Хорошо известно, что с помощью теоремы компактности для классической логики предикатов, также известной как локальная теорема Гёделя–Мальцева, можно легко получить нестандартные модели многих теорий. Более того, от нестандартных моделей практически невозможно избавиться: всякий раз, когда кажется, что их удалось исключить (например, посредством добавления новых аксиом), они возвращаются в более утончённом виде. В частности, даже у полной теории стандартном модели арифметики есть счётные нестандартные – точнее, не изоморфные стандартной – модели. При этом, в силу теоремы о полноте для классической логики предикатов, выводимость предложения в данной теории равносильна его истинности во всех моделях этой теории. Стало быть, изучение (не)выводимости в различных теориях тесным образом связано с изучением их нестандартных моделей.

Вместе с тем нестандартные модели могут иметь интересные приложения, выходящие далеко за пределы математической логики. Яркий пример – использование нестандартных моделей для строгого обоснования инфинитезимального («нестандартного») анализа, которое было предложено Абрахамом Робинсоном и позволило полностью легитимизировать метод актуальных бесконечно малых.

Настоящий курс представляет собой доступное введение в нестандартные модели арифметика и анализа. От слушателей ожидается лишь знакомство с основными теоретико-модельными понятиями классической логики предикатов.

Программа

Лектор
Сперанский Станислав Олегович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)