых
$$
\begin{equation*}
F^{(0)}(x)\sim\biggl(\ln\biggl(-\frac{1}{x}\biggr)\biggr)^{-\alpha}\quad\text{при }\ \alpha>0, \ \ x<0,\ \ x\uparrow s=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Класс $\mathcal{E}_0$ определим как класс хвостов, для которых
$$
\begin{equation*}
F^{(0)}(x)\sim r\biggl(-\frac{1}{x}\biggr) \exp\{-b(-x)^{-\alpha}\} \quad\text{при }\ b>0,\ \ \alpha>0,\ \ x<0,\ \ x\uparrow 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где свойства функции $r(z)$ при $z\to\infty$ описаны перед теоремой 3. По определению будем считать, что $F^{(0)}\in\mathcal{M}_0$, если
$$
\begin{equation*}
F^{(0)}(x)\sim\exp\bigl\{-\alpha\bigl(-\ln(-x)\bigr)^\beta\bigr\}\quad\text{при }\ \alpha>0,\ \ \beta>0,\ \ x<0,\ \ x\uparrow 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Класс $\mathcal{R}_0$ был определен в разделе 1: $F^{(0)}\in\mathcal{R}_0$, если где $\alpha>0$, $x<0$ и $L(x)$ — медленно меняющаяся при $x\uparrow 0$ функция.Замечательный факт состоит в том, что для таких классов предельные теоремы для $\overline{\xi}_n$ немедленно вытекают из теорем 2–4 для классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$. Действительно, нетрудно заметить, что элементы $F^{(0)}$ классов $\mathcal{L}_0$, $\mathcal{E}_0$, $\mathcal{M}_0$, $\mathcal{R}_0$ получаются из элементов $F$ классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$, если вместо аргумента $x$ в $F(x)$ поставить значение $-1/x$, которое можно назвать “двойным обращением аргумента $x$”:
$$
\begin{equation*}
F^{(0)}(x):=\mathbf{P}(\xi^{(0)}\geqslant x)=\mathbf{P}\biggl(\xi\geqslant-\frac{1}{x}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, как уже отмечалось, в предельных законах для $\overline{\xi}_n=\max_{k\leqslant n}\xi_k$, где $\xi_k$ соответствуют классам $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$, можно, не ограничивая общности, считать, что $\xi_j\geqslant 1$ (см. замечание перед теоремой 1). Тогда двойные обращения $\xi_j$, равные $\xi^{(0)}_j:= -1/\xi_j$, будут соответствовать распределениям из классов $\mathcal{L}_0$, $\mathcal{E}_0$, $\mathcal{M}_0$, $\mathcal{R}_0$. Кроме того, очевидно, что
$$
\begin{equation}
\overline{\xi}^{\,(0)}_n=-\frac{1}{\overline{\xi}_n}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Пусть $\mathcal{K}$ — один из классов $\mathcal{L}$, $\mathcal{E}$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{R}$ хвостов $F$. Обозначим через $N_\mathcal{K}(z)$ нормированное значение $z=\overline{\xi}_n$ в предельных теоремах 2–5. Тогда из соотношений
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(N_\mathcal{K}(\overline{\xi}_n)<v\bigr)\to \mathbf{D}_\mathcal{K}(v) \quad\text{при }\ n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{D}_\mathcal{K}(v)$ — функция предельного распределения $N_\mathcal{K}(\overline{\xi}_n)$, в силу (39) получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(N_\mathcal{K}\biggl(-\frac{1}{\overline{\xi}_n^{\,(0)}}\biggr)< v\biggr)\to \mathbf{D}_\mathcal{K}(v)\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Отсюда и из теорем 2–5 вытекают следующие утверждения. 4.1. Класс $\mathcal{L}_0$Это утверждение немедленно вытекает из (40) и теоремы 2. 4.2. Класс $\mathcal{E}_0$Чтобы упростить изложение, положим $b=1$. Переход к случаю $b>0$, $b\neq 1$ происходит аналогично тому, как это делалось в следствии 2. Следствие 4. Если $F^0\in \mathcal{E}_0$, то при $b=1$, $u\in \mathbf{R}$, $n\to\infty$ где Нормировка здесь, как и в случае класса $\mathcal{E}$, линейна и получается, если показатель $1/\alpha$ в (17) заменить на $-1/\alpha$. Доказательство следствия 4. Обозначим
$$
\begin{equation*}
a_n=(\ln n)^{1/\alpha}+\frac{\ln L(n)}{\alpha}\, (\ln n)^{1/\alpha-1},\qquad b_n=\alpha(\ln n)^{1-1/\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу теоремы 3 и соотношения (40)
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(-\frac{1}{\overline{\xi}_n^{\,(0)}}-a_n<\frac{u}{b_n}\biggr) \to\exp\{e^{-u}\},
\end{equation}
\tag{43}
$$
где неравенство под знаком вероятности можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\overline{\xi}_n^{\,(0)}<-\frac{b_n}{u+a_nb_n}=-\frac{1}{a_n(1+u/(a_nb_n))}.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Так как $a_n b_n\sim\alpha\ln n\to\infty$ при $n\to\infty$, то правая часть в (44) равна
$$
\begin{equation*}
-\frac{1}{a_n}+\frac{u}{a_n^2 b_n}(1+o(1))\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу (43), (44)
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n^{\,(0)}+\frac{1}{a_n}<\frac{u}{a_n^2 b_n}\,(1+o(1))\biggr)\to\exp\{-e^{-u}\}\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{1}{a_n}=(\ln n)^{-1/\alpha}-\frac{\ln L(n)}{\alpha}\,(\ln n)^{-1-1/\alpha}(1+o(1)), \\ a_n^2 b_n=\alpha(\ln n)^{1+1/\alpha}(1+o(1)) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$. Поэтому (45) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\bigl(\bigl[\overline{\xi}_n^{\,(0)}+(\ln n)^{-1/\alpha}\bigr]\alpha(\ln n)^{1+1/\alpha}-\ln L(n)<u\bigr)\to\exp\{e^{-u}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 4 доказано. 4.3. Класс $\mathcal{M}_0$Непосредственно из теоремы 4 и соотношения (40) получаем следующее утверждение. Следствие 5. Если $F^0\in\mathcal{M}_0$, то (в обозначениях теоремы 4) 4.4. Класс $\mathcal{R}_0$Следствие 6. I. Для того чтобы выполнялось соотношение где $G^{(0)}$ — а.о.ф. для $F^{(0)}$, необходимо и достаточно, чтобы хвост $F^{(0)}$ принадлежал $\mathcal{R}_0$ и имел показатель $\alpha$. II. Если
$$
\begin{equation*}
\widetilde{F}^{(0)}(x)\sim (-x)^\alpha L(-x)\quad\textit{при }\ \alpha\geqslant 0,\ \ x<0,\ \ x\uparrow 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L(x)$, $x>0$, — медленно меняющаяся в нуле функция такая, что то Здесь справедлив также аналог утверждения III теоремы 5. Доказательство следствия 6. В силу теоремы 5 и соотношения (40) имеем
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(-\frac{1}{\overline{\xi}_n^{\,(0)}G(1/n)}<v\biggr) \to\exp\{-v^{-\alpha}\}\quad\text{при }\ v>0, \ \ n\to\infty,
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $G(x)$ — а.о.ф. для $\xi=-1/\xi^{\,(0)}$. Полагая $u=1/v$, это соотношение можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n^{\,(0)} G\biggl(\frac{1}{n}\biggr)<u\biggr) \to\exp\{-u^{\alpha}\}.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Заметим далее, что а.о.ф. $G^{(0)}$ для $F^{(0)}$ есть решение уравнений Отсюда следует, что Используя это равенство и соотношение (49), получаем (46).
Равенство (47) доказывается аналогично (35). Следствие 6 доказано. Основное утверждение следствия 6 совпадает с утверждением (ii) теоремы A. Оно немедленно вытекает из теоремы 5 и соотношения (40). Мы привели здесь теорему 5 и следствие 6, чтобы продемонстрировать существование простых доказательств утверждений (i) и (ii) теоремы A. В заключение разделов 3, 4 отметим следующее. Утверждение (8) теоремы 1 об индивидуальной нормировке показывает, что есть распределения $F$, удовлетворяющие условию $[\mathrm{F}]$, для которых нормировка будет существенно отличаться от нормировок, полученных для рассмотренных в разделах 3, 4 классов. Как уже было сказано, теорема 1 допускает ряд обобщений, которые приводятся ниже. В этих обобщениях упомянутый выше второй, “технический”, элемент остается прежним, а первый, “качественный”, элемент позволяет установить предельные теоремы для ряда объектов более общей природы. Ниже мы остановимся на некоторых возможных обобщениях теоремы 1. 5. Пуассоновская аппроксимация для распределения числа элементов $\xi_1,\dots,\xi_n$, превысивших уровень $G(v/n)$, и ее распространение на случайные последовательности $\xi_1,\dots,\xi_{\nu_n}$ случайного числа $\nu_n$ элементов $\xi_k$Пусть $\mathcal{A}_n$ — число событий $\{\xi_k>G(v/n)\}$ в последовательности $\xi_1,\dots,\xi_n$ при фиксированном $v>0$. Теорема 6. Если выполнено условие $[\mathrm{F}]$, то распределение $\mathcal{A}_n$ сходится при $n\to \infty$ к распределению Пуассона с параметром $v$: Это утверждение известно. Аналогично предыдущему мы приведем ниже его доказательство, чтобы продемонстрировать существование простых доказательств в рассматриваемой области. Утверждение (50) допускает ряд обобщений на случай стационарных последовательностей; см., например, [6]–[8]. Доказательство теоремы 6 столь же просто, как доказательство основной теоремы 1. Положим $\delta_k=\mathbf{1}\{\xi_k>G(v/n)\}$, $p_n=\mathbf{P}(\delta_k=1)={F}(G(v/n))$. Тогда $\mathcal{A}_n=\sum_{k=1}^n\delta_k$ и при любом $\lambda\in\mathbf{R}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}e^{\lambda\mathcal{A}_n} &=\prod_{k=1}^n\mathbf{E}e^{\lambda\delta_k}=(p_n e^{\lambda}+1-p_n)^n=\bigl(1-p_n(1-e^\lambda)\bigr)^n \\ &=\biggl(1-\frac{v}{n}\,(1-e^\lambda)(1+o(1))\biggr)^n\to \exp\{-v(1-e^\lambda)\}\quad\text{при }\ n\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 доказана. Теорема 6 есть обобщение теоремы 1, так как из (50) следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl(\overline{\xi}_n<G\biggl(\frac{v}{n}\biggr)\biggr) =\mathbf{P}(\mathcal{A}_n=0)\to e^{-v}\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $G(v/n)$ в определении числа $\mathcal{A}_n$ вычисляется как квантиль порядка $1-v/n$ распределения $\widetilde{F}$. Применительно к теории рекордов из теоремы 6 вытекает следующее: вероятность того, что рекордное значение превысит уровень $G(v/n)$ (т.е. $\overline{\xi}_n\geqslant G(v/n)$) и такое значение, превышающее уровень $G(v/n)$, единственно, сходится к $v e^{-v}$ при $n\to\infty$. Пусть теперь $\nu_n$ — последовательность целочисленных случайных величин такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\nu_n}{n}\xrightarrow{p} b>0\quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7. Если выполнено условие $[\mathrm{F}]$, то распределение $\mathcal{A}_{\nu_n}$ сходится при $n\to \infty$ к распределению Пуассона с параметром $bv$. Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Pi_k(z)=\sum_{j\geqslant k} e^{-z}\, \frac{z^j}{j!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого $\varepsilon>0$ имеем при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_n} \geqslant k) &\geqslant\mathbf{P}\bigl(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k;\,\nu_n\geqslant(b-\varepsilon)n\bigr) \geqslant\mathbf{P}\bigl(\mathcal{A}_{(b-\varepsilon)n}\geqslant k;\,\nu_n\geqslant(b-\varepsilon)n\bigr) \\ &\geqslant\mathbf{P}(\mathcal{A}_{(b-\varepsilon)n}\geqslant k) -\mathbf{P}\bigl(\nu_n<(b-\varepsilon)n\bigr) \to\Pi_k\bigl((b-\varepsilon)v\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получаем обратное неравенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k) &=\mathbf{P}\bigl(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k;\,\nu_n<(b+\varepsilon)n\bigr)+\mathbf{P}\bigl(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k;\,\nu_n\geqslant(b+\varepsilon)n\bigr) \\ &\leqslant\mathbf{P}(\mathcal{A}_{(b+\varepsilon)n}\geqslant k) +\mathbf{P}\bigl(\nu_n<(b+\varepsilon)n\bigr)\to\Pi_k\bigl((b+\varepsilon)v\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Pi_k\bigl((b-\varepsilon)v\bigr)\leqslant\varliminf_{n\to\infty}\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k)\leqslant\varlimsup_{n\to\infty}\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k) \leqslant\Pi_k\bigl((b+\varepsilon)v\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varepsilon$ произвольно, а значения $\Pi_k((b\pm\varepsilon))$ выбором $\varepsilon$ могут быть сделаны сколь угодно близкими к $\Pi_k(bv)$, то существует предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_n}\geqslant k)=\Pi_n(bv).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7 доказана. 6. Обобщение теоремы 1 на случай зависимых $\xi_k$Рассмотрим вещественнозначную цепь Маркова $\{w_k\}$ с положительным атомом в точке $x_0$. Траектория такой цепи разбивается на независимые, одинаково устроенные циклы по возвращению в состояние $x_0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\eta(x,x_0)=\min\{k\colon w_k=x_0\ \text{при}\ w_0=x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\tau=\eta(x_0,x_0)$ есть длина цикла, $\mathbf{E}\tau=a<\infty$ и есть “высота” цикла, так что если обозначить
$$
\begin{equation*}
\overline{w}_n=\max_{k\leqslant n}\{w_k\ \text{при}\ w_0=x_0\},
\end{equation*}
\notag
$$
то $h=\overline{w}_\tau$. Обозначим через $F$ хвост распределения $h$: $F(x)=\mathbf{P}(h>x)$, и предположим, что существует а.о.ф. $G(y)$ к распределению $F(x)$. Далее, пусть $\{w_k\}_{k=1}^T$ — траектория цепи на отрезке времени $[0,T]$. Доказательство. Пусть $\tau_1,\tau_2,\dots$ — независимые случайные величины, распределенные как $\tau$, и пусть
$$
\begin{equation*}
T_k=\sum_{j=1}^k\tau_j,\qquad\nu_T=\min\{k\colon T_k>T\}-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\nu_T=\frac{T}{a}\,(1+o(1)), \quad\frac{\nu_T}{T}\xrightarrow{p}\frac{1}{a}\quad\text{при }\ T\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\gamma(T):=T-T_{\nu_T}$ и
$$
\begin{equation*}
h(T)=\overline{w}_{\gamma(\tau)}\stackrel{d}{=} \max_{k\leqslant\gamma(T)}\{w_k\ \text{при}\ w_0=x_0\}
\end{equation*}
\notag
$$
суть собственные случайные величины, равномерно ограниченные по вероятности, так что
$$
\begin{equation*}
\frac{\gamma(T)}{T}\to 0,\quad\frac{h(T)}{T}\to 0\quad\text{при }\ T\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть далее $h_1,h_2,\dots$ — независимые случайные величины, распределенные как $h$, и $\overline{h}_n=\max_{k\leqslant n}h_k$. Тогда
$$
\begin{equation}
\overline{w}_T=\max\bigl(\overline{h}_{\nu_T},h(T)\bigr).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Так как $s=\infty$, то $\overline{h}_{\nu_T}\xrightarrow{p}\infty$ при $T\to\infty$. С другой стороны, $h(T)$ ограничены по вероятности. Поэтому в силу (51)
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(\overline{w}_T=h_{\nu_T})\to 1\quad\text{при }\ T\to\infty.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Далее, из теоремы 7 следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\mathcal{A}_{\nu_T}=0) =\mathbf{P}\biggl(\overline{h}_{\nu_T}<G\biggl(\frac{v}{T}\biggr)\biggr)\to e^{-v/a} \quad\text{при }\ T\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (52) это означает, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}\biggl(\overline{w}_T<G\biggl(\frac{v}{T}\biggr)\biggr)\to e^{-v/a} \quad\text{при }\ T\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 8 доказана. Замечание 1. Пусть $\Omega\subset \mathbf{R}$ — фазовое пространство цепи. Тогда если для любого фиксированного $x\in\Omega$ То же справедливо для любой последовательности $\{w_k\}$ зависимых случайных величин, допускающей циклическую структуру с циклами, образованными возвращением последовательности в положительное обновляющее событие $\{w_k=x_0\}$, в случае когда $\mathbf{E}\tau<\infty$, где $\tau$ — длина цикла. Замечание 2. В теореме 8 по сравнению с теоремами 1–7 присутствует дополнительная сложность, состоящая в том, что асимптотика хвоста $F(x)$ распределения $h$ предполагается известной. Найти ее в явном виде, по-видимому, возможно лишь в случае, когда рассматриваемые цепи $\{w_n\}$ имеют достаточно простую структуру. Например, рассмотрим цепь Маркова вида где $\xi,\xi_1,\xi_2,\dots$ образуют последовательность независимых одинаково распределенных величин, $\mathbf{E}\xi<0$. Тогда в случае, когда правый хвост распределения $\xi$ удовлетворяет условию Крамера и существует $\lambda>0$ такое, что $\mathbf{E}e^{\lambda\xi}=1$, $\mathbf{E}\xi e^{\lambda\xi}<\infty$, в работе [10] найдена асимптотика $F(x)$ в явном виде вместе с асимптотикой $\mathbf{P}(\overline{w}_T-c\ln T<v)$, где $c$ — известная постоянная. Последнее утверждение с помощью результатов работы [10] установлено также в [11] несколько иным способом, чем в [10]. Авторы благодарны К. А. Боровкову за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorPro24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|