Асимптотика моментов и их производных для избыточных распределений

Функционирование современных сложных систем характеризуется различными видами рисков. Анализ данных таких систем показывает, что обычно наборы данных обладают характерным свойством: поведением распределения при больших значений аргумента, которое называется тяжелым хвостом Рассматриваются классы распределений с тяжелыми хвостами, которые имеют важные приложения в теории страховых случаев и теории надежности: распределения Гнеденко – Вейбулла; Бенктандера I, II; Бурра XII. .Асимптотика момента для функции превышения среднего значения и функции превышения дисперсии были получены специально для рассматриваемых распределений с тяжелыми хвостами и могут быть использованы для получения аппроксимации при больших значениях временной переменной. В работе подробно изучается оценка погрешности для асимптотического разложения функции среднего избытка распределения Гнеденко – Вейбулла при любых значениях параметра формы. Отмечено существенное различие в поведении оценок погрешности при значениях параметра формы меньших единицы, соответствующих тяжелому хвосту распределения Гнеденко – Вейбулла. В частности, найдены значения параметра формы, при которых разложения точны, т.е. имеют конечное число слагаемых. Для распределений Гнеденко – Вейбулла; Бенктандера I, II; Бурра XII доказаны асимптотические разложения производных остаточных моментов. Рассмотрено также описание поведения системы как области притяжения предельного экстремального состояния. Результаты статьи служат инструментом для приложений к теории риска, надежности и экстремальным событиям.