Функциональная модель одного класса симметрических полуограниченных операторов

Пусть $L_0$ есть замкнутый симметрический положительно определенный оператор с ненулевыми индексами дефекта $n_\pm(L_0)$ в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr H$. Он определяет семейство динамических систем $\alpha^T$, $T>0$, вида
\begin{align*} & u''(t)+L_0^*u(t) = 0 && \text{ в } {\mathscr H}, 0<t<T,\\ & u(0)=u'(0)=0 && \text{ в } {\mathscr H},\\ & \Gamma_1 u(t) = f(t), &&0\leqslant t \leqslant T, \end{align*}
где $\{\mathscr H;\Gamma_1,\Gamma_2\}$ ($\Gamma_{1,2}:\mathscr H\to{\rm Ker }L_0^*$) есть каноническая (по Вишику) граничная тройка оператора $L_0$, $f$ – граничное управление (${\rm Ker }L_0^*$-значная функция от $t$) и $u=u^f(t)$ – решение (траектория).
Пусть $L_0$ вполне несамосопряжен и $n_\pm(L_0)=1$, так что $f(t)=\phi(t)e$ со скалярной функцией $\phi\in L_2(0,T)$ и $e\in{\rm Ker }L_0^*$. Пусть отображение $W^T: \phi\mapsto u^f(T)$ таково, что выполнено $C^T=(W^T)^*W^T=\mathbb I+K^T$ с интегральным оператором в $L_2(0,T)$, который имеет гладкое ядро. Предположим, что $C^T$ является изоморфизмом в $L_2(0,T)$ при всех $T>0$. Мы показываем, что при принятых условиях оператор $L_0$ унитарно эквивалентен минимальному оператору Шредингера $S_0=-D^2+q$ в $L_2(0,\infty)$ с гладким вещественным потенциалом $q$, отвечающим случаю предельной точки на бесконечности. Также устанавливается, что $S_0$ является канонической волновой моделью оператора $L_0$. Библ. – 21 назв.