Existence of a local renormalized solution of an elliptic equation with variable exponents in $\mathbb{R}^n$

Статья посвящена изучению квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей и локально суммируемой правой частью в пространстве $\mathbb{R}^n$. Автор адаптирует понятие локального ренормализованного решения для уравнений с переменными показателями роста, обобщая результаты М. Ф. Бидо-Верон, Л. Верон, полученные для уравнений с постоянными показателями. В работе найдены условия на структуру квазилинейного эллиптического оператора с переменным ростом достаточные для корректного определения локального ренормализованного решения. Автором получены априорные локальные оценки, характеризующие регулярность решения, на их основе доказано существование локального ренормализованного решения в пространстве $\mathbb{R}^n$ без дополнительных ограничений на его рост на бесконечности. Кроме того, в работе показано, что при неотрицательной правой части решение также является неотрицательным почти всюду. В работе используются методы функционального анализа, включая теорию пространств Лебега и Соболева с переменными показателями. Доказательства основаны на применении методов компактности и монотонности, а также на использовании специальных тестовых функций. Результаты работы имеют важное значение для теории нелинейных эллиптических уравнений и могут быть применены в дальнейших исследованиях вырождающихся уравнений и задач с данными в виде меры. Работа вносит вклад в развитие методов анализа уравнений с переменными показателями нелинейностей и расширяет область применимости понятия локального ренормализованного решения.