Payne nodal set conjecture for the fractional $p$-Laplacian in Steiner symmetric domains

Пусть $u$ является либо второй собственной функцией дробного $p$-лапласиана, либо знакопеременное решение наименьшей энергии уравнения $(-\Delta)^s_p u = f(u)$ со сверходнородной и субкритической нелинейностью $f$, в ограниченном открытом множестве $\Omega$ и при нелокальных нулевых условиях Дирихле. Предполагая только, что $\Omega$ симметрична по Штейнеру, мы показываем, что носители положительных и отрицательных частей функции $u$ касаются $\partial\Omega$. Как следствие, нодальное множество $u$ обладает тем же свойством если $\Omega$ связно. Доказательство основано на анализе случаев равенства в некоторых поляризационных неравенствах, включающих положительные и отрицательные части $u$, и на альтернативных характеристиках вторых собственных функций и знакопеременных решений наименьшей энергии. Библ. – 50 назв.