Система Манакова и фуксовы уравнения

В работе рассмотрена система Манакова и связанная с ней матрица монодромии, играющая ключевую роль в построении многофазных решений. Все интегрируемые нелинейные уравнения из иерархии системы Манакова выражаются через элементы данной матрицы монодромии. Спектральные кривые многофазных решений каждого из уравнений данной иерархии определяются характеристическим уравнением матрицы монодромии. Стационарные уравнения, которым удовлетворяют многофазные решения эволюционных уравнений иерархии, также могут быть записаны с помощью элементов матрицы монодромии. В представленной работе рассмотрены простейшие нетривиальные стационарные уравнения и построены решения, выражающиеся через интегралы от решений фуксовых уравнений. В зависимости от значений параметров стационарных уравнений эти фуксовы уравнения могут иметь пять, четыре или три особые точки. Найдены значения параметров, при которых решения выражаются через эллиптические или элементарные функции. В случае фуксовых уравнений с тремя особыми точками (гипергеометрических уравнений) решения системы Манакова имеют вид позитонов. Для всех рассмотренных решений найдены коэффициенты уравнений ассоциированных с ними спектральных кривых. В тех случаях, когда решения системы Манакова можно отнести к классу позитонов, негиперэллиптические спектральные кривые имеют двукратные точки ветвления наряду с простыми. Данный факт имеет прямое соответствие со свойствами спектральных кривых позитонов тех интегрируемых нелинейных уравнений, спектральные кривые которых являются гиперэллиптическими.