Одним из основных методов изучения комплексных алгебраических многообразий является теория Ходжа, которая, в частности, позволяет связать алгебро-геометрические свойства многообразий с их топологией. При этом оказывается, что теорию Ходжа можно естественным образом развить для более широкого класса многообразий, чем алгебраические. Этот класс составляют кэлеровы многооразия, то есть комплексные многообразия с кэлеровой метрикой. Помимо комплексных проективных многообразий, кэлеровы метрики существуют, например, на произвольных компактных комплексных торах, которые, вообще говоря, не являются алгебраическими. В курсе планируется обсудить основы теории кэлеровых многообразий.

Предполагается, что слушатели уже знакомы с основами теории дифференцируемых многообразий (расслоения, связности, дифференциальные формы и т.д.), теории пучков (резольвенты, когомологии), алгебраической топологии и комплексного анализа. При обсуждении некоторых тем, таких как разложение Ходжа, нам придется принять без доказательств некоторые факты из теории эллиптических дифференциальных операторов.

Курс будет доступен студентам магистратуры и аспирантам, а также студентам бакалавриата, обладающим достаточной подготовкой. Темы, отмеченные (*) в списке внизу, являются более сложными, и мы обсудим их, если останется достаточно времени.

Предварительная программа:

1. Эрмитовы расслоения, связности, кривизна, классы Черна.
2. Кэлеровы метрики, дифференциальные операторы на кэлеровых многообразиях.
3. Разложение Ходжа, структуры Ходжа на когомологиях кэлеровых многообразий.
4. Разложение Лефшеца и теоремы Лефшеца.
5. Положительные расслоения, теорема Кодаиры о вложении.
6. (*) Деформации комплексных структур и вариации структур Ходжа.
7. (*) Гипотеза Калаби, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы многообразия.

Список литературы:

1. Вуазен К. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. Том 1, 2. М.: МЦНМО, 2010
2. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976
3. Huybrechts D. Complex geometry. And introduction. Springer, 2005
4. Moroianu A. Lectures on Kähler geometry. Cambridge University Press, 2007
5. Demailly J.-P. Complex analytic and differential geometry, online book https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf
6. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Том 1, 2. М.: Мир, 1990

Просьба к участникам обращаться к Андрею Олеговичу Солдатенкову, aosoldatenkov@gmail.com, за данными для подключения к занятиям через Zoom.

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265).

Лектор
Солдатенков Андрей Олегович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)