Теория вероятностей и ее применения, 2024, том 69, выпуск 2, страницы 417–422 DOI: https://doi.org/10.4213/tvp5710 (Mi tvp5710)

DOI: https://doi.org/10.4213/tvp5710

Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages 331–335
DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991957

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

14 февраля 2024 года не стало замечательного петербургского математика Анатолия Моисеевича Вершика.

Анатолий Моисеевич родился 28 декабря 1933 года в пригороде Ленинграда (г. Пушкин) в семье преподавателей. Его мать — Ева Яковлевна Люстерник (1904–1991) была известным востоковедом-индологом, историком русско-индийских отношений, профессором ЛГУ. Отец — Моисей Менделевич Вершик (1904–1992) был преподавателем политэкономии в Ленинградском институте инженеров связи (сейчас это Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича).

В 1951 г. Анатолий Моисеевич окончил с серебряной медалью школу № 222 г. Ленинграда и поступил на математико-механический факультет Ленинградского университета. Свою первую студенческую работу, посвященную функциям матричного аргумента, Анатолий Моисеевич Вершик выполнил под руководством Д. К. Фаддеева, выдающегося алгебраиста, а затем выбрал кафедру математического анализа, где учился функциональному анализу у Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова.

Отказавшись от предложения сразу же по окончании университета в 1956 г. поступить в аспирантуру, Aнатолий Моисеевич распределился на работу в один из организованных в то время вычислительных центров. Спустя два года после окончания университета он поступил в аспирантуру математико-механического факультета. Научным руководителем Aнатолия Моисеевича был Г. П. Акилов. В 1963 г. Aнатолий Моисеевич защитил кандидатскую диссертацию “Теория линейных преобразований, сохраняющих гауссовскую меру”.

Жизнь Анатолия Моисеевича была тесно связана с математико-механическим факультетом ЛГУ–СПбГУ, в котором он прошел путь от ассистента (1962 г.) до профессора (1985 г.). В 1992 г. по приглашению Санкт-Петербургского отделения Математического института Российской академии наук ( ПОМИ РАН) Aнатолий Моисеевич перешел на работу в этот институт и стал заведующим лабораторией вычислительной математики и теории представлений (позднее — теории представлений и динамических систем), не прекращая преподавания в университете. В 2002 г. Aнатолий Моисеевич становится главным научным сотрудником ПОМИ РАН.

Анатолий Моисеевич Вершик был человеком широчайших научных интересов, но ниже мы коснемся только его основных достижений в теории вероятностей.

В конце 60-х гг. Анатолий Моисеевич строит теорию убывающих последовательностей измеримых разбиений и, на ее основе, траекторную эргодическую теорию. Главные результаты в этой области — теорема о лакунарном изоморфизме, открытие нестандартных последовательностей и критерий нестандартности — привели к новым инвариантам в эргодической теории. Эти работы, соединившие идеи аппроксимации разбиений (и действий аменабельных групп) с теорией операторов и факторов фон Неймана, вошли в его докторскую диссертацию “Аппроксимация в теории меры” (1973).

Большое влияние на математические интересы Анатолия Моисеевича оказал В. А. Рохлин, под влиянием которого Анатолий Моисеевич стал заниматься динамическими системами. К этому периоду относятся его работы по теории вероятностей, в которых он стал изучать стационарные гауссовские процессы как динамические системы.

Анатолию Моисеевичу принадлежит фундаментальная теорема о марковской реализации эргодических автоморфизмов, развивающая классическую лемму Рохлина о периодической аппроксимации.

Одна из любимых тем Анатолия Моисеевича, к которой он неизменно возвращался и которая получила в его работах мощное развитие, — теория вероятностных границ и случайных блужданий на группах, полугруппах, графах, градуированных графах. Это красивая, сложная и богатая связями область, вовлекающая теорию вероятностей, эргодическую теорию, теорию групп (а также и комбинаторику, геометрию, топологию, функциональный анализ и т.д.). К данному направлению относится изучение нескольких классов границ групп и пространств, включая границы Мартина, границы Пуассона–Фюрстенберга (называемые также границами Пуассона, границами Фюрстенберга или просто границами), границы–вход и границы–выход Дынкина, которые при переходе от теории марковских процессов к контексту случайных блужданий на группах Анатолий Моисеевич предложил называть также абсолютными границами или абсолютами. В качестве примеров глубоких и широко известных результатов Анатолия Моисеевича в этой области назовем полученный совместно с его учеником В. А. Каймановичем [2] глобальный энтропийный критерий тривиальности границы Пуассона–Фюрстенберга и связанное с этим критерием фундаментальное неравенство, гласящее, что энтропия случайного блуждания в конечно порожденной группе не превышает произведения логарифмического объема группы на снос блуждания. Среди недавних результатов Анатолия Моисеевича по данной тематике отметим полученное совместно с А. В. Малютиным описание абсолюта для случайных блужданий в однородных деревьях, свободных группах, абелевых группах и полугруппах и описание так называемой лапласовой (невырожденной) части абсолюта для нильпотентных групп. Одна из работ указанной серии, дающая полное описание абсолюта дискретной группы Гейзенберга в стандартной системе образующих и доказывающая его компактность, ожидает публикации. Добавим, что полученные Анатолием Моисеевичем результаты в этой области и развитые им методы и подходы обогатили как теорию вероятностных границ и случайных блужданий, так и эргодическую теорию, теорию групп, теорию кос, теорию узлов и т.д.

Из работы над задачами теории представлений, возможно, развился интерес Анатолия Моисеевича к разбиениям целых чисел, вопросы о которых он часто ставил в вероятностной постановке. Разбиения целого числа $n$ естественным образом параметризуют неприводимые представления симметрической группы порядка $n$. Поэтому естественной является мера Планшереля, при которой вероятность разбиения равна квадрату размерности соответствующего представления, деленному на $n!$ . В совместной работе [3] с С. В. Керовым, учеником Анатолия Моисеевича, показано, что при больших $n$ диаграмма Юнга случайного по мере Планшереля разбиения после сжатия в $\sqrt{n}$ раз будет близка к неслучайной кривой — предельной форме Вершика–Керова–Логана–Шеппа (последние двое — американские математики, установившие независимо этот же результат примерно в то же время). Более подробно эти результаты и некоторые их уточнения изложены в работе [6]. Меры Планшереля имеют и другую интерпретацию — они являются образом равномерной меры на перестановках множества $\{1,\dots,n\}$ при соответствии Робинсона–Шенстеда–Кнута (RSK). В частности, максимальное слагаемое в разбиении, полученном алгоритмом RSK из перестановки $\pi$, равняется наибольшей длине возрастающей подпоследовательности в $\pi$. Уточнение метода, которым была получена предельная форма, позволило Вершику и Керову найти асимптотику первой строки случайной по мере Планшереля диаграммы Юнга, и тем самым, получить решение знаменитой проблемы Улама о наибольшей возрастающей последовательности: длина наибольшей возрастающей последовательности в случайной перестановке $\{1,\dots,n\}$ после деления на $\sqrt{n}$ сходится по вероятности к константе $2$.

Со свойственной ему широтой взглядов на математические задачи, Анатолий Моисеевич не ограничивался изучением одной меры на разбиениях целых чисел. В совместных работах [4], [5] с другим своим учеником, А. А. Шмидтом, исследуется другая мера на разбиениях, также получаемая из случайной перестановки множества $\{1,\dots,n\}$ другой проекцией на разбиения целого числа $n$: разбиением на длины циклов перестановки. В работе она называется мерой Хаара, но сейчас она более известна под названием мера Ювенса. В этих работах применялся новаторский подход к изучению этой меры, основанный на изучении предельного ($n\to\infty$) объекта, возникающего при рассмотрении последовательности отображений, переводящих единичный куб размерности $n$ с мерой Лебега в симплекс той же размерности. Изучение предельных объектов и соответствия между ними позволило получить асимптотические результаты о конечных перестановках, в частности, найти более простое описание предельного распределения размера самого длинного цикла, деленного на $n$, при $n\to\infty$.

Изучение различных мер на разбиениях продолжено в работе [7], где рассматривались равномерные меры на разбиениях числа $n$, а также широкий класс их обобщений, связанных с задачами статистической механики. Эта связь еще больше прояснена в статье [8]. В частности, установлено, что для рассматриваемого класса мер также будут существовать предельные формы у случайных диаграмм Юнга (для равномерной меры этот факт упоминался уже в работе [6]), объяснено образование конденсата Бозе–Эйнштейна для идеального газа. Предложенная техника, концептуально схожая с техникой пуассонизации, затем применялась многими авторами для более детального изучения различных свойств таких случайных разбиений. Работа [7] является одной из наиболее цитируемых работ Анатолия Моисеевича, Web of Science насчитывает 183 ссылки на нее.

Анатолия Моисеевича привлекала идея построения бесконечномерных аналогов меры Лебега, т.е. мер в бесконечномерном пространстве, которые были бы инвариантны или квазиинвариантны относительно большой и естественной группы преобразований пространства. В качестве таких мер он часто рассматривал пуассоновские меры на пространствах конфигураций. Исходя из нужд теории представлений в работе [1] была построена такая замечательная бесконечная мера, инвариантная относительно группы мультипликативных преобразований. Как было показано, ее можно трактовать как распределение скачков устойчивого процесса с независимыми приращениями и нулевым индексом устойчивости.

В [9], [10] cовместно с Н. Цилевич и М. Йором Анатолий Моисеевич установил квазиинвариантность группы мультипликативных преобразований другой специальной пуассоновской меры (гамма-процесса). Эти идеи были потом развиты для более широкого класса пуассоновских мер.

Еще одним предметом интереса Анатолия Моисеевича, особенно в последние годы, являлось исследование свойств $mm$-энтропии метрического пространства с мерой (она определяется как логарифм минимального числа шаров радиуса $\epsilon$, покрывающих пространство с точностью до меры $\delta$). Он считал, что изучение таких пространств позволит “построить иную и более общую по сравнению с теорией Шеннона–Колмогорова теорию энтропии динамических систем с инвариантной мерой”, см. [11], [12]. В работе [13] для широкого класса банаховых пространств с гауссовской мерой показано, что их $mm$-энтропия тесно связана с энтропией соответствующего эллипсоида рассеяния и в определенном диапазоне ведет себя так же, как логарифм меры малых шаров.

Жизнь Анатолия Моисеевича удивительным образом опровергает общепризнанный постулат о том, что “математика — дело молодых”. Свою наиболее цитируемую работу [2], относящуюся как раз к теории вероятностей (360 ссылок в Web of Science), он опубликовал в пятьдесят лет, а его публикационная активность, при безупречном качестве работ, достигла максимума в двухтысячных годах, когда ему было больше семидесяти.

Анатолий Моисеевич играл существенную роль в математической жизни Санкт-Петербурга. С 1979 г. он был вице-президентом, а с 1998 г. по 2008 г. — президентом Санкт-Петербургского математического общества. Долгие годы Анатолий Моисеевич руководил семинаром по теории представлений и динамическим системам, а также общеинститутским математическим семинаром ПОМИ. Среди его многочисленных учеников более 25 кандидатов и 5 докторов физико-математических наук.

Анатолий Моисеевич Вершик навсегда останется в нашей памяти как большой ученый и сильный неординарный человек.

Список литературы
1.	А. М. Вершик, И. М. Гельфанд, М. И. Граев, “Коммутативная модель представления группы токов $SL(2,\mathbb{R})^X$, связанная с унипотентной подгруппой”, Функц. анализ и его прил., 17:2 (1983), 70–72      ; англ. пер.: A. M. Vershik, I. M. Gel'fand, M. I. Graev, “A commutative model of representation of the group of flows $\operatorname{SL}(2,\mathbf{R})^X$ that is connected with a unipotent subgroup”, Funct. Anal. Appl., 17:2 (1983), 137–139
2.	V. A. Kaimanovich, A. M. Vershik, “Random walks on discrete groups: boundary and entropy”, Ann. Probab., 11:3 (1983), 457–490
3.	А. М. Вершик, С. В. Керов, “Асимтотика меры Планшереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга”, Докл. АН СССР, 233:6 (1977), 1024–1027      ; англ. пер.: A. M. Vershik, S. V. Kerov, “Asymptotics of the Plancherel measure of the symmetric group and the limiting form of Young tableaux”, Soviet Math. Dokl., 18 (1977), 527–531
4.	А. М. Вершик, А. А. Шмидт, “Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. I”, Теория вероятн. и ее примен., 22:1 (1977), 72–88      ; англ. пер.: A. M. Vershik, A. A. Shmidt, “Limiting measures arising in the asymptotic theory of symmetric groups. I”, Theory Probab. Appl., 22:1 (1977), 70–85
5.	А. М. Вершик, А. А. Шмидт, “Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. II”, Теория вероятн. и ее примен., 23:1 (1978), 42–54      ; англ. пер.: A. M. Vershik, A. A. Shmidt, “Limit measures arising in the asymptotic theory of symmetric groups. II”, Theory Probab. Appl., 23:1 (1978), 36–49
6.	А. М. Вершик, С. В. Керов, “Aсимптотика максимальной и типичной размерностей неприводимых представлений симметрической группы”, Функц. анализ и его прил., 19:1 (1985), 25–36      ; англ. пер.: A. M. Vershik, S. V. Kerov, “Asymptotic of the largest and the typical dimensions of irreducible representations of a symmetric group”, Funct. Anal. Appl., 19:1 (1985), 21–31
7.	А. М. Вершик, “Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации”, Функц. анализ и его прил., 30:2 (1996), 19–39        ; англ. пер.: A. M. Vershik, “Statistical mechanics of combinatorial partitions, and their limit shapes”, Funct. Anal. Appl., 30:2 (1996), 90–105
8.	А. М. Вершик, “Предельное распределение энергии квантового идеального газа с точки зрения теории разбиений натуральных чисел”, УМН, 52:2(314) (1997), 139–146        ; англ. пер.: A. M. Vershik, “Limit distribution of the energy of a quantum ideal gas from the viewpoint of the theory of partitions of natural numbers”, Russian Math. Surveys, 52:2 (1997), 379–386
9.	А. М. Вершик, М. Йор, Н. В. Цилевич, “О тождествах Маркова–Крейна и квазиинвариантности гамма-процесса”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. VI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 283, ПОМИ, СПб., 2001, 21–36      ; англ. пер.: A. M. Vershik, M. Yor, N. V. Tsilevich, “On the Markov–Krein identity and quasi-invariance of the gamma process”, J. Math. Sci. (N.Y.), 121:3 (2004), 2303–2310
10.	N. Tsilevich, A. Vershik, M. Yor, “An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process”, J. Funct. Anal., 185:1 (2001), 274–296
11.	A. M. Vershik, “Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants”, Markov Process. Related Fields, 16:1 (2010), 169–184
12.	А. М. Вершик, Г. А. Вепрев, П. Б. Затицкий, “Динамика метрик в пространствах с мерой и масштабированная энтропия”, УМН, 78:3(471) (2023), 53–114        ; англ. пер.: A. M. Vershik, G. A. Veprev, P. B. Zatitskii, “Dynamics of metrics in measure spaces and scaling entropy”, Russian Math. Surveys, 78:3 (2023), 443–499
13.	А. М. Вершик, М. А. Лифшиц, “О $\mathrm{mm}$-энтропии банахова пространства с гауссовской мерой”, Теория вероятн. и ее примен., 68:3 (2023), 532–543        ; англ. пер.: A. M. Vershik, M. A. Lifshits, “On $\mathrm{mm}$-entropy of a Banach space with Gaussian measure”, Theory Probab. Appl., 68:3 (2023), 431–439

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BufIbrLif24}
\by А.~И.~Буфетов, И.~А.~Ибрагимов, М.~А.~Лифшиц, А.~В.~Малютин, Ф.~В.~Петров, Н.~В.~Смородина, А.~Н.~Ширяев, Ю.~В.~Якубович
\paper Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933--14.02.2024)
\jour Теория вероятн. и ее примен.
\yr 2024
\vol 69
\issue 2
\pages 417--422
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tvp5710}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tvp5710}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4912072}
\transl
\jour Theory Probab. Appl.
\yr 2024
\vol 69
\issue 2
\pages 331--335
\crossref{https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991957}