Парные корреляции нулей дзета-функции Римана и возмущения самосопряженных операторов

Классический результат Х. Монтгомери утверждает, что преобразование Фурье функции парных корреляций нетривиальных нулей дзета-функции Римана имеет вид $|t|$ при $t\in(-1,1)$. Известно, что после подходящего поворота на вещественную ось множество этих нулей может быть реализовано как спектр несамосопряженного возмущения ранга один самосопряженного оператора $A$ с “регулярным” спектром. При условии истинности гипотезы Римана развернутое множество нулей дзета-функции можно рассматривать как спектр самосопряженного возмущения того же оператора $A$, и это возмущение не может иметь конечный ранг. Мы докажем, что, более того, даже более слабое свойство парных корреляций Монтгомери не может выполняться ни для какого возмущения конечного ранга регулярного дискретного спектра. Мы также показываем, что можно подобрать компактное возмущение бесконечного ранга так, чтобы его собственные значения убывали быстрее любой экспоненциальной функции. Библ. – 5 назв.