Shift-invariant measures on infinite-dimensional spaces: integrable functions and random walks

В работе изучается усреднение случайных операторов сдвига аргумента в пространстве квадратично интегрируемых по трансляционно-инвариантной мере комплекснозначных функций на линейных топологических пространствах. В качестве примера рассмотрен случай пространства $l_\infty$. Трансляционно-инвариантная мера на пространстве $l_\infty$, построенная при помощи схемы Каратеодори, обладает свойством счетной аддитивности, но не обладает свойством $\sigma$-конечности. Также рассматриваются различные приближения измеримых множеств. Рассматриваются однопараметрические группы сдвигов вдоль постоянного векторного поля в пространстве $l_\infty$ и полугруппы сдвигов на случайный вектор, распределение которого задается семейством гауссовских мер. Получен критерий сильной непрерывности группы сдвигов вдоль постоянного векторного поля. Установлены условия на семейство гауссовских мер, достаточные для сохранения полугруппового свойства усредненного однопараметрического семейства линейных операторов и его сильной непрерывности.