Программа курса

• Регулярные параметрические кривые и (k-мерные) поверхности в аффинных пространствах. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, теорема о ранге. Неявный способ задания поверхностей. Гладкие функции и отображения поверхностей. Касательные векторы, касательное пространство. Производная вдоль касательного вектора.
• Гладкие многообразия. Гладкие функции и отображения многообразий. Разбиение единицы.
• Касательные векторы и дифференциалы отображений. Касательное и кокасательное пространство.
• Погружения, вложения, подмногообразия.
• Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни.
• Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожденная векторным полем.
• Распределения и теорема Фробениуса.
• Тензорные поля, дифференциальные формы. Риманова метрика, форма объема. Внешний дифференциал.
• Производная Ли. Тождество Картана. Операция Ходжа. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией.
• Ориентация многообразия. Плотности. Интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Метрика и форма объема, объем. Интегрирование по цепям, теорема Стокса для интегрирования по цепям.
• Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь с формулами Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.
• Элементы теории групп и алгебр Ли.
Действия групп Ли. Однородные многообразия.
• Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носителем. Лемма Пуанкаре. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса.
• Свойства когомологий де Рама (конечномерность, формула Кюннета и так далее). Теорема де Рама. Теорема Ходжа (без доказательства).

Руководитель семинара
Пенской Алексей Викторович

Организации
Независимый Московский университет