|
Записки научных семинаров ПОМИ, 2024, том 536, страницы 79–95
(Mi znsl7505)
|
|
|
|
О задаче М. Каца с дополненными данными
М. И. Белишев, А. Ф. Вакуленко С.-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова, РАН
Аннотация:
Пусть $\Omega$ – ограниченная область на плоскости. Как известно, спектр $0<\lambda_1<\lambda_2\leqslant\dots$ задачи Дирихле для оператора Лапласа $L=-\Delta\upharpoonright[H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)]$ не определяет область однозначно (с точностью до изометрии). Естественно задаться вопросом: как дополнить спектр какими-либо данными, чтобы добиться однозначности? Задать спектр значит задать оператор $L$ в собственном представлении, т.е в виде $\widetilde L=\Phi L\Phi^*={\rm diag }\{\lambda_1,\lambda_2,\dots\}$, где $\widetilde L$ действует в пространстве ${\mathbf l}_2$, а $\Phi:L_2(\Omega)\to{\mathbf l}_2$ – преобразование Фурье. Пусть $\mathscr K=\{h\in L_2(\Omega) | \Delta h=0 \text{ в } \Omega\}$ – подпространство гармонических функций, $\widetilde{\mathscr K}=\Phi{\mathscr K}\subset{\mathbf l}_2$. Мы показываем, что для весьма широкого класса многообразий, пара $\widetilde L,\widetilde{\mathscr K}$ определяет $\Omega$ с точностью до изометрии. Это оказывается верным не только для пл2оских областей ("барабанов"), но и для широкого класса компактных римановых многообразий произвольной размерности, метрики и топологии. Таким образом, добавляя к спектру подпространство $\widetilde{\mathscr K}\subset{\mathbf l}_2$ мы делаем задачу разрешимой однозначно. Библ. – 11 назв.
Ключевые слова:
задача М. Каца, дополнительные данные, теория решеток, динамическая система с граничным управлением.
Поступило: 06.08.2024
Образец цитирования:
М. И. Белишев, А. Ф. Вакуленко, “О задаче М. Каца с дополненными данными”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 51, К юбилею Нины Николаевны Уральцевой, Зап. научн. сем. ПОМИ, 536, ПОМИ, СПб., 2024, 79–95
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl7505 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v536/p79
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 18 | PDF полного текста: | 7 | Список литературы: | 1 |
|