About one type of sequences that are not a Schauder basis in Hilbert spaces

Пусть $H$ — гильбертово пространство и (необязательно ограниченная) последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ его элементов содержит ограниченную подпоследовательность $\{e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ такую, что $|(e_{n_k},e_{n_m})| \geqslant \alpha > 0$ для любых достаточно больших $k,m \in N, k \neq m$. Доказано, что такая последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ не является базисной последовательностью и, следовательно, базисом Шаудера в пространстве $H$. Полученные результаты обобщают и предлагают короткое и более простое доказательство некоторых недавних результатов, полученных в этом направлении.