|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2012, том 408, страницы 187–196
(Mi znsl5500)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)
Случайные определители, смешанные объемы эллипсоидов и нули гауссовских случайных полей
Д. Н. Запорожецa, З. Каблучкоb a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург, Россия
b Institute of Stochastics, Ulm University, Ulm, Germany
Аннотация:
Рассмотрим матрицу $M$ размера $d\times d$, чьи строки являются центрированными невырожденными гауссовскими векторами $\xi_1,\ldots,\xi_d$ с ковариационными матрицами $\Sigma_1,\dots,\Sigma_d$ соответственно. Ообзначим $\mathcal E_i$ эллипсоид рассеивания $\xi_i$: $\mathcal E_i=\{\mathbf x\in\mathbb R^d\colon\mathbf x^\top\Sigma_i^{-1}\mathbf x\leqslant1\}$. Мы покажем, что
$$
\mathbf E\,|\det M|=\frac{d!}{(2\pi)^{d/2}}V_d(\mathcal E_1,\dots,\mathcal E_d),
$$
где $V_d(\cdot,\dots,\cdot)$ обозначает смешанный объем. Мы также обобщим этот результат на случай прямоугольных матриц. В качестве прямого следствия мы получим аналитическое выражение для смешанного объема произвольных эллипсоидов в $\mathbb R^d$.
В качестве другого приложения мы рассмотрим гладкое центрированное невырожденное гауссовское случайное поле $X=(X_1,\dots,X_k)^\top\colon\mathbb R^d\to\mathbb R^k$. Используя формулу Каца–Райса, мы получим геометрическую интерпретацию интенсивности нулей $X$ в терминах смешанного объема эллипсоидов рассеивания градиентов $X_i/\sqrt{\mathbf{Var}X_i}$. Данная связь множества нулей уравнений со смешанными объемами напоминает хорошо известную теорему Бернштейна о числе решений типичной системы алгебраических уравнений. Библ. – 10 назв.
Ключевые слова:
гауссовский случайный определитель, матрица Уишарта, гауссовский случайный параллелотоп, смешанный объем эллипсоидов, эллипсоид рассеивания, нули гауссовских случайных полей, многогранники Ньютона, формула Каца–Райса.
Поступило: 10.10.2012
Образец цитирования:
Д. Н. Запорожец, З. Каблучко, “Случайные определители, смешанные объемы эллипсоидов и нули гауссовских случайных полей”, Вероятность и статистика. 18, Посвящается юбилею Ильдара Абдулловича ИБРАГИМОВА, Зап. научн. сем. ПОМИ, 408, ПОМИ, СПб., 2012, 187–196; J. Math. Sci. (N. Y.), 199:2 (2014), 168–173
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl5500 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v408/p187
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 386 | PDF полного текста: | 73 | Список литературы: | 68 |
|