О пополнении метрических пространств вероятностных мер

Пусть $(X,\rho)$ – ограниченное метрическое пространство,
$$ P(X)=\{\mu\in P(\beta X):\operatorname{supp}\mu\subset X\}. $$
Введем метрику $P(\rho)$ на $P(X)$, такую, что
\begin{align} P(\rho)(\mu_1,\mu_2)&=\inf \biggl\{\int_{X\times X}\rho(x_1,x_2)\,d\lambda:\lambda\in\Lambda(\mu_1,\mu_2) \biggr\}, \notag\\ \Lambda(\mu_1,\mu_2)&= \{\lambda\in P(X\times X):\operatorname{pr}_i(\lambda),i=1,2\}. \notag \end{align}

Теорема. Существует единственное непрерывное отображение
$$ j\colon C_{P(\rho)}P(X)\to P(C_\rho X), $$
продолжающее естественное вложение
$$ i\colon (P(X),P(\rho))\to P(C_\rho X) $$
и равномерно непрерывное на $\operatorname{Cpl}(P(X),P(\rho))$. Здесь $C_\rho X$ – компактификации Смирнова по метрической близости, а $\operatorname{Cpl}(X,\rho)$ – метрическое пополнение пространства $(X,\rho)$.
Библиогр. 7.