| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об оценках параметров процессов диффузионного типа: новый взгляд на последовательные оценки А. А. Новиковab, А. Н. Ширяевb, Н. Е. Кордзахияc a University of Technology Sydney, Sydney, Australia b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия c Macquarie University, Australia
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2025, Volume 69, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T992112 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\mathbf{X}=\{X_t,\, 0\leqslant t\leqslant \tau \}$ — наблюдаемый одномерный процесс диффузионного типа, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ)
$$
\begin{equation}
dX_t=f_t(\lambda)\, dt+\sigma_t\, dW_t,\qquad X_0=x=\mathrm{const},\quad \lambda \in \Lambda,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\lambda $ — оцениваемый параметр, $\Lambda $ — открытый интервал в $\mathbf R=(-\infty, \infty)$, $\mathbf{W}=\{W_t,\, t\geqslant 0\}$ — стандартный винеровский процесс, определенный на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathbb{F}^{\mathbf W}=\{\mathcal F_t^{\mathbf W}\}_{t\geqslant 0},\mathbf{P})$, $\mathbb{F}^{\mathbf W}$ — фильтрация, порожденная процессом $\mathbf{W}$; коэффициент сноса $f_t(\lambda)$ и коэффициент диффузии $\sigma_t$ предполагаются измеримыми относительно фильтрации $\mathbb{F}^{\mathbf X}=\{\mathcal F_t^{\mathbf X},\, 0\leqslant t\leqslant \tau \}$, порожденной наблюдаемым процессом $\mathbf{X}$ до момента остановки1 $\tau $. Мы всегда предполагаем, что существует сильное или слабое решение СДУ (1) (общие факты теории СДУ см., например, в [28]). В [31]–[34] первый из авторов этой статьи разработал методы исследования ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ в случае, когда $f_t(\lambda)=-\lambda b_t$, где $b_t$ — наблюдаемый процесс и $\sigma_t=\mathrm{const}$, а наблюдения проводятся на интервале $[0,\tau ]$. В частности, в [31]–[33] обсуждались свойства ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ при $\tau =T=\mathrm{const}$ и при $\tau =\tau_H$, где момент остановки $\tau_H$ выбран таким образом, что распределение $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ является нормальным (см. разделы 2–5). Идея использования ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ с моментом остановки $\tau=\tau_H$ была выдвинута вторым автором еще в 1969 г.; соответствующие результаты из [31]–[34] и другие связанные результаты были включены в монографию [28; гл. 17]. Здесь мы упомянем лишь несколько статей и монографий (их слишком много, чтобы перечислить все), в которых получены (в основном асимптотические) результаты как для случая чисто последовательных оценок, так и для оценок с фиксированным размером выборки в различных моделях с непрерывным и дискретным временем: [2], [4], [9], [14]–[17], [19], [22], [23], [25], [27], [29], [30], [35], [38]–[41]. В данной статье мы в основном рассматриваем случай, когда коэффициент сноса в (1) имеет следующий вид: где $a_t$ и $b_t$ — наблюдаемые процессы. Этот случай может рассматриваться как приближение к общей модели (1), когда изучается ОМП в окрестности заданной точки $\lambda_0$ и используется аппроксимация
$$
\begin{equation*}
f_t(\lambda)\simeq f_t(\lambda_0)+(\lambda -\lambda_0)\, \frac{\partial}{\partial \lambda} f_t(\lambda)\bigg|_{\lambda =\lambda_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Большой набор примеров для модели (1) в предположении (2) можно найти, например, в [4], [23]. Для нахождения ОМП для $\lambda$ на основе наблюдений $\mathbf{X}=\{X_t,\, 0\leqslant t\leqslant \tau\}$ мы всегда будем предполагать, что вероятностные меры $\mathbf{P}_{\lambda}$, порожденные процессом $\mathbf{X}$, эквивалентны при всех $\lambda\in\Lambda$. Явное представление ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ и достаточные условия существования ее степенных и экспоненциальных моментов представлены в разделе 2; отметим, что все эти представления выражаются через моменты случайной величины которую можно рассматривать как “накопленную информацию”.Основная цель данной статьи состоит в изучении двух важных характеристик ОМП, а именно, смещения и среднеквадратической ошибки:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_{\tau}):=\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda ),\qquad \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau}):=\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В разделе 2 при сделанных выше предположениях для модели (1) с ограничением (2) приведены формулы для $\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_{\tau})$ и $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau})$; отметим, что все эти характеристики можно вычислить в терминах преобразования Лапласа только одной случайной величины $Y_{\tau}$; этот результат, как показывается далее в статье, является полезным для изучения как неасимптотических, так и асимптотических свойств этих характеристик (см. замечания 1–6 в п. 2.3). Раздел 3 посвящен обсуждению последовательной ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ со специальным моментом остановки
$$
\begin{equation*}
\tau_H=\inf \{t>0\colon Y_t\geqslant H\},\qquad H=\mathrm{const}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В теореме 3 показывается, что оценка $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ обладает замечательным свойством: она является нормально распределенной и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_{\tau_H})=0,\qquad \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau_H})=\frac{1}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
В разделах 4 и 5 мы представляем некоторые аналитические и численные результаты для случая, когда процесс $\mathbf{X}$ удовлетворяет СДУ
$$
\begin{equation}
dX_t=(a-\lambda X_t)\, dt+\sigma |X_t|^{\gamma }\, dW_t,\qquad t\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где параметры $\sigma$, $\gamma$, $a$ и $X_0$ предполагаются известными. В области финансовых приложений модель (3) весьма популярна при моделировании процентных ставок [10]; обычно для нее используются аббревиатуры CKLS или gCIR (обобщенный процесс Кокса–Ингерсолла–Росса; при этом процесс Кокса–Ингерсолла–Росса — CIR — соответствует случаю $\gamma = 1/2$). Этот процесс изучался в [20] и [21] как предел процесса рождения–гибели. Обсуждение практических аспектов модели CKLS и ее различных модификаций представлено в [1]. Детальный анализ свойств процесса CIR был проведен В. Феллером [13], который использовал уравнения Фоккера–Планка. В [8] этот процесс использовался для расчета динамики мембранного потенциала и времени срабатывания нейронов. Отметим, что тема асимптотических статистических выводов для авторегрессионных моделей очень популярна в эконометрических исследованиях (см., например, статью [37]). Отметим также, что алгоритм Монте-Карло для симуляции траекторий процесса CKLS обсуждается в [15]. Некоторые асимптотические свойства оценок параметров модели (3) были представлены в [30]. В разделах 4 и 5 мы рассматриваем только следующие наборы параметров в (3): 1) $\lambda \in \mathbf R$, $\gamma =0$; 2) $\lambda >0$, $\gamma = 1/2$, $a>1/2$ (эргодический процесс CIR). Для этих случаев мы выводим некоторые аналитические результаты и приводим результаты численных расчетов для $\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_{\tau})$, $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau})$, когда $\tau =T$ и $\tau =\tau_H$, а также вычисляем относительную эффективность ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ и $\widehat{\lambda}_T$ при ограничении $\mathbf E_{\lambda}\tau_H=T$. Подчеркнем, что в данной статье мы рассматриваем только ОМП для одномерного процесса $\mathbf{X}$. Значительный вклад в построение теории оценивания параметров многомерных линейных моделей внесли М. Арато и его ученики (см. [2], [18]). 2. Моменты ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ и их свойства2.1. Обозначения и предположенияОбозначим $\mathbf{P}_{\lambda}=\{P_{\lambda}\{A\},A\in \mathcal F_{\tau}^{\mathbf X}\}$ вероятностные меры, порожденные процессом $\mathbf{X}$, где $\tau $ — момент остановки относительно $\mathbb{F}^{\mathbf X}$. При обсуждении общей модели (1) мы предполагаем, что для любого $\lambda \in \Lambda$ выполнены равенства2
$$
\begin{equation}
P_{\lambda}\biggl\{\int_0^{\tau}|f_t(\lambda)|\, dt<\infty \biggr\}=P_{\lambda} \biggl\{\int_0^{\tau}\sigma_t^2\, dt<\infty \biggr\}=1.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В [28] было показано, что все меры $\mathbf P_{\lambda}$, $\lambda\in \Lambda$, эквивалентны (т.е. абсолютно непрерывны), если выполняется следующее условие:
$$
\begin{equation}
P_{\lambda}\biggl\{\int_0^{\tau}\sigma_t^{-2}f_t^2(\lambda)\, dt<\infty \biggr\}=1,\qquad \lambda \in \Lambda.
\end{equation}
\tag{5}
$$
При этом условии для любого фиксированного параметра $\theta\in\Lambda$ и всех событий $A\in \mathcal F_{\tau}^{\mathbf X}$ выполнено следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
P_{\lambda}\{A\}=\mathbf E_{\theta}\mathbf I\{A\}Z_{\tau}(\lambda,\theta ),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf I\{A\}$ — индикатор множества, $\mathbf E_{\theta}(\,{\cdot}\,)$ — символ математического ожидания относительно вероятностной меры $\mathbf P_{\theta}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{Z}=\{Z_t(\lambda,\theta),\, 0\leqslant t\leqslant \tau \}
\end{equation*}
\notag
$$
является процессом отношения правдоподобия, который имеет следующее представление:
$$
\begin{equation*}
Z_t(\lambda,\theta )=\exp \biggl\{\int_0^t\sigma_s^{-2}(f_s(\lambda)-f_s(\theta)) \, dX_s-\frac{1}{2}\int_0^t\sigma_s^{-2}(f_s^2(\lambda)-f_s^2(\theta))\, ds \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе мы рассматриваем частный случай, когда коэффициент сноса имеет вид (2), т.е. когда $\mathbf{X}$ является решением СДУ где процессы $a_t$ и $b_t$ адаптированы к фильтрации $\mathbb{F}^{\mathbf X}$. Далее мы используем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{S} &=\biggl\{S_t:=\int_0^t\sigma_s^{-2}b_s\, (dX_s-a_s\, ds),\, t\geqslant 0\biggr\}, \\ \mathbf{Y} &=\biggl\{Y_t:=\int_0^t\sigma_s^{-2}b_s^2\, ds,\, t\geqslant 0\biggr\}, \\ \mathbf{M} &=\biggl\{M_t:=\int_0^t\sigma_s^{-1}b_s\, dW_s,\, t \geqslant0\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что условия (4) и (5) выполняются в том случае, когда для всех $\lambda\in \Lambda$
$$
\begin{equation}
P_{\lambda}\biggl\{\int_0^{\tau}|a_t|\, dt<\infty \biggr\} =P_{\lambda}\biggl\{\int_0^{\tau}|b_t|\, dt<\infty \biggr\}=1,\qquad P_{\lambda}\{Y_{\tau}<\infty \}=1,
\end{equation}
\tag{7}
$$
и при этих условиях процесс отношения правдоподобия $\mathbf{Z}$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
Z_t(\lambda,\theta)=\exp\biggl\{-(\lambda -\theta )S_t-\frac{\lambda^2-\theta^2}{2}\, Y_t\biggr\}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Отметим, что $\mathbf{Y}=\{Y_t,\, t\leqslant \tau \}$ — квадратическая характеристика локального мартингала $M_t$, $t\geqslant 0$ (относительно меры $\mathbf P_{\lambda}$ и фильтрации $(\mathcal F^{\mathbf X}_t)_{t\geqslant 0}$), и выполняется следующее тождество:
$$
\begin{equation}
\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}<\infty \quad \Longrightarrow \quad \mathbf E_{\lambda}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2 =\mathbf E_{\lambda}M_{\tau}^2=\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Используя обозначения, предложенные выше, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \lambda}\, Z_{\tau}(\lambda,\theta)=-Z_{\tau}(\lambda,\theta)(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau}),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, ОМП для $\lambda$ в этих обозначениях (когда $Y_{\tau}>0$) находится в явном виде: кроме того, выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda =-\frac{S_{\tau}+\lambda Y_{\tau}}{Y_{\tau}}=-\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Выбор момента остановки $\tau$ зависит от дополнительных ограничений на выбранную модель наблюдений. Стандартный выбор $\tau =T$ — фиксированный размер выборки, но на практике $\tau$ может быть, например, временем первого выхода $\mathbf{X}$ из полосы, т.е. $\tau_{A}=\inf \{t\colon |X_t|\,{\geqslant}\, A=\mathrm{const}\,{>}\,0\}$, $\min(\tau_{A},T)$ и т.д. В разделе 3 будет показано, что ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ с моментом остановки
$$
\begin{equation*}
\tau_H=\inf\{t\colon Y_t=H\},\qquad H=\mathrm{const}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
является несмещенной и нормально распределенной с дисперсией $1/H$ (см. теорему 3 ниже). Свойства оценок $\widehat{\lambda}_T$ и $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ для модели (3) изучаются в разделах 4 и 5 для случаев $\gamma =0$ и $\gamma =1/2$ соответственно. Отметим, что в случае модели (3) с $\gamma =1$ и $\sigma =1$, т.е. когда $\mathbf{X}$ является положительным решением СДУ
$$
\begin{equation*}
dX_t=(a-\lambda X_t)\, dt+ X_t\, dW_t,\qquad t\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
(так называемая модель Бреннана–Шварца [6], [15]), мы имеем $Y_t=t$ и, следовательно, ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ приобретает простую форму:
$$
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_{\tau}=-\frac{S_{\tau}}{Y_{\tau}}=\frac{\int_0^{\tau}X_s^{-1}(a\, ds-dX_s)}{\tau}=\lambda -\frac{W_{\tau}}{\tau}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В частности, когда $\tau =T$ — фиксированный размер выборки, в этой модели ОМП $\widehat{\lambda}_T$ имеет нормальное распределение. 2.2. Условия конечности степенных моментов и строгой состоятельности последовательных оценокНиже в рамках модели (6) мы приводим некоторые общие свойства ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$, которые были впервые выведены при более ограничительных условиях в [31], [32] и в монографии [28]. Мы используем обозначение $f(\lambda)\in C^n(\Lambda)$ для класса $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций $f(\lambda)$, $\lambda \in \Lambda$. Теорема 1. Пусть $\lambda \in \Lambda$. 1) Если
$$
\begin{equation*}
P_{\lambda}\Bigl\{\lim_{t\to \infty}Y_t=\infty \Bigr\}=1
\end{equation*}
\notag
$$
и существует возрастающее параметризованное семейство моментов остановки $\{\tau_N,\, N>0\}$ такое, что $\tau_N\to \infty$ при $N\to \infty$, то
$$
\begin{equation*}
P_{\lambda}\Bigl\{\lim_{N\to \infty} \widehat{\lambda}_{\tau_N}=\lambda\Bigr\}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Если $p\geqslant 1$ и $\sup_{\lambda \in \Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}<\infty $ для некоторого $r>p$, то
$$
\begin{equation*}
\sup_{\lambda \in \Lambda}\mathbf E_{\lambda}|\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda|^p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
3) Если $\sup_{\lambda \in\Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}{<}\,\infty$ для некоторого $r\,{>}\,1$, то $\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1}\,{\in}\, C^{1}(\Lambda)$ и
$$
\begin{equation}
\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_{\tau})=\frac{\partial}{\partial\lambda }\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1},\qquad \lambda \in\Lambda.
\end{equation}
\tag{13}
$$
4) Если $\sup_{\lambda \in \Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}{<}\,\infty$ для некоторого $r\,{>}\,2$, то $\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-2}\,{\in}\, C^2(\Lambda)$ и
$$
\begin{equation}
\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau})=\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-2}+\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1},\qquad \lambda \in\Lambda.
\end{equation}
\tag{14}
$$
5) Справедливо неравенство Крамера–Рао–Волфовица (см. [28]): если $0<\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}<\infty $ и для $\mathcal F_{\tau}^{\mathbf X}$-измеримой случайной величины $\lambda_{\tau}$ выполнено условие $\sup_{\lambda \in \Lambda} \operatorname{mse}(\lambda_{\tau})<\infty$, то Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы является простым следствием усиленного закона больших чисел для локальных непрерывных мартингалов (см., например, [28]).
2) Из (11) после применения неравенства Гёльдера получаем, что при $q=r/(r-p)$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}|\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda|^p &= \mathbf E_{\lambda}\biggl|\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}}\biggr|^p =\mathbf E_{\lambda}\biggl|\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}+1}\biggr|^p\biggl(\frac{Y_{\tau}+1}{Y_{\tau}}\biggr)^p \\ &\leqslant \mathbf E_{\lambda}^{1/q}\biggl(\biggl|\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}+1}\biggr|^{pq}\biggr) \mathbf E_{\lambda}^{1/r}\biggl(1+\frac{1}{Y_{\tau}}\biggr)^r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь ясно, что если показать, что для любого $q>1$ выполнено соотношение3
$$
\begin{equation}
C_{q} :=\sup_{\tau \geqslant 0}\mathbf E_{\lambda}\biggl|\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}+1}\biggr|^q<\infty,
\end{equation}
\tag{15}
$$
то в силу неравенства $(1+x)^r\leqslant C_r(1+x^r)$, $x\geqslant 0$, $r>0$, получим требуемый результат:
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}|\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda |^p \leqslant C \, \mathbf E_{\lambda}^{1/r} \biggl(\frac{Y_{\tau}+1}{Y_{\tau}}\biggr)^r\leqslant C\,\mathbf E_{\lambda}^{1/r}(1+Y_{\tau}^{-r})<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы показать справедливость оценки (15), мы можем воспользоваться тем фактом, что по теореме Дамбиса–Дубинса–Шварца [12], [11] существуют вероятностное пространство и определенное на нем стандартное броуновское движение $\widetilde{\mathbf{W}}=\{\widetilde{W}_t,\, t\geqslant 0\}$ (получаемое с использованием замены времени; обсуждение технических деталей см., например, в [3]) такие, что где $\rho$ — момент остановки относительно фильтрации, порождаемой процессом $\widetilde{\mathbf{W}}$. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
C_q=\sup_{\tau \geqslant 0}\mathbf E_{\lambda}\biggl|\frac{M_{\tau}}{Y_{\tau}+1}\biggr|^q=\sup_{\rho \geqslant 0} \mathbf E\biggl|\frac{\widetilde W_{\rho}}{\rho +1}\biggr|^q.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы убедиться в конечности последней величины, можно воспользоваться тем известным фактом, что процесс
$$
\begin{equation}
U_t:=(t+\delta)^{-1/2}\exp \biggl\{\frac{\widetilde W_t^2}{2(t+\delta)}\biggr\},\qquad t\geqslant 0,\quad \delta =\mathrm{const}>0,
\end{equation}
\tag{16}
$$
является мартингалом (это можно проверить по формуле Ито) и, следовательно, по теореме об остановке мартингалов для любого ограниченного момента остановки $\rho$ Полагая $\delta =1$ и применяя неравенство $x^{q/2}\leqslant C e^{x}$, $q>0$, $x\geqslant 0$, имеем при $q\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E\biggl|\frac{{\widetilde{W}}_{\rho}}{\rho +1}\biggr|^q &= \mathbf E(\rho +1)^{-q/2} \biggl(\frac{{\widetilde{W}}_{\rho}^2}{\rho +1}\biggr)^{q/2}\leqslant C \, \mathbf E(\rho+1)^{-q/2}\exp \biggl\{\frac{{\widetilde{W}}_{\rho}^2}{2(\rho+1)}\biggr\} \\ &\leqslant C \, \mathbf E(\rho+1)^{-1/2}\exp \biggl\{\frac{{\widetilde{W}}_{\rho}^2}{2(\rho +1)}\biggr\}=C<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стандартные аргументы “усечения” (с использованием леммы Фату) позволяют увидеть, что последнее неравенство справедливо для любого неограниченного момента остановки $\rho$, и это завершает доказательство.
3) В силу представления (10) имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda =-Y_{\tau}^{-1}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau}).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $Z_{\tau}(\lambda,\theta )\in C^n(\Lambda)$ для любого $n$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \lambda}Z_{\tau}(\lambda,\theta)=-(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})Z_{\tau}(\lambda,\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
По доказанному выше ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ имеет конечное математическое ожидание (так как предполагается, что $\sup_{\lambda \in \Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}<\infty$, $r>1$); поэтому, используя эквивалентность мер $\mathbf P_{\lambda}$ и $\mathbf P_{\theta}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda) &=-\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau}) =-\mathbf E_{\theta}Y_{\tau}^{-1}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})Z_{\tau}(\lambda,\theta) \\ &= \mathbf E_{\theta}\frac{\partial}{\partial \lambda }Y_{\tau}^{-1}Z_{\tau}(\lambda,\theta)=\frac{\partial}{\partial \lambda}\mathbf E_{\theta}Y_{\tau}^{-1}Z_{\tau}(\lambda,\theta)=\frac{\partial}{\partial \lambda} \mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где перестановка символов $\partial/\partial \lambda$ и $\mathbf E_{\lambda}$ оправдана в силу того же условия $\sup_{\lambda \in\Lambda }\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}<\infty$, $r>1$, которое гарантирует равномерную интегрируемость $Y_{\tau}^{-1}$ по параметру $\lambda$.
4) Аналогично п. 3) и опуская технические детали, имеем
$$
\begin{equation*}
(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda)^2=Y_{\tau}^{-2}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}Z_{\tau}(\lambda,\theta) =[(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2-Y_{\tau}]Z_{\tau}(\lambda,\theta ),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda)^2 &=\mathbf E_{\theta}Y_{\tau}^{-2}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2Z_{\tau}(\lambda,\theta) \\ &= \mathbf E_{\theta}Y_{\tau}^{-2}[(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2-Y_{\tau}]Z_{\tau}(\lambda,\theta) +\mathbf E_{\theta}Y_{\tau}^{-1}Z_{\tau}(\lambda,\theta) \\ &=\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-2}+\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5) При $\theta \in \Lambda $ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{\partial}{\partial \lambda}\mathbf E_{\lambda}\lambda_{\tau}\biggr|^2 &=\biggl|\mathbf E_{\theta}\lambda_{\tau}\frac{\partial}{\partial \lambda}Z_{\tau}(\lambda,\theta) \biggr|^2 \\ &=\biggl|\mathbf E_{\theta}(\lambda_{\tau}-\lambda )\frac{\partial}{\partial \lambda}Z_{\tau}(\lambda,\theta)\biggr|^2 \quad (\text{так как }\mathbf E_{\theta}\frac{\partial}{\partial \lambda }Z_{\tau}(\lambda,\theta)=0) \\ &=|\mathbf E_{\theta}(\lambda_{\tau}\,{-}\,\lambda )Z_{\tau}(\lambda,\theta )(S_{\tau}\,{+}\,\lambda Y_{\tau})|^2 \\ &\leqslant \mathbf E_{\lambda}(\lambda_{\tau}-\lambda)^2\mathbf E_{\lambda}(S_{\tau}+\lambda Y_{\tau})^2 \quad\text{(по неравенству Гёльдера)} \\ &=\mathbf E_{\lambda}(\lambda_{\tau}-\lambda)^2\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство справедливо ввиду тождества (9).
Это и завершает доказательство теоремы 1. 2.3. Замечания 1–6Замечание 1. В [28; гл. 17] утверждения 3), 4) теоремы 1 были получены при существенно более ограничительных условиях, а именно, только для случая $\sigma_s=\mathrm{const}$ и в предположениях, что $\sup_{\lambda\in \Lambda} \mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{16}<\infty $ и $\sup_{\lambda \in \Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-16}<\infty$. Формулы (13) и (14) используются ниже в разделах 3 и 4 в примерах, в которых условия утверждений 3), 4) выполнены очевидным образом. Результат, аналогичный утверждению 5), получен в [28; п. 7.8] для многомерной версии модели (1). Замечание 2. Общее представление для $\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda)^k$ с любым $k\in \{3,4,\dots\}$ можно получить в терминах моментов $\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}$ аналогичным образом. Например, если $\sup_{\lambda \in\Lambda}\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}<\infty$ для некоторого $r>3$, то если $\sup_{\lambda \in \Lambda }\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}<\infty$ для некоторого $r>4$, то и т.д.Замечание 3. Если известно преобразование Лапласа случайной величины $Y_{\tau}$, т.е. функция то $\mathbf E_{\lambda}Y_{\tau}^{-r}$ можно найти, используя следующее соотношение: где $\Gamma(r)$ — гамма-функция. В случае, когда $b_t$ и $\sigma_t$ являются функциями только от $X_t$, т.е. когда $X_t$ — марковский процесс, задачу нахождения преобразования Лапласа $ \psi_{\lambda}(\mu,\tau)$ при $\tau=T=\mathrm{const}$ можно свести к решению уравнения в частных производных Фейнмана–Каца или обыкновенного дифференциального уравнения для его повторного преобразования Лапласа по параметру $\mu $ (см., например, [5; п. 4.1]). Замечание 4. Явное представление для функции $\psi_{\lambda}(\mu,T)$ в случае процессов типа O–U и CIR можно получить коротким путем без использования дифференциальных уравнений, но с использованием подходящего преобразования меры, как это сделано в [32] и [33]; см. подробности в разделах 4 и 5 ниже. Замечание 5. Если известна производящая функция моментов (ПФМ) случайных величин $Y_{\tau}$ и $S_{\tau}$, т.е. функция Замечание 6. Если ПФМ $\mathbf E_{\lambda}\exp \{-vS_{\tau}\}$, $v \in D$, известна при $\lambda \in \Lambda$, то ПФМ Для нахождения распределений $Y_T$ и $S_T$ можно воспользоваться, например, алгоритмом Гавера–Стехфеста для обращения преобразования Лапласа (см. [24]). 2.4. Экспоненциальная ограниченность ОМПИспользуя тот же подход, что и выше при доказательстве теоремы 1, мы можем предложить следующее достаточное условие для экспоненциальной ограниченности ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$. Теорема 2. Если существует $\delta\,{=}\,\mathrm{const} \,{>}\,0$ такое, что $P_{\lambda}\{Y_{\tau}\,{\geqslant}\, \delta \}\,{=}\,1$, то Доказательство. Здесь мы снова используем мартингальное свойство процесса $U_t$, определенного в (16).
Для любого момента остановки $\tau$ такого, что $Y_{\tau}$ и $\widehat{\lambda}_{\tau}$ являются ограниченными случайными величинами, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{\lambda} &:= \mathbf E_{\lambda}\exp \biggl\{\frac{1}{2}\, |\widehat{\lambda}_{\tau}-\lambda|\biggr\} \\ &= \mathbf E_{\lambda}(Y_{\tau}+\delta)^{1/4}(Y_{\tau}+\delta)^{-1/4}\exp \biggl\{\frac{1}{2}\frac{|M_{\tau}|}{\sqrt{Y_{\tau}+\delta}}\, \sqrt{\frac{\delta +Y_{\tau}}{Y^2_{\tau}}} \biggr\} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{(в силу неравенства Гёльдера)} \\ &\leqslant \mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y_{\tau}+\delta)^{1/2}\mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y+\delta)_{\tau}^{-1/2}\exp \biggl\{\frac{|M_{\tau}|}{\sqrt{Y_{\tau}+\delta}}\, \sqrt{\frac{\delta +Y_{\tau}}{Y^2_{\tau}}}\biggr\} \\ &\leqslant \mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y_{\tau}+\delta)^{1/2}\mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y_{\tau}+\delta )^{-1/2}\exp \biggl\{\frac{1}{2}\, \frac{M_{\tau}^2}{Y_{\tau}+\delta}+\frac{1}{2}\, \frac{\delta +Y_{\tau}}{Y_{\tau}^2} \biggr\} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad(\text{так как }\sqrt{a^2+b^2}\leqslant |a|+|b|,\ ab\leqslant (a^2+b^2)/2) \\ &\leqslant \exp \biggl\{\sqrt{\frac{2}{\delta}}\biggr\} \mathbf E_{\lambda}^{1/2}\bigl(\sqrt{Y_{\tau}}+ \sqrt{\delta}\bigr) \mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y_{\tau}+\delta)^{-1/2}\exp \biggl\{\frac{1}{2}\, \frac{M_{\tau}^2}{Y_{\tau}+\delta} \biggr\} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(\text{так как }\sqrt{(\delta +Y_{\tau})/Y_{\tau}^2}\leqslant \sqrt{2/\delta}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь после замены времени, полагая $Y_{\tau}=\rho $, где $\rho$ — момент остановки (определенный выше при доказательстве теоремы 1), а затем используя тот факт, что $\mathbf EU_{\rho}\leqslant \delta^{-1/2}$ для любого момента остановки $\rho$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}\exp \biggl\{\frac{1}{2}|\widehat{\lambda}_{\tau}|\biggr\} &\leqslant g_{\lambda}\exp \biggl\{\frac{1}{2}|\lambda|\biggr\} \\ &\leqslant \exp \biggl\{\frac{1}{2}(|\lambda |+1)\biggr\}\mathbf E_{\lambda}^{1/2}(Y_{\tau}+\delta)^{1/2} \mathbf E_{\lambda}^{1/2}U_{\rho} \\ &\leqslant C \exp \biggl\{\frac{1}{2}|\lambda|\biggr\} (\mathbf E_{\lambda}^{1/2} Y_{\tau}^{1/2}+\delta^{1/2})<\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку последнее математическое ожидание конечно по предположению теоремы. Это и завершает доказательство теоремы 2. 3. Свойства последовательной оценки $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$В этом разделе мы обсуждаем ОМП для параметра модели (6) со специально выбранным моментом остановки:
$$
\begin{equation*}
\tau_H=\inf \{t>0\colon Y_t=H\},\qquad H=\mathrm{const}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3. Пусть $\lambda\in\Lambda$ и Тогда и $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ имеет нормальное распределение: Доказательство. Заметим, что $Y_t$, $t\geqslant 0$, является непрерывным и неубывающим процессом (п.н.) и поэтому Отсюда следует свойство $P_{\lambda}\{\tau_H<\infty \}=1$, поскольку $P_{\lambda}\{Y_t<H\}\to 0$ при $T\to \infty$.
Так как $Y_{\tau_H}=H$ (п.н.), по теореме 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)=0,\qquad \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)^2 =\frac{1}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тот факт, что оценка $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ имеет нормальное распределение, можно доказать, заметив, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_{\tau_H}=\lambda -\frac{M_{\tau_H}}{H},
\end{equation*}
\notag
$$
и далее сославшись на теорему Дамбиса–Дубинса–Шварца [12], [11], поскольку для случая $\tau =\tau_H$ имеем $Y_{\tau_H}=H$, $M_{\tau_H}=\widetilde{W}_H$, где $\mathbf{\widetilde{W}} =\{\widetilde{W}_H,\, H\geqslant 0\}$ — еще одно броуновское движение (подробности см. в [3]).
Альтернативно, можно лишь отметить, что процесс является локальным мартингалом. Поскольку $Y_{\tau_H}=H$ (п.н.), отсюда, очевидно, следует, что процесс $L_{\min(t,\tau_H)}$, $t \geqslant 0$, является равномерно интегрируемым мартингалом и, следовательно, $\mathbf EL_{\tau_H}=1$, что влечет равенство которое характеризует нормальное распределение. Замечание 7. Свойства момента остановки $\tau_H$ для модели (3) с $\gamma =0$ и $\gamma =1/2$ будут обсуждаться в разделах 4 и 5. Здесь отметим, что если $\mathbf{X}$ обладает эргодическим свойством, т.е. $X_t\xrightarrow{\mathrm{d}}X_{\infty}$ (сходимость по распределению), то для гладкой положительной функции $f(x)$, $x\in \mathbf R$, такой, что $\mathbf E_{\lambda}|f(X_{\infty })|<\infty $, имеем 4. ОМП для процесса Орнштейна–Уленбека4.1.В качестве первого примера применения результатов из разделов 2 и 3 мы рассматриваем процесс $\mathbf{X}=\{X_t,\, t\geqslant 0\}$, определяемый линейным СДУ В этом случае
$$
\begin{equation}
S_{\tau}=\int_0^{\tau}X_s\, d(X_s-as),\qquad Y_{\tau}=\int_0^{\tau}X_s^2\, ds,
\end{equation}
\tag{24}
$$
где по формуле Ито
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\tau}X_s\, dX_s=\frac{X_{\tau}^2-X^2_0 -\tau}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$ для любого момента остановки $\tau$ равна
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_{\tau}=-\frac{S_{\tau}}{Y_{\tau}} =\frac{\tau-X_{\tau}^2+X^2_0+2a\int_0^{\tau}X_s\, ds}{2\int_0^{\tau}X_s^2\, ds}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, если $\tau =\tau_H$ и $ X_0=0$, $a=0$, то по теореме 3
$$
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_{\tau_H}=\frac{\tau_H-X_{\tau_H}^2}{2H}\sim N\biggl(\lambda,\frac{1}{H}\biggr).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Далее мы рассмотрим также случай $\tau =T=\mathrm{const}$, $a=0$, $X_0=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_T=\frac{T-X_T^2}{2\int_0^TX_s^2\, ds}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, для вычисления распределения ОМП $\widehat{\lambda}_T$ достаточно найти ПФМ
$$
\begin{equation*}
\psi_{\lambda}(\mu,v,T)=\mathbf E_{\lambda}\exp\biggl\{-\mu \int_0^TX_s^2\, ds-vX_T^2\biggr\}, \qquad v\geqslant 0,\quad \mu \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
4.2.Чтобы проиллюстрировать возможность использования общих формул из теоремы 1 для нахождения $\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T$) и $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)$, мы сначала выведем формулу для определенного выше преобразования Лапласа $\psi_{\lambda}(\mu,v,T)$. Следующий результат впервые был доказан в [34], [33] при $v=0$. Теорема 4. Пусть $\mathbf{X}$ удовлетворяет СДУ (3) c $\gamma=0$, $a=0$, $X_0=0$; положим $\kappa =\sqrt{\lambda^2+2\mu}$. Тогда при $\mu \geqslant 0$, $v\geqslant 0$ и $T=\mathrm{const}>0$ Доказательство. Воспользуемся приемом с заменой меры, описанным выше в замечании 6. Согласно формуле (21)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_{\lambda}(\mu,v,T) &= \mathbf E_{\kappa}\exp \biggl\{(\lambda -\kappa)\frac{T-X_T^2}{2}-vX_T^2\biggr\} \\ &=\exp \biggl\{(\lambda -\kappa)\frac{T}{2}\biggr\}\mathbf E_{\kappa}\exp \biggl\{\frac{\kappa -\lambda -2v}{2}X_T^2\biggr \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $X_T$ имеет нормальное распределение с параметрами
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\kappa}X_T=0, \qquad \mathbf E_{\kappa}X_T^2=\frac{1}{2\kappa}(1-e^{-2 \kappa T}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем воспользоваться известной формулой:
$$
\begin{equation*}
2zd^2<1,\ \ \xi \sim N(0,d^2) \quad \Longrightarrow\quad \mathbf E\exp \{zX_T^2\}=\frac{1}{\sqrt{1-2 z d^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $z=(\kappa -\lambda -2v)/2$, $d^2=(1/(2\kappa))(1-e^{-2\kappa T})$, имеем $2zd^2\leqslant (1+|\lambda|/\kappa)/2<1$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\kappa}\exp \biggl\{\frac{\kappa-\lambda -2v}{2}X_T^2\biggr\} =\frac1{\sqrt{1+(2v+\lambda -\kappa)(1/(2\kappa))(1-e^{-2\kappa T})}}
\end{equation*}
\notag
$$
что и приводит к требуемому результату. Теорема 4 доказана. 4.3. Замечания 8–10 Замечание 8. Метод, использованный при доказательстве теоремы 4, позволяет также найти ПФМ случайного вектора Замечание 9. Когда $\lambda =0$ и $v=0$, имеем $\mathbf{X}=\mathbf{B}=\{B_t,\, t\geqslant 0\}$ и из приведенной выше формулы следует, что Замечание 10. Чтобы найти точное распределение $\widehat{\lambda}_T$, можно использовать результат теоремы 4 и формулу для обращения преобразования Лапласа, поскольку ввиду представления (19) мы для каждого $y\in \mathbf R$ имеем 4.4. Численные иллюстрации. Случай $\lambda>0$, $a=0$, $X_0=0$Хорошо известно, что если $\lambda >0$, то $X_t$ — это эргодический процесс и при $T\to\infty$
$$
\begin{equation*}
X_T \xrightarrow{\mathrm{d}} N\biggl(0,\frac{1}{2\lambda}\biggr), \qquad \frac{1}{T} \int_0^TX_t^2\, dt\xrightarrow{\text{п.н.}}\frac{1}{2\lambda},\qquad \sqrt{T}(\widehat{\lambda}_T-\lambda )\xrightarrow{\mathrm{d}} N(0,2\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
C использованием теорем 1 и 4 мы также получаем неасимптотические формулы для смещения и среднеквадратического отклонения оценки $\widehat{\lambda}_T$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T) =\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda) =\int_0^{\infty}\frac{\partial}{\partial \lambda}\, \psi_{\lambda}(\mu,0,T)\, d\mu,\qquad \lambda \in \mathbf R,
\end{equation}
\tag{28}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T) =\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\int_0^{\infty}\biggl[\psi_{\lambda}(\mu,0,T)+\mu \, \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\, \psi_{\lambda}(\mu,0,T)\biggr]\, d\mu,\qquad \lambda \in \mathbf R.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Используя (27), мы получаем (после простых преобразований)
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2= \int_0^{\infty} \biggl[\psi_0(\mu,0,T)+\mu \, \frac{\partial^2}{\partial\lambda^2}\, \psi_{\lambda}(\mu,0,T)\bigg|_{\lambda =0}\biggr]\, d\mu =\frac{C_0}{T^2},
\end{equation}
\tag{30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
C_0=\int_0^{\infty} \biggl[\psi_0(\mu,0,1)+\mu \, \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} \, \psi_{\lambda}(\mu,0,1)\bigg|_{\lambda=0}\biggr]\, d\mu =13.2857\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью техники анализа асимптотических разложений (см. [36]) можно также получить асимптотики для смещения и среднеквадратического отклонения оценки $\widehat{\lambda}_T$ при $T\to \infty$, $\lambda =\mathrm{const}$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)=\frac{2(1+o_T(1))}{T},\qquad \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)=\frac{2\lambda (1+o_T(1))}{T}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
На рис. 1 приведены графики числовых значений (полученные с помощью Wolfram Mathematica) функций $T \operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)$ и $(T/\lambda)\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)$; обе эти функции в соответствии с (31) имеют при $T\to \infty$ предел, равный $2$. Графики на рис. 1 ясно демонстрируют, что асимптотические приближения $T\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)\approx 2$ и $(T/\lambda)\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)\approx 2$ могут ввести в заблуждение, когда $T$ принимает умеренные значения ($T\leqslant 100$) и значения параметра $\lambda $ относительно близки к нулю ($\lambda \leqslant 1$). Именно поэтому использование ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$, обладающей свойством нормальности $\widehat{\lambda}_{\tau_H}\sim N(\lambda,1/H)$ для всех $\lambda \geqslant 0$, может быть более приемлемым. 4.5. Свойства момента остановки $\tau_H$Ниже мы приведем несколько общих свойств распределения $\tau_H$, а также оценки для среднего времени наблюдения $\mathbf E_{\lambda}\tau_H$. Теорема 5. Пусть $\lambda \geqslant 0$. Тогда 1) имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
\frac{\tau_H}{H}\xrightarrow{\mathrm{d}}2\lambda\quad \textit{при }\ H\to \infty;
\end{equation*}
\notag
$$
2) справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{\lambda}\biggl(\frac{\tau_H-2\lambda H}{2\sqrt{H}}\geqslant x\biggr) &\geqslant P_{\lambda}(\xi \geqslant x) \nonumber \\ &=\frac{1}{2}\biggl(1-\operatorname{Erf}\biggl(\frac{x}{\sqrt{2}}\biggr) \biggr),\qquad\xi \sim N(0,1),\quad x\in \mathbf R; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
3) выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
2\lambda H\leqslant \mathbf E_{\lambda}\tau_H\leqslant 2\lambda H+\sqrt{6H};
\end{equation*}
\notag
$$
4) имеет место сходимость Доказательство.
1) См. замечание 7 в разделе 3 выше.
2) Заметим, что в силу теоремы 3 мы имеем
$$
\begin{equation*}
(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)\, 2H=\tau_H-X_{\tau_H}^2\sim N(0,2H),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{\lambda}\biggl(\frac{\tau_H-2\lambda H}{2\sqrt{H}}\geqslant x\biggr) &\geqslant P_{\lambda}\biggl( \frac{\tau_H-2\lambda H-X_{\tau_H}^2}{2\sqrt{H}}\geqslant x\biggr) \\ &=P_{\lambda}(\xi \geqslant x),\qquad \xi \sim N(0,1),\quad x\in \mathbf R. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) По формуле Ито
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, dX_t^2 &=(-2\lambda X_t^2+1)\, dt+2X_t\, dB_t, \\ dX_t^4 &=[4X_t^3(-\lambda X_t)+6X_t^2]\, dt+4X_t^3\, dB_{t }. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет для момента остановки $\min (\tau_H,T)$ следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}X_{\min(\tau_H,T)}^2 &= \mathbf E_{\lambda} \int_0^{\min(\tau_H,T)}(-2\lambda X_t^2+1)\, dt \\ &=-2\lambda \mathbf E_{\lambda}\int_0^{\min(\tau_H,T)}X_t^2\, dt+\mathbf E_{\lambda}\min (\tau_H,T)\geqslant 0, \\ \mathbf E_{\lambda}X_{\min(\tau_H,T)}^4 &=\mathbf E_{\lambda}\int_0^{\min(\tau_H,T)}[4X_t^3(-\lambda X_t)+6X_t^2]\, dt \\ &\leqslant 6\mathbf E_{\lambda}\int_0^{\min(\tau_H,T)}X_t^2\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что при $T\to \infty$
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\min(\tau_H,T)}X_t^2\, dt\uparrow \int_0^{\tau_H}X_t^2\, dt=H,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
2\lambda H\leqslant \mathbf E_{\lambda}\tau_H\leqslant 2\lambda H+\sqrt{\mathbf E_{\lambda}X_{\tau_H}^4}\leqslant 2\lambda H+\sqrt{6H}.
\end{equation*}
\notag
$$
4) Поскольку $P_{\lambda}\{\tau_H>T\}=P_{\lambda}\bigl\{\int_0^TX_t^2\, dt\leqslant H\bigr\}$, интегрированием по частям преобразования Лапласа $\psi_{\lambda}(\mu,v,T)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty }\exp \{-\mu H\}P_{\lambda}\{\tau_H>T\}\, dH=\frac{1}{\mu}\, \psi_{\lambda}(\mu,0,T).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}\tau^r_H=r \int_0^{\infty}T^{r-1}P_{\lambda}\{\tau_H>T\}\, dT,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty}\exp \{-\mu H\}\mathbf E_{\lambda}\tau^r_H\, dH=\frac{r}{\mu} \int_0^{\infty} T^{r-1}\psi_{\lambda}(\mu,0,T)\, dT.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, когда $r=1$ и $\lambda =0$, из (27) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^{\infty}\exp \{-\mu H\}\mathbf E_0\tau_H\, dH &=\frac{1}{\mu}\int_0^{\infty}\psi_0(\mu,0,T)\, dT = \frac{1}{\mu} \int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ch}(\sqrt{2\mu}\, T)}}\, dT \\ &=\frac{1}{\mu \sqrt{2\mu}}\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ch} x}}\, dx=\frac{C_1}{\sqrt{2}}\, \mu^{-3/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где (мы используем пакет Wolfram Mathematica) Так как преобразование Лапласа от функции $C H^{1/2}$ равно $C\mu^{-3/2}$ ($C=\mathrm{const}$), находим, что Этот же метод позволяет получить асимптотическое разложение $\mathbf E_{\lambda}\tau_H$ при $\lambda \to 0$ (здесь не представлено). 4.6. Сравнение $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau_H})$ и $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)$Такое сравнение последовательных оценок и оценок с фиксированным размером выборки естественно делать при условии $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H$. Если $\lambda$ не очень мало, мы можем использовать приближение $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H= 2 \lambda H (1+o_{T}(1))$ при $H\to \infty$ и $T\to \infty$ (см. теорему 5). Так как
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}(\lambda_T-\lambda)^2=\frac{2\lambda}{T}(1+o(1)),\qquad \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda )^2=\frac{1}{H},
\end{equation*}
\notag
$$
то при $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H\to\infty$ и $\lambda =\mathrm{const}>0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2= \frac{2\lambda}{T} (1+o(1))=\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при больших $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H$ выигрыша в эффективности нет. Когда $\lambda >0$, $T$ не очень велико и $\lambda$ близко к нулю, ситуация другая. Действительно, по теореме 5 для $H=\mathrm{const}$ и $\lambda \to 0$
$$
\begin{equation*}
T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H\sim (2.09\dots)\sqrt{H} (1+o(1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Выше было показано, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_0(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2=T^{-2}C_0,\qquad C_0=13.34\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H=\mathrm{const}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{\lambda \to 0}\frac{\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2}{\mathbf E_{\lambda} (\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)^2}= \frac{13.34\dots}{(2.09\dots)^2}=3.041\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Об этом числовом значении сообщалось также в [31] и [32]. В принципе, на основе результата теоремы 4 можно найти точные числовые значения эффективности
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2}{\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)^2}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $T$, $H$ и $\lambda$, включая неэргодический случай $\lambda \leqslant 0$.
5. ОМП для процесса Кокса–Ингерсолла–Росса5.1.Здесь мы рассматриваем задачу оценки параметра сноса $\lambda$ процесса $\mathbf{X}=\{X_t,\, t\geqslant 0\}$, являющегося решением СДУ
$$
\begin{equation}
dX_t=(a-\lambda X_t)\, dt+\sqrt{X_t}\, dW_t,\qquad a>\frac{1}{2},\quad \lambda>0,\quad X_0=x>0.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Хорошо известно, что при этих условиях $P\{X_t>0\}=1$. Для рассматриваемого случая мы имеем $Y_{\tau}=\int_0^{\tau}X_s\, ds$ и следовательно, можно найти ОМП $\widehat{\lambda}_{\tau}$:
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}_{\tau}=-\frac{S_{\tau}}{Y_{\tau}}=\frac{a\tau -X_{\tau}+x}{\int_0^{\tau}X_s\, ds}.
\end{equation*}
\notag
$$
Совместная ПФМ случайных величин известна (см., например, [26; п. 6.2.4]): вводя (как и в теореме 4) обозначение $\kappa =\sqrt{\lambda^2+2\mu}$, имеем4
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{\lambda}(\mu,v,T) &:=\mathbf E_{\lambda}\exp \biggl\{-\mu\int_0^TX_s\, ds-vX_T\biggr\} \nonumber \\ &=\biggl(a\frac{2a\kappa e^{T(\kappa +\lambda)/2}}{v(e^{\kappa T}-1)+(\kappa-\lambda )+(\kappa +\lambda )e^{\kappa T}}\biggr)^2 \nonumber \\ &\qquad\times\exp \biggl\{-X_0\frac{v(\kappa +\lambda +e^{\kappa T}(\kappa -\lambda))+2\mu(e^{\kappa T}-1) }{v(e^{\kappa T}-1)+(\kappa-\lambda)+(\kappa +\lambda)e^{\kappa T}}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
5.2. Численные иллюстрацииПри заданных условиях $X_t$ является эргодическим процессом и при $T\to \infty $ имеем (см., например, [26])
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X_T\xrightarrow{\mathrm{d}} X_{\infty }\sim \Gamma(2a,2\lambda),\qquad \mathbf E_{\lambda}X_{\infty}=\frac{a}{\lambda}, \nonumber \\ \frac{1}{T} \int_0^TX_t\, dt\xrightarrow{\mathrm{d}} \frac{a}{\lambda},\qquad \sqrt{T}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)\xrightarrow{\mathrm{d}} N\biggl(0,\frac{\lambda}{a}\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)=\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda) =\frac{1+o_T(1)}{T}, \\ \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)=\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2=\frac{\lambda (1+o_T(1))}{T}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Используя формулы (13) и (14), мы можем получить точные значения для $\operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)$ и $ \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T) &=\int_0^{\infty}\frac{\partial}{\partial \lambda}\, \varphi_{\lambda}(\mu,0,T)\, d\mu, \\ \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T) &=\int_0^{\infty}\biggl[\varphi_{\lambda}(\mu,0,T)+\mu\, \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\, \varphi_{\lambda}(\mu,0,T)\biggr]\, d\mu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, отсюда следует, что при $T=\mathrm{const}$
$$
\begin{equation*}
\lim_{\lambda \to 0}\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2=\frac{C_{\mathrm F}}{T^2}(1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{\mathrm F}=0.757\dots$ (получено с помощью пакета Wolfram Mathematica). Здесь мы рассматриваем (только как пример) случай и приводим графики функций $T \operatorname{bias}(\widehat{\lambda}_T)$, $T \operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_T)$, пределы которых при $T\to \infty$ равны $1$ (см. рис. 2).5.3. Свойства $\tau_H$Распределение момента остановки
$$
\begin{equation*}
\tau_H=\inf \biggl\{T>0\colon \int_0^TX_s\, ds=H\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
можно изучать аналогично случаю процесса O–U, рассмотренному выше. Теорема 6. Пусть $a>1/2$, $\lambda >0$ и $X_0>0$. Тогда 1) имеет место сходимость
$$
\begin{equation*}
\frac{\tau_H}{H}\xrightarrow{\mathrm{d}}\frac{a}{\lambda}\quad\textit{при } \ H \to \infty;
\end{equation*}
\notag
$$
2) справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{\lambda}\biggl(\frac{a\tau_H-\lambda H+X_0}{\sqrt{H}}\geqslant x\biggr) &\geqslant P_{\lambda}(\xi \geqslant x) \\ &=\frac{1}{2}\biggl(1-\operatorname{Erf}\biggl(\frac{x}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr),\qquad \xi \sim N(0,1),\quad x\,{\in}\, \mathbf R; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda H-X_0}{a}\leqslant \mathbf E_{\lambda}\tau_H\leqslant \frac{\lambda}{a}\, H+\sqrt{\frac{2a+1}{a^2}H};
\end{equation*}
\notag
$$
4) имеет место сходимость Доказательство. 1) См. замечание 7 в разделе 3 выше.
2) Второе утверждение доказывается так же, как соответствующее утверждение в теореме 5. 3) Из (33) получаем
$$
\begin{equation*}
X_{\tau_H}-X_0=a\tau_H-\lambda \int_0^{\tau_H}X_t\, dt+\int_0^{\tau_H}\sqrt{X_t}\, dB_t
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому
$$
\begin{equation*}
\mathbf EX_{\tau_H}-X_0=a\, \mathbf E\tau_H-\lambda H.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbf EX_{\tau_H} \geqslant 0$, отсюда следует нижняя оценка.
Чтобы получить верхнюю оценку, заметим, что по формуле Ито
$$
\begin{equation*}
dX^2_t=2X_t\biggl(a-\lambda X_t+\frac12\biggr)\,dt+ X^{3/2}_t\,dB_t.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbf EX_{\tau_H}\leqslant \sqrt{ \mathbf EX_{\tau_H}^2}$ и $\mathbf EX_{\tau_H}^2\leqslant X^2_0+(2a+1)H$, это влечет верхнюю границу:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E\tau_H &= \frac{\lambda}{a}H+\frac{1}{a}(\mathbf EX_{\tau_H}-X_0)\leqslant \frac{\lambda}{a}H+\frac{1}{a}\sqrt{X_0^2+(2a+1)H}-\frac{1}{a}X_0 \\ &\leqslant \frac{\lambda}{a}H+\sqrt{\frac{2a+1}{a^2}H}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4) Как и при доказательстве теоремы 5, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty}\exp \{-\mu H\}P_{\lambda}\{\tau_H>T\}\, dH=\frac{1}{\mu}\, \varphi_{\lambda}(\mu,0,T)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty}\exp \{-\mu H\}\mathbf E_{\lambda}\tau_H\, dH=\frac{1}{\mu}\, \int_0^{\infty }\varphi_{\lambda}(\mu,0,T)\, dT.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью Wolfram Mathematica получаем
$$
\begin{equation*}
\varphi_0(\mu,0,T)=\biggl(\frac{4\exp \{-\sqrt{2\mu}\, T-\sqrt{2\mu}\operatorname{th}(\sqrt{\mu/2}\, T)\}}{1+\exp \{-\sqrt{2\mu}\, T\}}\biggr)^2
\end{equation*}
\notag
$$
и при $\mu \to 0$
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty }\exp \{-\mu H\}\mathbf E_{\lambda}\tau_H\, dH = C_{\mathrm{FF}}\mu^{-3/2} (1+o_\mu(1)),\qquad C_{\mathrm{FF}}=0.757\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого следует
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_0\tau_H=B_{11}\sqrt{H},\qquad B_{11}=2C_{\mathrm{FF}}\sqrt{\frac{1}{\pi}}=0.854\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 доказана. 5.4. Сравнение $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau_H})$ и $\operatorname{mse}(\widehat{\lambda}_{\tau_H})$Как и выше в разделе 4, сравнение проводится при условии $T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H$. Если параметр $\lambda$ не очень мал, то при $T\to \infty$ мы можем использовать приближение
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}\tau_H = \frac{\lambda}{a}\, H(1+o_T(1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2=\frac{\lambda(1+o_T(1))}{aT},\qquad \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda)^2=\frac{1}{H},
\end{equation*}
\notag
$$
то различия в эффективности нет:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2 &= \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda )^2 (1+o_T(1)) \\ &= \frac{\lambda}{aT}(1+o_T(1)) \quad \text{при }\ T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H\to \infty,\ \ \lambda >0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Когда $\lambda$ близко к нулю и $T$ не очень велико, ситуация отличается. Далее рассмотрим случай $X_0=1$ и $a=1$. По теореме 5 для $\lambda\to 0$ и $H=\mathrm{const}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
T=\mathbf E_{\lambda}\tau_H=(0.854\dots)\sqrt{H}(1+o_{\lambda}(1))
\end{equation*}
\notag
$$
и прямыми вычислениями получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2=T^{-2}C_{\mathrm F}(1+o_{\lambda}(1)),\qquad C_{\mathrm F}=0.757\dots, \\ \lim_{\lambda \to 0} \frac{\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_T-\lambda)^2}{\mathbf E_{\lambda}(\widehat{\lambda}_{\tau_H}-\lambda )^2} = \frac{0.757\dots}{(0.854)^2}=1.04\dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, наблюдается лишь умеренный выигрыш в эффективности. Тем не менее тот факт, что оценка $\widehat{\lambda}_{\tau_H}$ является несмещенной и нормально распределенной с заданной дисперсией $1/H$, может быть доводом для использования ее на практике.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NovShiKor24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|