Программа курса:

• Тема 1. Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом, стандартные изомор физмы. Тензорные произведения абелевых групп.
• Тема 2. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры векторного пространства. Свёртки. Линейный носитель тензора.
• Тема 3. Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Задание многообразий Веронезе и Грассмана квадратичными уравнениями.
• Тема 4. Кольцо симметрических функций. Производящие функции стандартных базисов $m_\lambda$, $e_\lambda$, $h_\lambda$, $p_\lambda$ и переходы между ними. Детерминантные многочлены Шура, формулы Джамбелли и Пьери (выражение $s_\lambda$ через $h_k$, а $s_\lambda \cdot h_k$ — через $s_\mu$).
• Тема 5. Пространства с операторами: приводимость, разложимость, лемма Шура. Полупростые модули над ассоциативной алгеброй: теорема плотности, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда.
• Тема 6. Представления конечных групп: полупростота групповой алгебры, теория характеров, кольцо представлений, (ко)индуцирование, двойственность Фробениуса.
• Тема 7. Категории и функторы. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм. Примеры: предпучки, симплициальные множества, геометрические реализации и сингулярные цепи, [послойные] (ко)произведения и (ко)индуцирование представлений и т. д. и т. п.
• Тема 8. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм, теорема о биекции и её следствия (тождества Коши и Шура, соотношения на количества таблиц и т. п.). DU-множества и DU-орбиты, комбинаторные полиномы Шура, правило Литтлвуда – Ричардсона, тождество Якоби – Труди (равенство детерминантных и комбинаторных полиномов Шура).
• Тема 9. Представления симметрических групп: симметризаторы Юнга, модули Шпехта, формула Фробениуса для характеров. Кольцо представлений симметрических групп, функторы Шура. Классическая двойственность Шура – Вейля (если позволит время).

  Website:

  https://ium.mccme.ru/f14/algebra3.html

  
  
  

  Организации
  Независимый Московский университет