Векторное пространство неориентированных конечных графов с упорядочением на множестве рёбер наделено структурой дифференциальной градуированной алгебры Ли. В частности, действующий по правилу Лейбница дифференциал преобразует вершину в ребро, так что примыкавшие к ней рёбра распределяются всеми возможными способами между двумя концами вставленного ребра. Изоморфизм между одной из групп когомологий пространства графов и алгеброй Ли grt группы Гротендика--Тейхмюллера установлен Т.Вильвахером (Willwacher); он же вычислил для этой группы когомологий размерности подпространств, однородных по числу вершин и рёбер, вплоть до очень больших величин этих параметров. Явная структура отдельно взятого коцикла в комплексе графов в общем случае неизвестна; наследованные из grt коциклы, начинающиеся с (2k+1)-угольного колеса, нетривиальны и порождают свободную алгебру Ли (и неизвестно, порождают ли они так "всё" или нет).

В работе Ascona'1996 М.Концевич показал, что каждому коциклу в комплексе графов соответствует инфинитезимальная симметрия скобок Пуассона -- универсальная по отношению ко всем аффинным пуассоновым многообразиям. Именно, бивектор Q(P), коэффициенты которого суть дифференциальные полиномы от коэффициентов пуассонова бивектора P, удовлетворяет условию пуассонова коцикла [[P, Q(P)]] "=0" в силу тождества Якоби [[P,P]]=0 (здесь [[-,-]] -- скобка Схоутена). Несколько явных примеров таких универсальных симметрий Q(P) впервые вычислены докладчиком и соавторами в 2016-18 гг. Задача факторизации условия коцикла через якобиатор [[P,P]] является в общем случае очень тяжёлой; экспериментально установлено, что её решение не обязательно единственно.

Цель курса лекций -- дать элементарное доказательство того, что коциклам в комплексе графов соответствуют симметрии скобок Пуассона (обратное неверно и неизвестно, насколько велик зазор) и, во-вторых, объяснить, как именно работает механизм факторизации, гарантирующий, что коцикл-граф переходит в пуассонов коцикл.

Доклад основан на совместной работе с Р.Бюрингом arXiv:1811.07878 [math.CO] и с Н.Рюттен arXiv:1811.10638 [math.CO] (обе опубл. 24/04/2019), а также статьях arXiv:1710.00658, arXiv:1608.01710 и arXiv:1702.00681. Изложение следует плану IMPRS-курса в Математическом институте им. Макса Планка: https://www.mpim-bonn.mpg.de/node/9040

Руководитель
Киселев Артемий Владимирович

Организации
Независимый Московский университет