Об управляемости динамической системы акустического рассеяния в $\mathbb R^3$

Акустическая задача рассеяния состоит в нахождении функции $u=u^f(x,t)$ из системы
\begin{align*} &u_{tt}-\Delta u+qu=0, (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times (-\infty,0);\\ &u \mid_{|x|<-t} =0 , t<0;\\ &\lim_{s \to \infty} s u((s+\tau) \omega,-s)=f(\tau,\omega), (\tau,\omega) \in \Sigma:=[0,\infty)\times S^2, \end{align*}
в которой потенциал $q\in L_\infty(\mathbb R^3)$ есть вещественная функция с компактным носителем, а функция $f\in\mathscr F:=L_2(\Sigma)$ – управление. Пусть $\mathscr F^\xi:= \{f\in\mathscr F | f\big|_{0\leqslant \tau\leqslant \xi}=0\}$, $\mathscr H:=L_2(\mathbb R^3)$, $\mathscr H^\xi:=\{y\in \mathscr H | y\big|_{|x|<\xi}=0\}$, $\xi>0$. Для (задержанных) управлений $f\in\mathscr F^\xi$, достижимое множество есть $\mathscr U^\xi:=\{u^f( \cdot , 0) | f\in\mathscr F^\xi\}\subset\mathscr H^\xi$, а $\mathscr D^\xi:=\mathscr H^\xi\ominus\mathscr U^\xi$ – дефектное (недостижимое) подпространство. В работе дается следующее описание $\mathscr D^\xi$.
Назовем функцию $a\in\mathscr H^\xi$ $q$-полигармонической порядка $n$, если $(-\Delta +q)^n a=0$ выполнено при $|x|>\xi$, пусть $\mathscr A^\xi_n$ есть множество таких функций. Наш главный результат это соотношение
\begin{equation*} {\mathscr D}^\xi =\overline{{\rm span }\{\mathscr A^\xi_n | n\geqslant 1\}}, \xi>0 \end{equation*}
(замыкание в $\mathscr H$). Этот результат в основном завершает исследование управляемости акустической динамической системы, описываемой локально возмущенным волновым уравнением в $\mathbb R^3$. Библ. – 9 назв.