Об одной краевой задаче со смещением для параболо-гиперболического уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа

В статье рассматривается краевая задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения, содержащее спектральный параметр и характеризующееся наличием двух взаимно перпендикулярных линий изменения типа. Область, в которой исследуется уравнение, состоит из подобластей, в каждой из которых уравнение изменяет тип — параболический в одних частях и гиперболический в других, что делает задачу особенно интересной и сложной в аналитическом плане. Кроме того, учтено наличие разрыва в коэффициентах уравнения, что обуславливает применение специального подхода при формулировке условий склеивания на границах областей различных типов. Целью работы является постановка и обоснование корректности (существования и единственности решения) краевой задачи со смещением в сложной геометрической области при произвольном вещественном значении спектрального параметра $\lambda$. При исследованияи поставленной задачи авторы используют метод интегральных преобразований и теории операторов, включая интегральные и интегро-дифференциальные операторы типа $A^{n,\lambda}_{mx}$, $B^{n,\lambda}_{mx}$, $C^{n,\lambda}_{mx}$, свойства которых играют ключевую роль в анализе задачи. Показано, что исходную задачу можно свести к эквивалентной системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами, разрешимость которых устанавливается с помощью теоремы, альтернативы Фредгольма. Доказывается, что решение задачи можно представить в виде явных интегральных формул с использованием функций Бесселя и специальных ядер, описывающих поведение решения в различных частях области. При этом существенную роль играют условия согласования, обеспечивающие корректное склеивание решений в линиях изменения типа уравнения и по линии разрыва коэффициентов.