|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2021, том 505, страницы 162–171
(Mi znsl7129)
|
|
|
|
Неравенство о случайном сечении и случайном симплексе
А. Е. Литвакab, Д. Н. Запорожецc a Dept. of Math. and Stat. Sciences, University of Alberta, Edmonton, AB, Canada, T6G 2G1
b С.-Петербургский государственный университет
c С.-Петербургское отделение Математического институт им. В. А. Стеклова, Фонтанка 27, 191011 С.-Петербург, Россия
Аннотация:
Рассмотрим произвольное выпуклое тело $K\subset\mathbb R^d$. Пусть $X_1,\dots, X_k$, где $k\leq d$, случайным образом равномерно и независимо выбраны в $K$, а $\xi_k$ обозначает случайное равномерно распределенное $k$-мерное линейное подпространство. Мы покажем, что при $p\geq -d+k+1$ выполнено
$$
\mathbf E |K\cap\xi_k|^{d+p}\leq c_{d,k,p}\cdot|K|^k \mathbf E |\mathrm{conv}(0,X_1,\dots,X_k)|^p,
$$
где $|\cdot|$ и $\mathrm{conv}$ обозначают объем соответствующей размерности и выпуклую оболочку. Константа $c_{d,k,p}$ такова, что при $k>1$ равенство выполняется тогда и только тогда, когда $K$ – эллипсоид с центром в начале координат, а при $k=1$ неравенство обращается в равенство. При $p=0$ данное неравенство обращается в неравенство Буземана о случайном сечении, а при $k=d$ – в неравенство Буземана о случайном симплексе. Мы также приведем аффинную версию данного неравенства, которая аналогичным образом обобщает неравенство Шнайдера и неравенство Бляшке–Грёмера. Библ. – 15 назв.
Ключевые слова:
выпуклая оболочка, неравенство Бляшке–Грёмера, неравенство Буземана, неравенство Шнайдера, случайное сечение, случайный симплекс, формула Бляшке–Петканчина, формула Фюрстенберга–Цкони.
Поступило: 11.11.2021
Образец цитирования:
А. Е. Литвак, Д. Н. Запорожец, “Неравенство о случайном сечении и случайном симплексе”, Вероятность и статистика. 31, Зап. научн. сем. ПОМИ, 505, ПОМИ, СПб., 2021, 162–171
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl7129 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v505/p162
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 113 | PDF полного текста: | 30 | Список литературы: | 18 |
|