О продолжении семейства проекторов до положительной операторнозначной меры

Рассмотрена задача о построении меры на дискретном множестве $X$, принимающей FURL значения в положительном конусе ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Предполагается, что изначально задана проекторнозначная функция, определенная на подмножестве $X_0$ исходного множества $X$. Цель исследования - поиск скалярной меры $\mu$ на множестве $X$ и продолжение проекторнозначной функции с $X_0$ на $X$. В результате получается операторнозначная мера, обладающая проекторнозначной плотностью относительно $\mu$. В общем случае задача решена для $|X| = 4$ и $|X_0| = 2$. В качестве примера рассмотрена функция на $X_0$, принимающая значения во множестве проекторов на когерентные состояния. Для этого случая исследован вопрос об информационной полноте измерения, определяемого построенной мерой. Иными словами, можно ли по значениям матричного следа от произведения меры с квантовым состоянием (положительным оператором с единичным следом) восстановить квантовое состояние. Показано, что для построенной меры восстановить квантовое состояние можно, только если оно является проектором. Также найдено ограничение на распределение вероятностей, при котором оно может быть получено в результате измерения некоторого квантового состояния.