Идемпотентные и ниль-чистые формальные матрицы второго порядка над кольцами вычетов

Найдены необходимые и достаточные условия идемпотентости формальной матрицы второго порядка над кольцами вычетов по модулям степеней простого числа p, при этом выявилась интересная связь таких идемпотентных формальных матриц с числами Каталана. Также показано, что кольцо таких формальных матриц для всякого натурального числа $k$, меньшего $p - 1$, не является $k$-ниль-чистым. Ранее нами же было показано, что это кольцо формальных матриц является $(p - 1)$-ниль-чистым.