|
Труды Третьей Международной конференции «Математическая физика и её приложения»
Механика и классическая теория поля
Об уточнении локализации азимутальных чисел Матье с помощью овалов Кассини
Ю. Н. Радаевa, М. В. Тарановаb a Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва, 119526, Россия
b Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет), механико-математический факультет, г. Саратов, 410012, Россия
(публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International)
Аннотация:
Рассматривается проблема построения $2\pi$-периодических по «угловой» переменной решений дифференциального уравнения Матье для «окружных» гармоник эллиптического цилиндра, ассоциированных собственных значений и соответствующих азимутальных чисел с целью численного генерирования элементарных волновых функций эллиптического цилиндра. Приводится обобщение на случай эллиптической геометрии понятия азимутального числа (азимута) волны, распространяющейся в длинном цилиндрическом волноводе, известного в случае канонической круговой геометрии. Периодическая и полупериодическая задачи Штурма"– Лиувилля для дифференциального уравнения Матье приводятся к спектральной задаче для линейного самосопряжённого оператора в комплексном гильбертовом пространстве бесконечных квадратично суммируемых двусторонних последовательностей. Этот оператор расщепляется на сумму бесконечномерного диагонального оператора и одного бесконечномерного симметричного бистохастического оператора, выполняющего роль «конечного» возмущения, накладываемого на указанный диагональный оператор. Разработаны простые алгоритмы вычисления собственных значений «углового» уравнения Матье с вещественными параметрами и возмущенных вследствие перехода от круговой к эллиптической геометрии азимутальных чисел, а также соответствующих собственных функций. Указанные алгоритмы в итоге сводятся к построению матрицы, диагонализирующей одну бесконечную симметричную пентадиагональную матрицу. С помощью кругов Гершгорина и овалов Кассини построены уточняющие друг друга двусторонние оценки для собственных значений дифференциального оператора Матье.
Ключевые слова:
уравнение Матье, собственное значение, азимутальное число, задача Штурма–Лиувилля, волновое число, волновая функция, диагонализация, круг Гершгорина, овал Кассини, бистохастическая матрица.
Поступила в редакцию 14/XI/2012 в окончательном варианте – 02/I/2013
Образец цитирования:
Ю. Н. Радаев, М. В. Таранова, “Об уточнении локализации азимутальных чисел Матье с помощью овалов Кассини”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1(30) (2013), 260–269
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu1168 https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu/v130/p260
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 425 | PDF полного текста: | 197 | Список литературы: | 63 | Первая страница: | 1 |
|