Решение уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу дробного порядка

Интерес к уравнениям дробного порядка, как обыкновенным, так и с частными производными, последние десятилетия неуклонно растет. Это связано с необходимостью моделирования процессов, в которых текущее состояние существенно зависит от предыдущих состояний процесса, т. е. так называемые системы с «остаточной» памятью. В работе рассматривается задача Коши для одномерного, однородного уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу с дифференциальным оператором дробного порядка по времени, который представляет собой левосторонний бесселев оператор дробного порядка. При этом, для пространственной переменной используется обычный дифференциальный оператор второго порядка. Показана связь между преобразованием Мейера и Лапласа, полученная с использованием преобразования Пуассона, которая представляет собой частный случай соотношения с преобразованием Обрешкова. Доказана теорема, которая определяет условия существования решения рассматриваемой задачи. При доказательстве теоремы существования решения использовалось преобразование Мейера. При этом решение задачи представляется в явном виде через обобщенную функцию Грина. Построенная для решения рассматриваемой задачи функция Грина определяется через обобщенную гипергеометрическую $H$-функцию Фокса.