Точные неравенства типа Колмогорова для модулей непрерывности и наилучших приближений тригонометрическими многочленами и сплайнами

Пусть $C$ – пространство $2\pi$-периодических непрерывных функций, $P$ – полунорма, заданная на $C$, инвариантная относительно сдвига функций и мажорируемая равномерной нормой, $\omega_m(f, h)_P$ – модуль непрерывности порядка $m$ функции $f$ с шагом $h$ относительно полунормы $P$; $\mathscr K_r=\frac4\pi\sum\limits^{\infty}_{l=0}\frac{(-1)^{l(r+1)}}{(2l+1)^{r+1}}$, $B_r(x)=-\frac{r!}{2^{r-1}\pi^r}\sum\limits^{\infty}_{k-1}\frac{\cos(2k\pi x-r\pi/2)}{k^r}$ $(r\in\mathbb N)$, $B_0(x)=1$, $\gamma_r=\frac{B_r(\frac12)}{r!}$; $(k)=k_1+\dots+k_m$,
\begin{gather*} K_{r,m}=\{k\in\mathbb Z^m_+:0\le k_{\nu}\le r+\nu-2-k_1-\cdots-k_{\nu-1}\}, \\ A_{r,0}=\frac2{r!}\int^{1/2}_0\left|B_r(t)-B_r\left(\frac12\right)\right|\,dt, \\ A_{r, m}=\sum_{k\in K_{r,m}}\left(\prod^m_{j=1}|\gamma_{k_j}|\right)A_{r+m-(k), 0}, \quad \Sigma_{r, m}=\sum^{m-1}_{\nu=0}2^{\nu}A_{r,\nu}, \\ M_{r, m}(f, h)_P=\begin{cases} \Sigma^{-1}_{r,m}\sum\limits^{m-1}_{\nu=0}A_{r,\nu}\omega_{\nu}(f, h)_P,&\text{</nomathmode><mathmode>$r$ чётно},
\Sigma^{-1}_{r, m}(\dfrac{A_{r, 0}}2\omega_1(f, h)_P+\sum\limits^{m-1}_{\nu=1}A_{r, \nu}\omega_{\nu}(f, h)_P),&\text{$r$ нечётно}. \end{cases} \end{gather*}
</mathmode><nomathmode>
Теорема 1. \textit{Пусть $r,m\in\mathbb N$, $n,\lambda>0$, $f\in C^{(r+m)}$. Тогда}
$$ \begin{gathered} P(f^{(m)})\le\lambda^r\left\{\Sigma_{r, m}+2^m\sum\limits_{k\in K_{r, m}}\left(\prod\limits^m_{j=1}|\gamma_{k_j}|\right)\frac{\mathscr K_{r+m-(k)}}{\lambda^{r+m-(k)}}\right\}\times\\ \times\max\left\{\left(\frac{\omega_m(f,\tfrac{\lambda}n)_P}{\mathscr K_{r+m}2^m}\right)^{\tfrac r{r+m}}M^{\frac m{r+m}}_{r, m},\left(f^{(r+m)},\frac{\lambda}n\right), \frac{n^m\omega_m(f,\tfrac{\lambda}n)_P}{\mathscr K_{r+m}2^m}\right\}. \end{gathered} $$

Для ряда значений $\lambda$ и полунорм, связанных с наилучшими приближениями тригонометрическими многочленами и сплайнами в равномерной и интегральной метрике, неравенства точные. Библ. – 6 назв.