По самому определению компактное алгебраическое многообразие допускает вложение в проективное пространство подходящей размерности и поэтому естественно наделяется кэлеровой формой — подъёмом относительно такого вложения стандартной формы метрики Фубини - Штуди. Эту форму можно рассматривать как вещественную симплектическую — и тогда имеет смысл говорить о классификации возможных лагранжевых подмногообразий.

Такая классификация естественно зависит от выбора вложения в проективное пространство, то есть от поляризации, и не зависит от конкретной формы в одном и том же классе, поскольку такие формы эквивалентны. Задача классификации имеет несколько уровней:
1) Какие классы из $H_n(X,\mathbb{Z})$ реализуются лагранжевыми подмногообразиями?
2) Какие топологические типы подмногообразий реализуются лагранжевыми подмногообразиями?
3) Сколько имеется классов эквивалентности (с точностью до лагранжевых деформаций) для фиксированного класса и топологического типа?
4) То же самое с точностью до гамильтоновых деформаций.

Несмотря на то, что алгебраические многообразия малых размерностей достаточно хорошо изучены, задача классификации их лагранжевых подмногообразий далека от полного решения даже в базовых случаях. Для самой проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ известно, что:
1) очевидным образом лагранжева поверхность должна быть гомологически тривиальна;
2) реализуются гладкими лагранжевыми вложениями только $\mathbb{RP}^2$ и $T^2$, остальные же пункты не имеют полных окончательных ответов.

Наш курс нацелен на то, чтобы показать несколько методов построения лагранжевых подмногообразий в некоторых алгебраических многообразиях, допускающих действие тора $T^k$ кэлеровыми изометриями. Замечания, положенные в основу этих методов, прежде всего исходят из классического метода характеристик.

Первые примеры, которые мы будем подробно обсуждать, — лагранжевы подмногообразия в $\mathbb{CP}^n$, построенные А.Е. Мироновым. Далее мы перейдем к естественным обобщениям и построим лагранжевы торы и сферы в многообразии флагов $F^3$ (полные флаги в $\mathbb{C}^3$), а также покажем, как обобщенная конструкция Миронова работает в случае грассманиана $\mathrm{Gr}(1,n)$.

Составляя данную аннотацию, автор рассчитывает на то, что в процессе работы мы сможем найти что-то новое (см. программу ниже, особенно п. 10).

Курс рассчитан на студентов, знакомых с основными понятиями симплектической геометрии (например, можно посмотреть первые лекции моего предыдущего круса в НОЦ). Ввиду краткости курса упор будет сделан на геометрическую интерпретацию в ущерб строгим доказательствам.

Предварительная программа

1. Алгебраические многообразия с точки зрения вещественной дифференциальной геометрии. Поляризации. Задачи классификации лагранжевых подмногообразий.
2. Геометрическая формулировка квантовой механики. Немного о квантовании.
3. Действие тора на алгебраическом многообразии. Псевдоторические структуры.
4. Многообразие флагов $F^3$, псевдоторическая структура и лагранжевы слоения.
5. Комплексное проективное пространство: как заполнить ряд между $\mathbb{RP}^n$ и $T^n$.
6. Отступление: (гамильтонова) минимальность лагранжевых подмногообразий.
7. Симплектическая редукция и лагранжевы подмногообразия. Первые примеры для $\mathrm{Gr}(1,n)$.
8. Примеры лагранжевых подмногообразий в $\mathrm{Gr}(1,n)$ (продолжение).
9. Примеры лагранжевых подмногообразий в $\mathrm{Gr}(1,n)$ (окончание). Соответствие Гельфанда - МакФерсона.
10. Конструкция Д. Быкова: многообразие флагов как лагранжево в прямом произведении проективных пространств. Возможные обобщения.

Программа

Руководитель семинара
Тюрин Николай Андреевич

Финансовая поддержка
Семинар проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)