Аналитическое продолжение функции Аппеля $F_1$ и интегрирование связанной с ней системы уравнений в логарифмическом случае

Рассматривается функция Аппеля $F_1$ — обобщенная гипергеометрическая функция двух комплексных переменных — и соответствующая ей система уравнений в частных производных в логарифмическом случае, когда параметры функции $F_1$ связаны специальными соотношениями. Для этого случая в работе построены формулы аналитического продолжения функции $F_1$ за границу единичного бикруга, в котором она определена с помощью двойного гипергеометрического ряда. Для указанной системы уравнений также представлен набор канонических решений, которые являются двумерным аналогом решений Куммера, известных в теории классического гипергеометричекого уравнения Гаусса. Канонические решения для логарифмического случая записаны в виде обобщенных гипергеометрических рядов нового вида. Вывод формул продолжения осуществлен с помощью представлений $F_1$ в виде контурных интегралов Барнса. Построенные формулы позволяют эффективно вычислять функцию Аппеля во всем диапазоне изменения ее переменных. Результаты работы находят ряд приложений, в том числе к решению проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца. Библ. 42.