Пространство голоморфных функций полиномиального роста как локальная алгебра

Пусть $G$ — область в комплексной плоскости, звездная относительно точки 0, $H^{-\infty}(G)$ — пространство голоморфных в $G$ функций полиномиального роста вблизи границы $G$. В нем вводится произведение Дюамеля $\ast$. Оно используется в операционном и операторном исчислениях, при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в спектральной теории, в задаче о спектральной кратности линейного оператора, в краевых задачах. Показано, что $H^{-\infty}(G)$ с указанным умножение является унитальной ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй. Оператор интегрирования $J(f)(z)=\int\nolimits_0^z f(t) dt$ линейно и непрерывно действует в $H^{-\infty}(G)$. Установлено, что все линейные непрерывные в $H^{-\infty}(G)$ операторы, перестановочные с $J$, представляются в виде $S_g(f)=f\ast g$, где $g$ — фиксированная функция из $H^{-\infty}(G)$. В случае, когда $G$ является строго звездной относительно точки 0, доказаны критерий обратимости элемента алгебры $(H^{-\infty}(G),\ast)$ и критерий того, что оператор $S_g$ имеет линейный непрерывный обратный. Показано, что всякий ненулевой оператор из коммутанта $J$ является композицией степени оператора $J$ и некоторого изоморфизма из упомянутого коммутанта. При доказательстве $\ast$-обратимости привлекается ряд Неймана, обычно применяющийся в банаховых пространствах. В ненормируемых локально выпуклых пространствах функций ранее он использовался Л. Бергом, Н. Уигли и М. Т. Караевым. Описаны все замкнутые идеалы алгебры $(H^{-\infty}(G),\ast)$, замкнутые инвариантные подпространства и циклические векторы $J$ в $H^{-\infty}(G)$. Из полученных результатов следует, что оператор $J$ является одноклеточным, а алгебра $(H^{-\infty}(G),\ast)$ локальна. Единственным максимальным идеалом в ней является множество всех $\ast$-необратимых элементов.