Об остаточном члене в формуле суммирования Л. Д. Морделла

Доказана следующая
Теорема. Пусть функция $\chi(n)$ определена для всех целых чисел $n$, для заданного натурального числа $k$ при любом $n$ справедливо равенство $\chi(n+k)=\chi(n)$ и пусть $a$ и $b$ – полуцелые числа, а функция $f(x)$ имеет непрерывную производную на отрезке $[a,b]$. Тогда при $N>2$ имеем
$$ \sum_{a<n\le b}G(n)f(n)=\sum_{m=-Nk+1}^{Nk+k}\chi(m)\int_a^bf(x)e^{2\pi i\frac{mx}{k}}\,dx+R_{N,k}, $$
где при любом вещественном $x$ функция $G(x)=\sum_{r=1}^k\chi(r)e^{2\pi\frac{rx}{k}}$ задает обобщенную сумму Гаусса и для остаточного члена $R_{N,k}$ справедливо неравенство
$$ R_{N,k}\le\frac{8M(b-a)\ln N}{N},\quad\text{где}\quad M=\max\limits_{x\in[a,b]}\biggl|\frac{d(G(x)f(x))}{dx}\biggr|. $$

Библиогр. 2.