О рядах Хаара и Франклина с одинаковыми коэффициентами

Доказывается, что для любых $\lbrace a_n\rbrace^\infty_{n=0}$ и $p>0$ имеет место
$$\left\Vert\left\lbrace\sum\limits^\infty_{n=0}a^2_n f^2_n(x)\right\rbrace^{\frac{1}{2}} \right\Vert_p \sim \left\Vert\left\lbrace\sum\limits^\infty_{n=0}a^2_n\chi^2_{n+1}(x)\right\rbrace^{\frac{1}{2}}\right\Vert_p,$$
где $\big\lbrace\chi_n(x)\big\rbrace^{\infty}_{n=1}$ – система Хаара и $\big\lbrace f_n(x)\big\rbrace^{\infty}_{n=0}$ – система Франклина. В случае $p>1$ соотношение (1) доказано в [2], а в случае $\dfrac{1}{2}<p\leq 1-n$ [4]. Однако методы этих работ не применимы к случаю $0<p\leq\dfrac{1}{2}$. Получены некоторые следствия из (1).