| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Спонтанно возникающие сигналы с белым шумом П. А. Яськов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Английская версия:
Theory of Probability and its Applications, 2025, Volume 69, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T992136 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеТеорема Камерона–Мартина описывает, как винеровская мера $\mu$, задающая распределение стандартного броуновского движения $B=(B(t))_{t\in[0,1]}$ в $C[0,1]$ (см. в [8; раздел 3.1.1]), меняется при сдвигах: если $\mu_a$ — распределение $B+a$ и $a\in C[0,1]$, то $\mu_a\sim \mu$, если $a(t)=\int_0^tf(s)\,ds$ для всех $t\in[0,1]$ для некоторой $f\in L_2[0,1]$, причем
$$
\begin{equation*}
\frac{d\mu_a}{d\mu}(g)=\exp\biggl\{\int_0^1f(t)\, dg(t)-\frac{1}{2}\int_0^1 f^2(t)\, dt \biggr\} \quad\text{при } \ g\in C[0,1]\quad \mu\text{-п.н.},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mu_a\perp\mu$ для иных $a$, где $\nu\sim\mu$ ($\nu\ll\mu$) обозначает, что мера $\nu$ эквивалентна (абсолютно непрерывна относительно) $\mu$, и $\nu\perp\mu$, если $\nu$ и $\mu$ сингулярны (см. [7; теорема 1.38]). Если $a$ — степенная функция с показателем $\alpha>0$, значение $\alpha=1/2$ отделяет абсолютно непрерывный случай от сингулярного: $\mu_a\sim\mu$ при $\alpha>1/2$ и $\mu_a\perp\mu$ иначе. В [3] Дэвис и Монро рассмотрели пограничный случай $\alpha=1/2$ для спонтанно возникающего сноса, исследовав распределение $\mu_\varepsilon$ процесса $B_\varepsilon(t)=B(t)+\varepsilon\sqrt{(t-\tau)^+}$ на $[0,1]$ для заданных $\varepsilon>0$ и $\tau\in[0,1)$. Если $\tau$ неслучайно, то $\mu_\varepsilon\perp\mu $ для всех $\varepsilon$. Когда $\tau$ случайно, ситуация иная. А именно, как показано в [3], если $\tau$ — независимая от $B$ случайная величина, равномерно распределенная на $[0,1)$, то $\mu_\varepsilon\ll\mu$ для $\varepsilon<2$ и $\mu_\varepsilon\perp\mu$ для $\varepsilon>\sqrt{8}$. Результаты [3] не охватывают случай $\varepsilon\in [2,\sqrt{8}]$. Этот случай тесно связан с вопросами существования гауссова мультипликативного хаоса (ГМХ) в субкритическом режиме. В [11] показано, что, адаптируя метод Берестицкого [2] доказательства существования ГМХ, можно установить, что $\mu_\varepsilon\ll\mu$ при $\varepsilon\in [2,\sqrt{8})$. В настоящей работе предложен новый элементарный метод доказательства существования плотности $d\mu_\varepsilon/d\mu$, отвечающей одномерному ГМХ. Предложенный метод основан на неравенстве Кахане [5], он может оказаться полезным в общей теории ГМХ. Работа построена следующим образом. Раздел 2 содержит основные результаты работы. Доказательства приводятся в разделе 3. 2. Основные результатыВведем основные условия и обозначения. Все случайные элементы будут определены на одном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$. Всякий случайный процесс на $[0,1]$ с непрерывными траекториями будет рассматриваться как случайный элемент со значениями в измеримом пространстве $(C[0,1],\mathcal{C})$, где $C[0,1]$ — пространство непрерывных функций на $[0,1]$ с равномерной метрикой, а $\mathcal{C}$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $C[0,1]$. Обозначим также борелевскую $\sigma$-алгебру на $[0,1]$ через $\mathcal{B}[0,1]$. Следующая теорема содержит первый основной результат настоящей работы. Теорема 2.1. Пусть $B=(B(t))_{0\leqslant t\leqslant 1}$ — стандартное броуновское движение. Если $\mu$ — распределение $B$, а $\tau$ — независящая от $B$ случайная величина со значениями в $[0,1)$, то $\mu_\varepsilon\perp\mu$ для $\varepsilon\geqslant \sqrt{8}$, где $\mu_\varepsilon$ — распределение процесса Теорема 2.1 доказана в разделе 3. В доказательстве явно строится множество $A\in\mathcal{C}$ такое, что $\mu (A)=1$ и $\mu_\varepsilon(A)=0$ для всех $\varepsilon\geqslant \sqrt{8}$ (конструкция $A$ анонсирована в [11]). В [3] аналогичный результат доказан для $\varepsilon> \sqrt{8}$. Предлагаемая конструкция существенно отличается от конструкции из [3]. Во-первых, указанное множество $A$ не зависит от $\varepsilon$. Во-вторых, покрывается случай $\varepsilon= \sqrt{8}$. В-третьих, строго говоря, результаты [3] касаются случайного процесса
$$
\begin{equation*}
\overline B_\varepsilon(t)=B(t)+\varepsilon\sqrt{(t-\tau)^+\wedge 1},\qquad t\in[0,2].
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая теорема является нашим вторым основным результатом. Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 пусть $\tau$ имеет распределение $\sigma$ с конечной $d$-энергией (для некоторого $0< d<1$), заданной формулой Теорема 2.2 доказана в разделе 3. Замечание 2.1. В доказательстве теоремы 2.2 сходимость (1) в $L_p$ установлена при всех $p<\min\{8d/\varepsilon^2,2\}$. Следствие 2.1. Пусть в условиях теоремы 2.1 величина $\tau$ имеет равномерное распределение на $[0,1]$. Тогда $\mu_\varepsilon\perp\mu$ при $\varepsilon\geqslant \sqrt{8}$ и $\mu_\varepsilon\sim\mu$ при $0<\varepsilon<\sqrt{8}$. Следствие 2.1 расширяет результат [3] на случай $\varepsilon\in[2,\sqrt{8}]$. Сингулярность мер $\mu_\varepsilon\perp\mu$ в следствии 2.1 вытекает из теоремы 2.1, абсолютная непрерывность мер $\mu_\varepsilon\ll\mu$ — из теоремы 2.2, поскольку $E_d(\sigma)<\infty$ при $d\in(0,1)$, когда $\sigma$ — равномерное распределение на $[0,1]$. При этом эквивалентность мер $\mu_\varepsilon\sim\mu$ при $\varepsilon<\sqrt{8}$ может быть проверена с помощью свойства самоподобия броуновского движения, как это описано в [11]. В [11] также предложен иной способ доказательства абсолютной непрерывности на основе метода Берестицкого [2]. Обсудим, как наши результаты связаны с теорией ГМХ. В условиях теоремы 2.2 формальное применение формулы Камерона–Мартина–Гирсанова дает $d\mu_{2\varepsilon}/d\mu = m_\varepsilon ([0,1])$, где
$$
\begin{equation*}
m_\varepsilon(A):=\int_A\exp\biggl\{\varepsilon X(v)-\frac{\varepsilon^2\mathbf{E} X^2(v)}2\biggr\}\,\sigma(dv)
\end{equation*}
\notag
$$
для борелевского множества $A\in \mathcal{B}[0,1]$ и
$$
\begin{equation*}
X(u)=\int_u^1\frac{dB(s)}{\sqrt{s-u}},\qquad 0\leqslant u\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $(B(t))_{0\leqslant t\leqslant 1}$ — броуновское движение на вероятностном пространстве $(C[0,1],\mathcal{C},\mu)$, определяемое тождеством $B(t)(f)\,{\equiv}\, f(t)$ для $f\,{\in}\,C[0,1]$ и $0\leqslant t\leqslant 1$. Процесс $X$ не может быть определен точечно, так как дисперсия его значений бесконечна. Однако $X$ можно рассматривать как лог-коррелированное гауссовское поле с нулевым средним и ковариационной функцией
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(u,v) &=\int_{u\vee v}^1\frac{ds}{\sqrt{(s-u)(s-v)}} \\ &=\ln\frac{1}{|u-v|}+2\ln\bigl(\sqrt{1-u}+\sqrt{1-v}\bigr),\qquad 0\leqslant u,v\leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, $X$ можно определять через интегралы2
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 X(u)\, \rho(du)=\int_0^1\biggl(\int_0^s \frac{\rho(du)}{\sqrt{s-u}}\biggr)\, dB(s)
\end{equation*}
\notag
$$
для мер со знаком $\rho$ на $\mathcal{B}[0,1]$ вида $\rho=\rho_+-\rho_-$, причем $\rho_{\pm}$ — неотрицательные конечные меры на $\mathcal{B}[0, 1]$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\iint_{[0,1]^2}K(u,v)\, \rho_{\pm}(du)\, \rho_{\pm}(dv)=\int_0^1\biggl(\int_0^s \frac{\rho_{\pm}(du)}{\sqrt{s-u}}\biggr)^2\, ds <\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из теоремы Фубини. В этом случае $\{X_\rho\}$ при $X_\rho:=\int_0^1 X(u)\, \rho(du)$ будет центрированным гауссовским семейством, индексированным $\rho$ и имеющим ковариационную функцию
$$
\begin{equation*}
C(\rho,\overline\rho)=\iint_{[0,1]^2}K(u,v)\, \rho(du)\, \overline\rho(dv).
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $m_\varepsilon(A)$, в частности, при $A=[0,1]$, могут быть определены как предел в $L_1$ случайных величин вида
$$
\begin{equation*}
m_{\varepsilon,\rho,\delta}(A ):=\int_A \exp\biggl\{\varepsilon X_{\delta,\rho }(v)-\frac{\varepsilon^2\mathbf{E} X_{\delta,\rho}^2(v)}2\biggr\}\,\sigma(dv)
\end{equation*}
\notag
$$
при $X_{\delta,\rho}(v)=\int_0^1X\, d\rho_{\delta,v}$ для широкого класса неотрицательных мер Радона $\rho $ единичной массы на $\mathcal{B}[0,1]$, где $\rho_{\delta,v}(A)=\rho(\{x\colon v-\delta x \in A \})$ для $A\in\mathcal{B}[0,1]$ (см. подробнее в [2]). В настоящей работе используется новый подход в доказательстве теоремы 2.2, который основан на предложениях 2.1 и 2.2 ниже. Чтобы сформулировать их, определим
$$
\begin{equation}
I(X,\sigma):=\int_0^1\exp\biggl\{ X (u)- \frac{\mathbf{E} X^2(u)}2\biggr\}\, \sigma(du)
\end{equation}
\tag{2}
$$
для непрерывного3 гауссовского процесса $X=(X(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ и конечной меры $\sigma$ на $\mathcal{B}[0,1]$. Предложение 2.1. Пусть $\{X_\delta(u)\}_{0\leqslant u\leqslant 1}$, $\delta>0$, — непрерывные совместно гауссовские процессы с нулевым средним. Если $\mathbf{E} X_\delta(u)X_\gamma(v)$ не возрастает по $\delta,\gamma>0$ для всех $ u,v\in[0,1]$ и $\sigma$ — конечная мера на $\mathcal{B}[0,1]$, то $I(X_\delta,\sigma)$ сходится по вероятности при $\delta\to0$. Предложение 2.1 позволяет доказать сходимость по вероятности плотностей $d\mu_{\varepsilon,\delta}/d\mu$ в условиях теоремы 2.2. Оно доказывается в разделе 3 как следствие следующего неравенства выпуклости Кахане. Лемма 2.1. Пусть $X\,{=}\,(X(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ и $Y\,{=}\,(Y(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ — непрерывные гауссовские процессы с нулевыми средними и такие, что $\mathbf{E} X(u)X(v)\leqslant \mathbf{E} Y(u)Y(v)$ для всех $ u,v\in[0,1]$. Тогда для любой конечной меры $\sigma$ на $\mathcal{B}[0,1]$. Лемма 2.1 является прямым следствием леммы 10 из [1], так как любая конечная мера на $\mathcal{B}[0,1]$ является радоновой мерой. Помимо предложения 2.1 ключевую роль в доказательстве теоремы 2.2 играет следующее утверждение, позволяющее установить равномерную интегрируемость плотностей $d\mu_{\varepsilon,\delta}/d\mu$ в условиях теоремы 2.2. Предложение 2.2. Для каждого $\delta\,{>}\,0$ существует гауссовский процесс $Y_\delta=(Y_{\delta}(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ с п.н. непрерывными траекториями, нулевым средним и ковариационной функцией Предложение 2.2 доказывается в разделе 3 с помощью следующей леммы, представляющей самостоятельный интерес. Лемма 2.2. Пусть $X=(X(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ и $Y=(Y(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ — независимые непрерывные гауссовские процессы с нулевым средним и такие, что $ \operatorname{var}(Y(u))=C>0$ для всех $0\leqslant u\leqslant 1 $. Если $1\leqslant p\leqslant 2$ и $\sigma,\overline\sigma$ — конечные меры на $\mathcal{B}[0,1]$, то 3. Доказательства Доказательство теоремы 2.1. Для доказательства теоремы построим множество $A\in \mathcal{C}$ такое, что $\mu(A)=1$ и $\mu_\varepsilon(A)=0$ для $\varepsilon\geqslant\sqrt{8}$. Определим
$$
\begin{equation*}
A=\Bigl\{f\in C[0,1]\colon\varlimsup_{n\to\infty}M_{n}(f)\leqslant 0\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где при $k,n\in\mathbf{Z}_+$, $n\geqslant 1$ и $k< 4^n$ и интеграл понимается в смысле Римана–Стилтьеса для $f\in C[0,1]$, $g\colon[0,1]\to\mathbf{R}$ ограниченной вариации и $a\in[0,1]$. Так как интеграл $\int_a^1 g\,df$ непрерывен по $f$ относительно равномерной метрики, то $A\in \mathcal{C}$.
По определению $\mu_\varepsilon$ и $B_\varepsilon$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mu_\varepsilon (A)=\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,\tau))\quad\text{для}\quad A_\varepsilon (B,\tau)=\Bigl\{\varlimsup_{n\to\infty} M_{n}(\varepsilon,B,\tau)\leqslant 0\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где для $k,n\in\mathbf{Z}_+$, $n\geqslant 1$ и $k< 4^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_n(\varepsilon,B,\tau):=\max\bigl\{X_{kn}-\sqrt{2\ln(4^n-k)}+\varepsilon \Delta_{kn} \colon 0\leqslant k\leqslant 4^n-2^n-1\bigr\}, \\ \begin{aligned} \, X_{kn}=X_{kn}(B)&:=\frac{1}{\sqrt{\ln(4^n-k)}}\int_{(k+1)4^{-n}}^{1}\frac{dB(s)}{\sqrt{s-k4^{-n}}}, \\ \Delta_{kn}=\Delta_{kn}(\tau)&:=\frac{1}{2\sqrt{\ln(4^n-k)}}\int_{(k+1)4^{-n}}^{1} \frac{\mathbf{I}(s>\tau)\, ds}{\sqrt{(s-k4^{-n})(s-\tau)}}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что каждое $X_{kn}$ имеет стандартное нормальное распределение. Поэтому из следующей леммы следует, что $\mu(A)=\mathbf{P}(A_0(B,\tau))=1$.
Лемма 3.1. Пусть $\{Z_{kn}\colon n\,{\in}\,\mathbf{N},\, k\,{=}\,2^n+1,\dots,4^n\}$ — семейство стандартных нормальных случайных величин. Если $Z_n=\max\{Z_{kn}- \sqrt{2\ln k}: k=2^n+1,\dots,4^n\}$, то Доказательство леммы 3.1 дано в приложении (см. раздел 4). Покажем, что $\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,\tau))=0$ для любого $\varepsilon\geqslant \sqrt{8}$. В силу независимости $B$ и $\tau$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,\tau))=\mathbf{E} \mathbf{P}(A_\varepsilon(B,t))|_{t=\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\tau\in [0,1)$ п.н., достаточно проверить, что $\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,t))=0$ для всех $t\in[0,1)$. Фиксируем $t\in[0,1)$. Обозначим целую часть $x\in\mathbf{R}$ через $[x]$. Если $\varepsilon\geqslant \sqrt{8}$ и $k=[t4^n]$, то имеем
$$
\begin{equation*}
\varepsilon\Delta_{k n}(t)\geqslant\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{ \ln(4^n-k )}}\int_{(k +1)4^{-n}}^{1}\frac{ds}{s-k 4^{-n} }=\sqrt{2 \ln(4^n-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если, кроме того, $t<1-2^{-n}-4^{-n}$, то $M_n(\varepsilon,B,t)\geqslant X_{kn}$. В результате мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,t))=\mathbf{P}\Bigl(\varlimsup_{n\to\infty}M_n(\varepsilon,B,t)\leqslant 0\Bigr) \leqslant \mathbf{P}\Bigl(\varlimsup_{n\to\infty}X_n\leqslant 0\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_n:=X_{k_nn}$ и $k_n:=[t4^n]$. Убедимся, что $\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,t))=0$, показав, что $\mathbf{P}(X_n\geqslant 1\text{ б.ч.})=1$ (б.ч. — сокращение “бесконечно часто”). Заметим, что $\mathbf{P}(X_n\geqslant 1\text{ б.ч.})\geqslant \mathbf{P}(X_{n_l}\geqslant 1\text{ б.ч.})$ для любой последовательности $(n_l)_{l=1}^\infty$ такой, что $n_l\uparrow\infty$ при $l\uparrow\infty$. Построим $(n_l)_{l\geqslant 1}$ так, что $\mathbf{P}(X_{n_l}\geqslant 1\text{ б.ч.})=1$. Нам понадобится обобщение Эрдёша–Реньи леммы Бореля–Кантелли (см. [9; (2)]):
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(A_l\text{ б.ч.})\geqslant\varlimsup_{l\to\infty} \frac{\bigl(\sum_{i=1}^l\mathbf{P}(A_i)\bigr)^2}{\sum_{i,j=1}^l\mathbf{P}(A_iA_j)}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой последовательности событий $(A_l)_{l=1}^\infty$. В частности, если
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^\infty\mathbf{P}(A_i)=\infty\quad \text{и}\quad \mathbf{P}(A_iA_j)\leqslant\mathbf{P}(A_i)\mathbf{P}(A_j)+(ij)^{-2}\quad\text{для всех }\ i\neq j,
\end{equation}
\tag{5}
$$
то
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(A_l\text{ б.ч.})\geqslant \varlimsup_{l\to\infty}\frac{\bigl(\sum_{i=1}^l\mathbf{P}(A_i)\bigr)^2} {\bigl(\sum_{i=1}^l\mathbf{P}(A_i)\bigr)^2+\sum_{i=1}^l\mathbf{P}(A_i)+\sum_{i,j=1}^\infty(ij)^{-2}}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Построим $(n_l)_{l=1}^\infty$ такие, что $A_l:=\{X_{n_l}\geqslant 1\}$ удовлетворяет условиям (5). В силу того, что $X_{n_l}\sim\mathcal{N}(0,1)$, всегда $\sum_{i=1}^\infty\mathbf{P}(A_i)=\infty$. На минуту предположим, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{cov}(X_n,X_m)\to0\quad\text{при }\ n\to\infty\ \text{ для любого фиксированного }\ m.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В этом случае мы можем определить $(n_l)$ таким образом, чтобы $n_1=1$ и при каждом фиксированном $l>1$ последовательно подбирать $n_l$ настолько большим, что $\operatorname{cov}(X_{n_i},X_{n_l})\leqslant (il)^{-2}$ для всех $i<l$. Поскольку $(X_{n_i})_{i=1}^\infty$ — гауссовские случайные величины, то по неравенству Гебелейна (см., например, [6; теорема 1] и [4; разделы 3.3 и 3.4]), также будем иметь, что $\operatorname{corr}(\mathbf{1}_{A_i},\mathbf{1}_{A_j})\leqslant \operatorname{corr}(X_{n_i},X_{n_j})$ и $\mathbf{P}(A_iA_j)\leqslant\mathbf{P}(A_i)\mathbf{P}(A_j)+(ij)^{-2}$ для $i\neq j$. В завершение доказательства проверим (6). Воспользовавшись тем, что $k_n4^{-n}=[t4^{n}]4^{-n}$ монотонно возрастает (нестрого) до $t$ и $(k_n+1)4^{-n}$ монотонно убывает (нестрого) до $t$ при $n\uparrow\infty$, получаем при $m\leqslant n$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, 4^n-k_n=4^n(1-k_n4^{-n}) &\geqslant 4^{n}(1-t), \\ 4^m-k_m=4^m(1-k_m4^{-m}) &\geqslant 4^{m}(1-t), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \operatorname{cov}(X_{n},X_{m}) &=\frac{1}{\sqrt{\ln(4^n-k_n)\ln(4^m-k_m)}} \\ &\qquad\times\int_{(k_m+1)4^{-m}}^{1} \frac{ds}{\sqrt{(s-k_n4^{-n})(s-k_m4^{-m})}} \\ &\leqslant\frac{2\ln(\sqrt{s-k_n4^{-n}}+\sqrt{s-k_m4^{-m}})|_{s=(k_m+1)4^{-m}}^1} {\sqrt{\ln((1-t)4^n)\ln((1-t)4^m)}}\to 0 \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$ для любого фиксированного $m$. Это доказывает (6). Как результат — $\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,t))=0$ для всех $t\in[0,1)$ и $\mu_\varepsilon(A)=\mathbf{P}(A_\varepsilon(B,\tau))=0$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.2. Зафиксируем $\varepsilon\,{<}\, \sqrt{8}$. С учетом оценки справедливой для всех $x,\delta\geqslant 0$, получаем $0\leqslant B_{\varepsilon}(t)-B_{\varepsilon,\delta}(t) \leqslant \varepsilon\sqrt{\delta}$ для всех $0\leqslant t\leqslant 1$. Поэтому $B_{\varepsilon,\delta}\to B_\varepsilon$ всюду в равномерной метрике и $\mu_{\varepsilon,\delta}\to\mu_\varepsilon$ слабо при $\delta\to0$.
Теорема будет доказана, если будет установлено, что $\mu_{\varepsilon,\delta}\ll\mu$ для всех $\delta>0$ и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d\mu_{\varepsilon,\delta}}{d\mu}\text{ сходится к некоторому }\rho\text{ в } L_p(C[0,1],\mathcal{C},\mu) \\ \text{для всех }p\in\biggl[1,\min\biggl\{\frac{8d}{\varepsilon^2},2\biggr\}\biggr), \qquad\delta\to0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Действительно, если это условие выполняется и мера $\mu_\varepsilon^*$ определяется как $d\mu_\varepsilon^*/d\mu=\rho$, то $\mu_{\varepsilon,\delta}\to\mu_\varepsilon^*$ в смысле полной вариации и, следовательно, слабо при $\delta\to0$. В силу единственности слабого предела $\mu_\varepsilon=\mu_\varepsilon^*\ll \mu$ и $d\mu_\varepsilon/d\mu=\rho\in L_p(C[0,1],\mathcal{C},\mu)$ для указанных $p$.
Покажем, что $\mu_{\varepsilon,\delta}\ll\mu$ для любого заданного $\delta>0$. Прежде всего, заметим, что $B_{\varepsilon,\delta}=F(B,\tau)$ для
$$
\begin{equation*}
F(f,u)=f+\varepsilon\sqrt{(\cdot-u)^++\delta}-\varepsilon\sqrt{\delta},\qquad (f,u)\in C[0,1]\times [0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Такая функция $F$ непрерывна по $(f,u)$ и, следовательно, $\mathcal{C}\otimes\mathcal{B}[0,1]$-измерима. Из независимости $B$ и $\tau$ следует, что для всех $A\in \mathcal{C}$
$$
\begin{equation*}
\mu_{\varepsilon,\delta}(A)=\mathbf{P}(B_{\varepsilon,\delta}\in A)=\int_0^1 \mathbf{E} \mathbf{1}(F(B,u)\in A)\, \sigma(du),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma$ — распределение $\tau$. Для удобства пусть далее $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})=(C[0,1],\mathcal{C},\mu)$ — вероятностное пространство с броуновским движением $B$, заданным формулой $B(f)= f$ для $f\in\Omega$, и математическим ожиданием, обозначаемым $\mathbf{E}$. По формуле Камерона–Мартина–Гирсанова для всех $A\in\mathcal{C}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mu_{\varepsilon,\delta}(A)= \int_0^1 \mathbf{E} \mathbf{1}(B\in A)\exp\biggl\{\frac{\varepsilon X_\delta(u)}2 - \frac{\varepsilon^2 \mathbf{E} X_\delta^2(u)}4\biggr\}\, \sigma(du),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_\delta(u):=X_\delta(u,B)$ и $X_\delta(u,f):=\int_u^1 df(s)/\sqrt{s-u+\delta}$ при $f\in C[0,1]$, причем интеграл понимается в смысле Римана–Стилтьеса как в (4). Такая функция $X_\delta(u,f)$ непрерывна по $(f,u)$ и, следовательно, $\mathcal{C}\otimes\mathcal{B}[0,1]$-измерима. По теореме Фубини имеем
$$
\begin{equation*}
\mu_{\varepsilon,\delta}(A)=\mathbf{E} \mathbf{1}(B\in A)I\biggl(\frac{\varepsilon X_\delta}2,\sigma\biggr),\qquad A\in\mathcal{C},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $I$ определено в (2). Поэтому $\mu_{\varepsilon,\delta}\ll\mu$ и $d\mu_{\varepsilon,\delta}/d\mu=I(\varepsilon X_\delta/2,\sigma)$.
Заметим, что $(X_\delta(u))_{\delta>0,\, u\in[0,1]} $ — центрированная гауссовская система, для которой
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} X_\delta(u)X_\gamma(v)=\int_{u\vee v}^1 \frac{ds}{\sqrt{s-u+\delta}\, \sqrt{s-v+\gamma}}
\end{equation*}
\notag
$$
не возрастает по $\delta,\gamma>0$ при любых фиксированных $u,v\in[0,1]$. Кроме того, предполагая, что $\delta\in[0,1] $ и $u\leqslant v$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E} X_\delta(u)X_\delta(v) &=\int_v^1 \frac{ds}{\sqrt{s-v+v-u+\delta}\, \sqrt{s-v+\delta}} \\ &=\int_\delta^{1-v+\delta}\frac{ds}{\sqrt{s(s+|v-u|)}}\leqslant C+\int_\delta^{1}\frac{ds}{\sqrt{s(s+|v-u|)}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C\,{=}\int_1^2 ds/\sqrt{s(s+|v-u|)}$. Иначе говоря, $\mathbf{E} X_\delta(u)X_\delta(v)\leqslant \mathbf{E} Y_\delta(u)Y_\delta(v)$ при всех $\delta,u,v\in[0,1]$, где $Y_\delta(u)=Z_\delta(u)+\xi$ для непрерывного центрированного гауссовского процесса $Z_\delta=(Z_\delta(u))_{u\in[0,1]}$ с ковариационной функцией $K_\delta$ из предложения 2.2 и случайной величины $\xi\sim \mathcal{N}(0,C)$, независящей от $Z_\delta$. В силу леммы 2.1 при $p\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\biggl|I\biggl(\frac{\varepsilon X_\delta}2,\sigma\biggr)\biggr|^p\leqslant \mathbf{E}\biggl|I\biggl(\frac{\varepsilon Y_\delta}2,\sigma\biggr)\biggr|^p=e^{p(p-1)\varepsilon^2 C/8}\mathbf{E}\biggl|I\biggl(\frac{\varepsilon Z_\delta}2,\sigma\biggr)\biggr|^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, утверждение (7) вытекает из предложений 2.1 и 2.2. На этом доказательство теоремы завершено. Доказательство предложения 2.1. Пусть далее $I_\delta:=I(X_\delta,\sigma)$. Поскольку
$$
\begin{equation}
\mathbf{E} X_\delta (u)X_\gamma (v)\text{ не возрастает по }\delta,\gamma>0\text{ для любых }u,v\in[0,1],
\end{equation}
\tag{8}
$$
из леммы 2.1 следует, что $\mathbf{E} \sqrt{I_\delta}$ не убывает по $\delta>0$. Так как $\mathbf{E} I_\delta=1$, то существует (конечное) $C\geqslant 0$ такое, что Покажем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta,\gamma\to0}\mathbf{E} \sqrt{I_\delta +I_\gamma}=\sqrt{2}\,C.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Прежде всего, заметим, что если предел в (10) существует, то он равен $\sqrt{2}C$ (чтобы убедиться в этом, возьмем $\delta=\gamma$). Чтобы доказать существование предела, проверим, что $\mathbf{E} \sqrt{I_\delta+I_\gamma}$ не убывает по $\delta,\gamma>0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\sqrt{I( Z_{\delta,\gamma},\overline\sigma)}=\mathbf{E} \sqrt{I_\delta+I_\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_{\delta,\gamma}$ — центрированный непрерывный гауссовский процесс, определяемый равенством
$$
\begin{equation}
Z_{\delta,\gamma}(u)=\begin{cases} X_{\delta}(3u), &0\leqslant u\leqslant \dfrac13, \\ (2-3u)X_{\delta}(1)+(3u-1)X_{\gamma}(0), &\dfrac13 < u< \dfrac23, \\ X_{\gamma}(3u-2), &\dfrac23\leqslant u \leqslant 1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{11}
$$
и $\overline\sigma$ — конечная мера на борелевских множествах $A$ из $[0,1]$, заданная следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\overline\sigma(A):=\sigma\biggl(\biggl\{u\in[0,1]\colon \frac{u}3\in A\biggr\}\biggr) +\sigma\biggl(\biggl\{u\in[0,1]\colon \frac{u+2}3\in A \biggr\}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойства (8) вытекает, что $\mathbf{E} Z_{\delta,\gamma}(u)Z_{\delta,\gamma}(v)$ не возрастает по $\delta,\gamma>0$. Теперь из леммы 2.1 следует, что величина $\mathbf{E}\sqrt{I(Z_{\delta,\gamma},\overline \sigma)}$ (= $\mathbf{E} \sqrt{I_\delta+I_\gamma}$) не убывает по $\delta,\gamma>0$. Это доказывает (10).
Покажем, что (9) и (10) влекут сходимость по вероятности $I_\delta$ при $\delta\to 0$. Нам необходимо следующее элементарное неравенство (доказанное в приложении). Лемма 3.2. Пусть $\xi$ и $\eta$ — неотрицательные случайные величины с $\mathbf{E}\xi=\mathbf{E}\eta=1$. Тогда Применяя лемму 3.2, (9) и (10), получаем, что $\mathbf{E}\sqrt{|I_\delta - I_\gamma|}\to 0$ при $\delta,\gamma\to0$. В результате $I_{\delta_n}$ является фундаментальной (по вероятности) последовательностью для любых $ \delta_n>0$, $ n\geqslant 1$, сходящихся к нулю. Поэтому $I_\delta$ сходится по вероятности при $\delta\to0$. Предложение 2.1 доказано. Доказательство предложения 2.2. Прежде всего, заметим, что для всех $0<a\leqslant b$ функция является неотрицательно определенной на $\mathbf{R}^2$, так как функция $K(u,v)=\exp\{-|u-v|\}$ неотрицательно определена на $\mathbf{R}^2$ и Кроме того, По теореме Колмогорова–Ченцова существует центрированный непрерывный гауссовский процесс $U_{a,b}=(U_{a,b}(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ с ковариационной функцией $K_{a,b}$.
Пусть процессы $U_n=U_{2^{-n-1},2^{-n}}$, $n\geqslant 0$, определены на одном вероятностном пространстве и независимы. Положим, далее, $V_{n,N}=U_n+\dots+U_N$ для $0\leqslant n\leqslant N$. Такой $V_{n,N}$ является центрированным непрерывным гауссовским процессом с ковариационной функцией $K_{2^{-N-1},2^{-n}}$. В силу леммы 2.1 предложение 2.2 будет установлено, если мы покажем, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{N\geqslant 1} \mathbf{E} |I(\varepsilon V_{0,N},\sigma)|^p<\infty\quad \text{для всех } p\in\biggl(1,\min\biggl\{\frac{2d}{\varepsilon^2},2\biggr\}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $N\in\mathbf{N}$ и введем случайную величину $\tau$ с распределением $\sigma$, независящую от всех других случайных элементов. Пусть далее $K_n=K_{2^{-N-1},2^{-n}}$ и
$$
\begin{equation*}
P_n(u)=\exp\biggl\{\varepsilon V_{n,N} (u)-\frac{\varepsilon^2\mathbf{E} V_{n,N}^2(u)}2\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $V_n$ имеет непрерывные траектории, $V_n(\tau)$ является случайной величиной для всех $n$, и по теореме Фубини
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E} |I(\varepsilon V_{0,N},\sigma)|^p &=\mathbf{E} \biggl|\int_0^1 P_0(u)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} P_0(\tau) \\ &=\mathbf{E} \biggl|\sum_{n=1}^\infty\int_{D_n(\tau)} P_0(u)\, \sigma(du)\biggr|^{p-1} P_0(\tau) \\ &\leqslant\sum_{n=1}^\infty\mathbf{E} \biggl|\int_{D_n(\tau)} P_0(u)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} P_0(\tau), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_n(v)=\{u\in[0,1]\colon |v-u|\in(2^{-n},2^{-n+1}]\}$ для $n\geqslant 1$ и $v\in[0,1]$, а также мы использовали то, что $\sigma(\{v\})=0$ для всех $v$ в силу конечности $d$-энергии. В силу леммы 2.2 и того, что $\operatorname{var}(V_{0,n-1}(u))=n\ln2$ при всех $u$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E} \biggl|\int_{D_n(v)} P_0(u)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} P_0(v) \\ &\qquad\leqslant (2^{p(p-1)\varepsilon^2/2})^n \mathbf{E} \biggl|\int_{D_n(v)} P_n(u)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} P_n(v) \\ &\qquad \leqslant \frac{C}{n^{(2-p)\gamma}}\, \mathbf{E} \biggl|\int_{D_n(v)} f(|u-v|)P_n(u)\,\sigma(du) \biggr|^{p-1} P_n(v) \\ &\qquad\leqslant \frac{C}{n^{(2-p)\gamma}}\biggl|\mathbf{E} \int_{D_n(v)} f(|u-v|)P_n(u)P_n(v)\,\sigma(du) \biggr|^{p-1}(\mathbf{E} P_n(v))^{2-p} \\ &\qquad= \frac{C e^{\varepsilon^2C_0(p-1)}}{n^{(2-p)\gamma}}\biggl| \int_{D_n(v)} f(|u-v|)\,\sigma(du) \biggr|^{p-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\gamma>1$ — любое фиксированное число, $C=C(p,\gamma,\varepsilon)>0$ определяется из условия
$$
\begin{equation*}
n^{(2-p)\gamma/(p-1)}(2^{-n})^{-p\varepsilon^2/2}\leqslant C^{1/(p-1)} f(x) \quad \text{при }\ x\in (2^{-n},2^{-n+1}],
\end{equation*}
\notag
$$
$n=1,2,\dots$, для
$$
\begin{equation*}
f(x)=f_{p,\gamma,\varepsilon}(x)= (\max\{- \ln x,1\})^{(2-p)\gamma/(p-1)} x^{-p\varepsilon^2/2},\qquad x>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и мы использовали то, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} P_n(u)P_n(v)=\exp\{\varepsilon^2K_{2^{-N-1},2^{-n}}(u,v)\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем при $|u-v|> 2^{-n}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{2^{-N-1},2^{-n}}(u,v) &\leqslant \int_0^{2^{-n}}\frac{ds}{\sqrt{s(s+|v-u|)}} \\ &= \int_0^1\frac{ds}{\sqrt{s(s+2^n|v-u|)}}\leqslant \int_0^1\frac{ds}{\sqrt{s(s+1)}}=:C_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя полученные оценки, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{n=1}^\infty \mathbf{E} \biggl|\int_{D_n(v )} P_0(u)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} P_0(v) \\ &\qquad\leqslant C e^{\varepsilon^2C_0(p-1)}\biggl(\sum_{n=1}^\infty n^{-\gamma}\biggr)^{2-p} \biggl| \sum_{n=1}^\infty \int_{D_n(v )} f(|u-v|)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1} \\ &\qquad= C e^{\varepsilon^2C_0(p-1)}C_\gamma^{2-p} \biggl| \int_0^1 f(|u-v|)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_\gamma:= \sum_{n=1}^\infty n^{-\gamma}$. Используя независимость $\tau$ и $V_{0,N}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{N\geqslant 1} \mathbf{E} |I(\varepsilon V_{0,N},\sigma)|^p \leqslant C e^{\varepsilon^2C_0(p-1)}C_\gamma^{2-p} \int_0^1\biggl| \int_0^1 f(|u-v|)\,\sigma(du)\biggr|^{p-1}\sigma(dv) \\ &\qquad\leqslant C e^{\varepsilon^2C_0(p-1)}C_\gamma^{2-p} \biggl| \iint_{[0,1]^2} f(|u-v|)\,\sigma(du)\, \sigma(dv) \biggr|^{p-1}<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство следует из конечности $d$-энергии меры $\sigma$ и того, что c точностью до множителя, зависящего только от $d$, $p$, $\varepsilon$, $\gamma$, функция $f$ мажорируется функцией $x^{-d}$ на $(0,1]$, когда $p\varepsilon^2/2<d$. На этом доказательство теоремы завершено. 4. Приложение Доказательство леммы 3.1. Пусть, далее, $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(Z\geqslant t)\leqslant \mathbf{E} e^{t Z-t^2}= e^{-t^2/2}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\geqslant 0$. Используя эту оценку, для любого $\varepsilon>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(Z_n\geqslant \varepsilon) &\leqslant \sum_{k=2^n+1}^{4^n} \mathbf{P}(Z\geqslant \sqrt{2\ln k}+\varepsilon)\leqslant \int_{2^n}^{\infty} \mathbf{P}(Z\geqslant \sqrt{2\ln x}+\varepsilon)\,dx \\ &=\int_{\sqrt{n\ln 2}}^\infty \mathbf{P}(Z\geqslant t+\varepsilon) t e^{t^2/2}\, dt\leqslant \int_{\sqrt{n\ln 2}}^\infty t e^{-\varepsilon t-\varepsilon^2/2}\, dt \\ &= \varepsilon^{-2} (\varepsilon \sqrt{n \ln 2}+1) \exp\biggl\{ -\varepsilon \sqrt{n\ln 2}-\frac{\varepsilon^2}2\biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\sum_{n=1}^\infty\mathbf{P}(Z_n\geqslant \varepsilon)<\infty$. Поскольку $\varepsilon$ произвольно, лемма Бореля–Кантелли дает желаемый результат. Доказательство леммы 2.2. Сначала докажем (3) для $\sigma$, $\overline\sigma$, сосредоточенных на конечном множестве $n$ различных точек $u_1,\dots,u_n\in [0,1]$ ($n\geqslant 1$). Пусть далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X_i,Y_i,p_i,q_i) &=\bigl(X(u_i),Y(u_i),e^{X(u_i)-\mathbf{E} X^2(u_i)/2}\sigma(\{u_i\}), \\ &\qquad \qquad e^{X(u_i)-\mathbf{E} X^2(u_i)/2}\overline\sigma(\{u_i\})\bigr),\qquad 1\leqslant i\leqslant n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы доказать (3), достаточно установить, что
Из независимости $X$ и $Y$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl(I^{p-1}(X+Y,\sigma)I(X+Y,\overline\sigma)\bigm|X\bigr) =\sum_{j=1}^n q_j\mathbf{E} \biggl(\sum_{i=1}^n p_ie^{Y_i-\mathbf{E} Y_i^2/2}\biggr)^{p-1}e^{Y_j-\mathbf{E} Y_j^2/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_i$ под знаком $\mathbf{E}$ считаются неслучайными. Поскольку
$$
\begin{equation*}
I^{p-1}(X,\sigma)I(X,\overline\sigma)=\sum_{j=1}^n\biggl(\sum_{i=1}^n p_i \biggr)^{p-1}q_j,
\end{equation*}
\notag
$$
нам остается доказать, что для любого заданного $1\leqslant j\leqslant n$ и всех $p_1,\dots,p_n\in\mathbf{R}_+$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\mathbf{E} \biggl(\sum_{i=1}^n p_ie^{Y_i-\mathbf{E} Y_i^2/2}\biggr)^{p-1}e^{Y_j-\mathbf{E} Y_j^2/2}\leqslant e^{p(p-1)C/2} \biggl(\sum_{i=1}^n p_i \biggr)^{p-1}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Зафиксируем $j$ и будем далее писать $Z$ вместо $Y_j$. Представим каждый $Y_i$ как $c_i Z+e_i$, где $c_i= \mathbf{E} Y_iZ/\mathbf{E} Z^2=\mathbf{E} Y_iY_j/C\in[-1,1]$ по условиям леммы и $\{e_i\}_{i=1}^n $ — центрированные гауссовские величины, независящие от $Z$. В результате
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}\biggl(\biggl(\sum_{i=1}^n p_ie^{Y_i-\mathbf{E} Y_i^2/2}\biggr)^{p-1}\biggm|Z\biggr) &\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^n p_i\mathbf{E}\bigl(e^{Y_i-\mathbf{E} Y_i^2/2}\bigm| Z\bigr)\biggr)^{p-1} \\ &\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^n p_i e^{c_iZ-c_i^2\mathbf{E} Z^2/2}\biggr)^{p-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} \biggl(\sum_{i=1}^n p_ie^{Y_i-\mathbf{E} Y_i^2/2}\biggr)^{p-1}e^{Z-\mathbf{E} Z^2/2}\leqslant \mathbf{E}\biggl(\sum_{i=1}^n p_i e^{c_iZ-c_i^2\mathbf{E} Z^2/2}\biggr)^{p-1}e^{Z-\mathbf{E} Z^2/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя формулу $\mathbf{E} e^{Z-\mathbf{E} Z^2/2}f(Z)=\mathbf{E} f(Z+\mathbf{E} Z^2)$, справедливую для всех непрерывных $f\colon \mathbf{R}\to\mathbf{R}_+$, видим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\biggl(\sum_{i=1}^n p_i e^{c_iZ-c_i^2\mathbf{E} Z^2/2}\biggr)^{p-1}e^{Z-\mathbf{E} Z^2/2} =\mathbf{E}\biggl(\sum_{i=1}^n p_i e^{c_iZ+c_i\mathbf{E} Z^2-c_i^2\mathbf{E} Z^2/2}\biggr)^{p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим правую часть последнего равенства через $f(c_1,c_2,\ldots,c_n)$. Покажем, что $f$ возрастает по каждому $c_i\in[-1,1]$. Взяв производную по $c_i$, находим, что4
$$
\begin{equation*}
f'_{c_i}(c_1,\ldots,c_n)=p_i(p-1)\mathbf{E} S^{p-2}\exp\biggl\{c_iZ+\biggl(c_i -\frac{c_i^2}2\biggr)\mathbf{E} Z^2\biggr\}(Z+(1-c_i)\mathbf{E} Z^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $S=\sum_{i=1}^n p_i e^{ c_iZ+(c_i -c_i^2/2)\mathbf{E} Z^2}$. Используя лемму Стейна в форме
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{E} Zg(Z)=\mathbf{E} Z^2\mathbf{E} g'(Z) \\ \text{для каждой гладкой }g\colon \mathbf{R}\to\mathbf{R}\text{ с }\mathbf{E} |Zg(Z)|,\mathbf{E}|g'(Z)|<\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{f'_{c_i}(c_1,\dots,c_n)}{p_i(p-1)\mathbf{E} Z^2}=(p-2)\mathbf{E} S^{p-3}e^{c_iZ+(c_i -c_i^2/2)\mathbf{E} Z^2}\sum_{j=1}^np_jc_je^{c_jZ+(c_j -c_j^2/2)\mathbf{E} Z^2} \\ &\qquad+\mathbf{E} S^{p-2}e^{c_iZ+(c_i -c_i^2/2)\mathbf{E} Z^2}c_i+\mathbf{E} S^{p-2}e^{c_iZ+(c_i -c_i^2/2)\mathbf{E} Z^2} (1-c_i). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f'_{c_i}(c_1,\ldots,c_n) &=p_i(p-1)\mathbf{E} Z^2 \mathbf{E} S^{p-3}e^{ c_iZ+(c_i -c_i^2/2)\mathbf{E} Z^2 } \\ &\qquad\times\biggl(S-(2-p)\sum_{j=1}^np_jc_je^{c_jZ+(c_j -c_j^2/2)\mathbf{E} Z^2}\biggr)\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $ p\in(1,2)$, когда каждое $ c_j \in[-1,1]$. Это доказывает, что
$$
\begin{equation*}
f(c_1,\dots,c_n)\leqslant f(1,1,\dots,1)= \biggl(\sum_{i=1}^n p_i\biggr)^{p-1} \mathbf{E} e^{(p-1)(Z+ \mathbf{E} Z^2/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\mathbf{E} e^{(p-1)(Z+ \mathbf{E} Z^2/2)}= e^{((p-1)^2 +(p-1))\mathbf{E} Z^2/2}= e^{p(p-1)C/2}$, что завершает доказательство (12).
Рассмотрим случай общих конечных мер $\sigma$ и $\overline\sigma$. Ввиду непрерывности траекторий $X$ и $Y$
$$
\begin{equation}
I(U,\nu_n)\to I(U,\nu)\quad\text{п.н.},\qquad n\to\infty,
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $U=X$ или $X+Y$, $\nu=\sigma$ или $\overline\sigma$, и $\nu_n$ ($n\geqslant 1$) — мера, сосредоточенная на множестве $\{k/n\}_{k=0}^n$ и такая, что $\nu_n(\{1\})=\nu(\{1\})$ и $\nu_n(\{k/n\})= \nu([k/n,(k+1)/n))$ для $0\leqslant k<n$. Если $U=(U(u))_{0\leqslant u\leqslant 1}$ — непрерывный центрированный гауссовский процесс, то $\mathbf{E} U^2(u)$ непрерывно по $u$ на $[0,1]$,
$$
\begin{equation*}
I^{p-1}(U,\sigma_n)I(U,\overline\sigma_n)\leqslant I^{p}(U,\sigma_n+\overline\sigma_n)
\end{equation*}
\notag
$$
и для любого $q>p$ по неравенству Ляпунова и теореме Фубини
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E} I^{q}(U,\sigma_n+\overline\sigma_n) \\ &\qquad\leqslant (\sigma_n([0,1])+\overline \sigma_n([0,1]))^{q-1}\int_0^1 \mathbf{E} e^{qU(u)-q\mathbf{E} U^2(u)/2}\, (\sigma_n(du)+\overline\sigma_n(du)) \\ &\qquad \leqslant (\sigma ([0,1])+\overline \sigma ([0,1]))^{q} \exp\biggl\{q^2\max_{0\leqslant u\leqslant 1} \mathbf{E} \frac{U^2(u)}2\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как результат заключаем, что случайные величины $I^{p-1}(U,\sigma_n)I(U,\overline\sigma_n)$, $n\geqslant1$, являются равномерно интегрируемыми и, следовательно, с учетом (13)
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} I^{p-1}(U,\sigma_n)I(U,\overline\sigma_n)\to\mathbf{E} I^{p-1}(U,\sigma)I(U,\overline\sigma),\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
когда $U=X$ или $X+Y$. Неравенство (3) для общих $\sigma$, $\overline\sigma$ следует из соответствующего неравенства для $\sigma_n$, $\overline\sigma_n$. Лемма 2.2 доказана. Доказательство леммы 3.2. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{x+y}2}\geqslant \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}2+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{5(\sqrt{x}+\sqrt{y})}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x,y\geqslant 0$. Последнее следует из того, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{x+y}2 -\biggl(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}2\biggr)^2 &=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{4}\geqslant (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\biggl(\frac1{25}+\frac15\biggr) \\ &\geqslant \frac{(\sqrt{x}- \sqrt{y})^4}{25(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}+2\biggl(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}2\biggr) \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{5(\sqrt{x}+\sqrt{y})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, для неотрицательных случайных величин $\xi$, $\eta$ при $\mathbf{E}\xi =\mathbf{E}\eta =1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E} |\xi -\eta |^{1/2} &=\mathbf{E}\frac{ |\sqrt{\xi} -\sqrt{\eta} |^{1/2}}{(\sqrt{\xi}+\sqrt{\eta})^{1/4}}(\sqrt{\xi}+\sqrt{\eta})^{3/4} \\ &\leqslant \biggl(\mathbf{E}\frac{|\sqrt{\xi} - \sqrt{\eta}|^2}{\sqrt{\xi}+\sqrt{\eta}}\biggr)^{1/4}(\mathbf{E} \sqrt{\xi}+\mathbf{E} \sqrt{\eta})^{3/4} \\ &\leqslant \biggl( \mathbf{E}\frac{ |\sqrt{\xi} -\sqrt{\eta} |^2}{\sqrt{\xi}+\sqrt{\eta}}\biggr)^{1/4} (\sqrt{\mathbf{E}\xi}+\sqrt{\mathbf{E}\eta})^{3/4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sqrt{\mathbf{E}\xi}+\sqrt{\mathbf{E}\eta}=2$ по условию. Комбинируя полученные оценки, получаем искомое неравенство. Лемма доказана. БлагодарностьАвтор благодарит академика РАН А. Н. Ширяева за постановку задачи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yas24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|