О решении краевой задачи для неоднородного уравнения эллиптического типа с использованием многочленов Лежандра и Чебышева

Выполняется построение решения неоднородного эллиптического уравнения четвертого порядка в рамках теории Кирхгофа-Лява тонких изотропных пластин с использованием полиномов Лежандра и Чебышева первого рода. Предполагается, что область интегрирования представляет собой прямоугольник. В качестве граничных условий используются такие типы граничных условий, которые соответствуют защемлению по контуру прямоугольной пластины, шарнирному опиранию и их комбинации. Функция, аппроксимирующая решение рассматриваемого уравнения, представляется в виде конечной суммы ряда этих полиномов для каждой независимой переменной. С использованием метода коллокации в сочетании с матричными преобразованиями и свойствами многочленов Лежандра и Чебышева краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при разложении искомой функции по этим полиномам. При этом в качестве точек коллокации применяются нули многочленов Лежандра и Чебышева для каждой независимой переменной. Представлены результаты расчетов с использованием предложенного метода изгиба квадратной тонкой изотропной пластины при рассматриваемых граничных условиях под действием распределенной нагрузки интенсивностью определенного вида, приводящего к аналитическому решению соответствующей краевой задачи. Как показало сравнение, построенные решения с высокой степенью точности совпадают с аналитическими решениями.